Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

tips & tricks
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16

PostPostano: 13:15 čet, 19. 2. 2004    Naslov: tips & tricks Citirajte i odgovorite

Ovdje sam mislio upozoriti na neke (principijelne) greske (koje su me se osobito dojmile :shock: ) na pismenima iz Vektorskih prostora.
Inspiriran sam nedavnim rokovima. Nisu te greske kriticno ceste, ali se redovito pojavljuju pa, evo, da ih malo prokomentiram i tako barem malo olaksam svoje frustracije kod ispravljanja. :)

1. U vezi nilpotentnih operatora:
Ako operator A zadovoljava A^k=0, onda je on nilpotentan, ali ne nuzno indeksa k. Mozemo zakljuciti samo da je indA<=k. (Npr. 0^k=0 za svaki k.) Tek ako znamo jos da je A^(k-1)<>0, onda mozemo reci indA=k.

2. Operatori (na bilo kakvom prostoru) opcenito ne komutiraju! Neke jednakosti u kojima se implicitno koristi komutativnost (!!!), tj. ne vrijede opcenito, nego za komutirajuce operatore su sljedece:
(AB)^k = A^k B^k
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2
(A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2
binomni teorem: (A+B)^k =...
(To zapravo nema veze sa linearnom algebrom, nego opcenito prstenima/algebrama.)

3. Ako je p(A)=0 za neki operator A, ne znaci odmah da je p minimalni polinom za A, nego samo da minimalni polinom od A dijeli p, tj. ima iste ireducibilne faktore s <= eksponentima.

4. (prvenstveno za VP2) Karakteristicni i minimalni polinom imaju iste ireducibilne faktore. Za polinome iz R[x] to su polinomi prvog stupnja i polinomi drugog stupnja bez realnih nultocki. Tako npr. ako je
(A^2+I)(A^2+4I)=0, onda znamo da je minimalni polinom
m(x)=x^2+1 ili
m(x)=x^2+4 ili
m(x)=(x^2+1)(x^2+4)
pa je karakteristicni polinom oblika
k(x)=(x^2+1)^s (x^2+4)^t
za neke s,t>=0. (Primijetimo da je vodeci koeficijent =1.)
Tipicne greske bi bila zakljuciti
m(x)=(x^2+1)(x^2+4),
k(x)=((x^2+1)(x^2+4))^s za neki s>=0

Ima jos ponesto, cega se sad ne mogu sjetiti pa cu drugi put. :wink:
Ovdje sam mislio upozoriti na neke (principijelne) greske (koje su me se osobito dojmile Shocked ) na pismenima iz Vektorskih prostora.
Inspiriran sam nedavnim rokovima. Nisu te greske kriticno ceste, ali se redovito pojavljuju pa, evo, da ih malo prokomentiram i tako barem malo olaksam svoje frustracije kod ispravljanja. Smile

1. U vezi nilpotentnih operatora:
Ako operator A zadovoljava A^k=0, onda je on nilpotentan, ali ne nuzno indeksa k. Mozemo zakljuciti samo da je indA⇐k. (Npr. 0^k=0 za svaki k.) Tek ako znamo jos da je A^(k-1)<>0, onda mozemo reci indA=k.

2. Operatori (na bilo kakvom prostoru) opcenito ne komutiraju! Neke jednakosti u kojima se implicitno koristi komutativnost (!!!), tj. ne vrijede opcenito, nego za komutirajuce operatore su sljedece:
(AB)^k = A^k B^k
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2
(A+B)^2 = A^2 +2AB +B^2
binomni teorem: (A+B)^k =...
(To zapravo nema veze sa linearnom algebrom, nego opcenito prstenima/algebrama.)

3. Ako je p(A)=0 za neki operator A, ne znaci odmah da je p minimalni polinom za A, nego samo da minimalni polinom od A dijeli p, tj. ima iste ireducibilne faktore s ⇐ eksponentima.

4. (prvenstveno za VP2) Karakteristicni i minimalni polinom imaju iste ireducibilne faktore. Za polinome iz R[x] to su polinomi prvog stupnja i polinomi drugog stupnja bez realnih nultocki. Tako npr. ako je
(A^2+I)(A^2+4I)=0, onda znamo da je minimalni polinom
m(x)=x^2+1 ili
m(x)=x^2+4 ili
m(x)=(x^2+1)(x^2+4)
pa je karakteristicni polinom oblika
k(x)=(x^2+1)^s (x^2+4)^t
za neke s,t>=0. (Primijetimo da je vodeci koeficijent =1.)
Tipicne greske bi bila zakljuciti
m(x)=(x^2+1)(x^2+4),
k(x)=((x^2+1)(x^2+4))^s za neki s>=0

