Paralelogram u paralelogramu (zadatak)

[29Petra]

7. Zadan je paralelogram ABCD. Točke K,L,M,N djele stranicu paralelograma u istom omjeru tilda, O<tilda<1. Dokazite da je KLMN paralelogram.

[/list]

[nina5]

Označimo da su stranice paralelograma ABCD: AB=a, BC=b, CD=c, DA=d.

Da bi dokazali da je i KLMN paralelogram treba dokazati: KL=NM i KN=LM.

KL=KB+BL=λ*a+(1-λ)*b
NM=ND+DM=(1-λ)*(-d)+λ*(-c)=(1-λ)*b+λ*a
Dakle, KL=NM.

KN=KA+AN=(1-λ)*(-a)+λ*(-d)=(1-λ)*c+λ*b
LM=LC+CM=λ*b+(1-λ)*c
Dakle, KN=LM.

I dokaz gotov.