Ima jos ponesto, cega se sad ne mogu sjetiti pa cu drugi put. Wink


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16

PostPostano: 16:23 uto, 20. 4. 2004    Naslov: Rezultati Citirajte i odgovorite

Samo napominjem da se rezultati pismenih oglasavaju na
http://web.math.hr/nastava/vekt/rezultati.html
Pisanje rezultata na forumu mi ipak nije bas prakticno.
CU :wink:
Samo napominjem da se rezultati pismenih oglasavaju na
http://web.math.hr/nastava/vekt/rezultati.html
Pisanje rezultata na forumu mi ipak nije bas prakticno.
CU Wink


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16

PostPostano: 19:52 uto, 20. 4. 2004    Naslov: zadacic Citirajte i odgovorite

Evo jednog zadacica iz VP1 koji je u 1/2 slucajeva bio krivo "rijesen" na pismenom. (Makar je zadatak bio i na nekom starom pismenom i na vjezbama, bar za DZ.)

V je kon.dim. vektorski prostor, N€L(V) je nilpotentan indeksa p.
Definiranmo operator T€L(L(V)) formulom
T(A):=NA-AN; za svaki A€L(V).
Dokazite da je T nilpotentan indeksa ne veceg od 2p.

Zapravo trebamo dokazati T^2p =0 pa zelimo izracunati T^n za svaki prirodni broj n.
Uvjerljivo najcesca greska je da se napise
T^n (A) = (NA-AN)^n = ... (sad se to npr. raspise po binomnom koji isto ne vrijedi ako A i N ne komutiraju ili nesto slicno)
Ovo je jako KRIVO! Naime T^n znaci mnozenje (sto je := komponiranje) operatora iz L(L(V)) pa T^n (A) znaci n puta iteriran (uzastopno primijenjen) operator T na elementu (ovdje "vektoru") A, tj.
T^n (A) = T(T(T(...T(T(A))...)))
Tako je npr.
T^2 (A) = N(NA-AN)-(NA-AN)N = N^2 A - 2 NAN + A N^2
a induktivno se dokazuje
T^n (A) = Suma_{j=0...n} (-1)^j (n povrh j) N^(n-j) A N^j
S druge strane, (NA-AN)^n = (T(A))^n bi znacilo mnozenje operatora u L(V).

Ukratko, NE vrijedi T^n (A) = (T(A))^n jer "^n" na lijevoj strani znaci komponiranje operatora na operatorima (mnozenje u L(L(V)) ), a na desnoj strani "^n" znaci komponiranje "obicnih" operatora (mnozenje u L(V) ).

Inace, cesto se n-ta iteracija funkcije f isto pise f^n, tj. f^n = f(f(f(...))),
sto je pak u koliziji s potenciranjem npr. trigonometrijskih funkcija:
sin^2 (x) = ( sin (x) )^2 , a ne sin (sin (x))
no to su sad vec notacijski problemi.
Evo jednog zadacica iz VP1 koji je u 1/2 slucajeva bio krivo "rijesen" na pismenom. (Makar je zadatak bio i na nekom starom pismenom i na vjezbama, bar za DZ.)

V je kon.dim. vektorski prostor, N€L(V) je nilpotentan indeksa p.
Definiranmo operator T€L(L(V)) formulom
T(A):=NA-AN; za svaki A€L(V).
Dokazite da je T nilpotentan indeksa ne veceg od 2p.

Zapravo trebamo dokazati T^2p =0 pa zelimo izracunati T^n za svaki prirodni broj n.
Uvjerljivo najcesca greska je da se napise
T^n (A) = (NA-AN)^n = ... (sad se to npr. raspise po binomnom koji isto ne vrijedi ako A i N ne komutiraju ili nesto slicno)
Ovo je jako KRIVO! Naime T^n znaci mnozenje (sto je := komponiranje) operatora iz L(L(V)) pa T^n (A) znaci n puta iteriran (uzastopno primijenjen) operator T na elementu (ovdje "vektoru") A, tj.
T^n (A) = T(T(T(...T(T(A))...)))
Tako je npr.
T^2 (A) = N(NA-AN)-(NA-AN)N = N^2 A - 2 NAN + A N^2
a induktivno se dokazuje
T^n (A) = Suma_{j=0...n} (-1)^j (n povrh j) N^(n-j) A N^j
S druge strane, (NA-AN)^n = (T(A))^n bi znacilo mnozenje operatora u L(V).

Ukratko, NE vrijedi T^n (A) = (T(A))^n jer "^n" na lijevoj strani znaci komponiranje operatora na operatorima (mnozenje u L(L(V)) ), a na desnoj strani "^n" znaci komponiranje "obicnih" operatora (mnozenje u L(V) ).

Inace, cesto se n-ta iteracija funkcije f isto pise f^n, tj. f^n = f(f(f(...))),
sto je pak u koliziji s potenciranjem npr. trigonometrijskih funkcija:
sin^2 (x) = ( sin (x) )^2 , a ne sin (sin (x))
no to su sad vec notacijski problemi.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan