Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Matematička indukcija (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
ceps
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
Sarma = la pohva - posuda
71 = 74 - 3

PostPostano: 11:18 čet, 28. 10. 2010    Naslov: Matematička indukcija Citirajte i odgovorite

Vježbanjem za kolokvij sam shvatio da imam problema kod zadataka sa matematičkom indukcijom tipa:

Dokažite da je broj [latex]12^{n+2} + 13^{2n+1}[/latex] djeljiv sa 157 za svaki [latex]n \leq 0[/latex].

tj. kod zadataka gdje se ispituje djeljivost, a imamo dva ili više različitih brojeva na neke eksponente...
Pomoć?
Vježbanjem za kolokvij sam shvatio da imam problema kod zadataka sa matematičkom indukcijom tipa:

Dokažite da je broj djeljiv sa 157 za svaki .

tj. kod zadataka gdje se ispituje djeljivost, a imamo dva ili više različitih brojeva na neke eksponente...
Pomoć?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
frutabella
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
Sarma = la pohva - posuda
-5 = 42 - 47

PostPostano: 11:35 čet, 28. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ovako:

BAZA:
zbog n<=o, za bazu (provjeru) uzimas n=0 (ako ne razumijes zasto, reci)

znaci kad uvrstis 0 umjesto n dobivas rezultat 157, sto je djeljivo sa 157.

PRETPOSTAVKA:
Pretpostavimo da 157 dijeli (onaj izraz) za neki n<=0 ako i samo ako je (onaj izraz)=157k

KORAK:
sad umjesto svakog n napises n+1, pa dobivas ----->

12^(n+1+2) + 13^(2n+2+1)= (sad rastavi tako da dobijes elemente iz pretpostavke)

12^(n+2) * 12^1 + 13^(2n+1) * 13^2= (sad izvuces ili najveci ili najmanji broj (znaci: ili 12 ili 13^2), svejedno, ja uvijek izvlacim najveci pa onda oduzimam, znaci:

13^2 [12^ (n+2) + 13^(2n+1) ] - 157*12^(n+2)=

13^2 * (pretpostavka) 157k - 157*12^(n+2) (vidimo da je prvi dio djeljiv s 157 zbog 157k, a i drugi zbog 157. (u [ ] je izraz iz pretpostavke, njega uvijek treba ovako izluciti)

Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj.
Ovako:

BAZA:
zbog n⇐o, za bazu (provjeru) uzimas n=0 (ako ne razumijes zasto, reci)

znaci kad uvrstis 0 umjesto n dobivas rezultat 157, sto je djeljivo sa 157.

PRETPOSTAVKA:
Pretpostavimo da 157 dijeli (onaj izraz) za neki n⇐0 ako i samo ako je (onaj izraz)=157k

KORAK:
sad umjesto svakog n napises n+1, pa dobivas ----->

12^(n+1+2) + 13^(2n+2+1)= (sad rastavi tako da dobijes elemente iz pretpostavke)

12^(n+2) * 12^1 + 13^(2n+1) * 13^2= (sad izvuces ili najveci ili najmanji broj (znaci: ili 12 ili 13^2), svejedno, ja uvijek izvlacim najveci pa onda oduzimam, znaci:

13^2 [12^ (n+2) + 13^(2n+1) ] - 157*12^(n+2)=

13^2 * (pretpostavka) 157k - 157*12^(n+2) (vidimo da je prvi dio djeljiv s 157 zbog 157k, a i drugi zbog 157. (u [ ] je izraz iz pretpostavke, njega uvijek treba ovako izluciti)

Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Bruno^_^
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 10. 2010. (20:22:27)
Postovi: (1D)16
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 2 - 3

PostPostano: 19:39 čet, 28. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote]Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj. [/quote]

meni nije jasno zasto ne ide >= umjesto <=. cini mi se da je typo, ali oba posta tako glase. uglavnom, naravno da ne vrijedi za <=.
Citat:
Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj.


meni nije jasno zasto ne ide >= umjesto ⇐. cini mi se da je typo, ali oba posta tako glase. uglavnom, naravno da ne vrijedi za ⇐.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
frutabella
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
Sarma = la pohva - posuda
-5 = 42 - 47

PostPostano: 23:31 čet, 28. 10. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Bruno^_^"][quote]Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj. [/quote]

meni nije jasno zasto ne ide >= umjesto <=. cini mi se da je typo, ali oba posta tako glase. uglavnom, naravno da ne vrijedi za <=.[/quote]

Bas, vidis nisam ni obratila paznje, pa ocito da ne vrijedi. mozda greska u pisanju.
Bruno^_^ (napisa):
Citat:
Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj.


meni nije jasno zasto ne ide >= umjesto ⇐. cini mi se da je typo, ali oba posta tako glase. uglavnom, naravno da ne vrijedi za ⇐.


Bas, vidis nisam ni obratila paznje, pa ocito da ne vrijedi. mozda greska u pisanju.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 19:19 uto, 26. 11. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo da ne otvaram novu temu što se indukcije tiče, vidim da ih već ima par u ovom podforumu.

Radili smo zadatak na vježbama koji glasi ovako:
Dokažite da za svaki prirodan broj veći od 1 vrijedi [latex]\frac{n}{2} < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2^{n}-1} < n[/latex].

Nije mi jasno što smo u koraku točno napravili. Bazu i pretpostavku lako napisati. E sad korak:
[latex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2^{n}-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}+1}+ ... +\frac{1}{2^{n+1}-1}[/latex].

I sad smo za ovaj dio koji je u pretpostavci rekli da je [latex]>\frac{n}{2}[/latex] i [latex]<n[/latex]

[tex](*)[/tex] I onda smo rekli da taj dio koji smo dodali, koji nije u pretpostavci ima [latex]2^{n}[/latex] pribrojnika (to mi je jasno) i svi su [latex]>\frac{1}{2^{n+1}}[/latex] i [latex]<=\frac{1}{2^{n}}[/latex]

I onda dalje:
[latex]\frac{n}{2}+2^{n}*\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{n}{2}+\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}-1} [/latex]

[latex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}-1} < n+2^{n}*\frac{1}{2^{n}} = n+1[/latex]

I to je sad dokazano. Meni nije jasno od ovog reda označenog sa (*) pa ako bi netko mogao objasniti. :)
Evo da ne otvaram novu temu što se indukcije tiče, vidim da ih već ima par u ovom podforumu.

Radili smo zadatak na vježbama koji glasi ovako:
Dokažite da za svaki prirodan broj veći od 1 vrijedi .

Nije mi jasno što smo u koraku točno napravili. Bazu i pretpostavku lako napisati. E sad korak:
.

I sad smo za ovaj dio koji je u pretpostavci rekli da je i

[tex](*)[/tex] I onda smo rekli da taj dio koji smo dodali, koji nije u pretpostavci ima pribrojnika (to mi je jasno) i svi su i

I onda dalje:




I to je sad dokazano. Meni nije jasno od ovog reda označenog sa (*) pa ako bi netko mogao objasniti. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
jopi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 01. 2013. (00:08:22)
Postovi: (14)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 1

PostPostano: 22:46 uto, 26. 11. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

@room
Fale ti ... u zadnjem dijelu :)
Trebalo bi biti
[latex]\frac{n}{2}+2^{n}*\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{n}{2}+\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} < 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n+1}-1} [/latex]

U koraku imaš
[latex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2^{n}-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}+1}+ ... +\frac{1}{2^{n+1}-1}[/latex]
[latex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2^{n}-1} [/latex] je po pretpostavci [latex]> \frac{2}{n}[/latex].
Svaki od preostalih [latex]2^{n}[/latex] pribrojnika je [latex]>\frac{1}{2^{n+1}}[/latex] jer je [latex]2^{n+1}[/latex] veći od nazivnika svakog od ovih razlomaka.
Dakle, imamo
[latex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2^{n}-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}+1}+ ... +\frac{1}{2^{n+1}-1} > \frac{n}{2}+2^{n}*\frac{1}{2^{n+1}} = \frac{n}{2}+\frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} [/latex], a to smo i htjeli dobiti.

Na isti način dobijemo desnu stranu: po pretpostavci je prvi dio [latex]<n[/latex], a svaki od preostalih [latex]2^{n}[/latex] pribrojnika je [latex]<=\frac{1}{2^{n}}[/latex] jer je [latex]2^{n}[/latex] najmanji od svih ostalih nazivnika.
Dobili smo
[latex]1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n+1}-1} < n+2^{n}*\frac{1}{2^{n}} = n+1[/latex], pa smo dokazali i desnu stranu.
@room
Fale ti ... u zadnjem dijelu Smile
Trebalo bi biti


U koraku imaš

je po pretpostavci .
Svaki od preostalih pribrojnika je jer je veći od nazivnika svakog od ovih razlomaka.
Dakle, imamo
, a to smo i htjeli dobiti.

Na isti način dobijemo desnu stranu: po pretpostavci je prvi dio , a svaki od preostalih pribrojnika je jer je najmanji od svih ostalih nazivnika.
Dobili smo
, pa smo dokazali i desnu stranu.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 0:08 sri, 27. 11. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Okej, sad sam shvatila zašto su svi ti pribrojnici [latex]>\frac{1}{2^{n+1}}[/latex], a [latex]<\frac{1}{2^{n}}[/latex], ali mi sad nije jasno zašto onda to množim [latex]2^{n}*\frac{1}{2^{n+1}}[/latex], isto tako i ovo drugo?
Okej, sad sam shvatila zašto su svi ti pribrojnici , a , ali mi sad nije jasno zašto onda to množim , isto tako i ovo drugo?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
jopi
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 01. 2013. (00:08:22)
Postovi: (14)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 1

PostPostano: 0:36 sri, 27. 11. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zato što je svaki pojedinačno [latex]>\frac{1}{2^{n+1}}[/latex], pa kad imaš [latex]2^{n}[/latex] članova koji su [latex]>\frac{1}{2^{n+1}}[/latex], onda je njihova suma [latex]>2^{n}*\frac{1}{2^{n+1}}[/latex].
Zato što je svaki pojedinačno , pa kad imaš članova koji su , onda je njihova suma .


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 1:45 sri, 27. 11. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala, skužila sam sad. :D

E sad smo imali jedan zadatak za zadaću, probala sam ga riješiti, ali mi je ispalo -n>=0 za svaki prirodni broj što je nemoguće. :oops: Pa ako bi mi netko mogao dati bar hint..

[latex]\frac{1}{2\sqrt{2}} <= \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}* ... * \frac{2n-1}{2n} <= \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/latex], za svaki prirodni broj.
Hvala, skužila sam sad. Very Happy

E sad smo imali jedan zadatak za zadaću, probala sam ga riješiti, ali mi je ispalo -n>=0 za svaki prirodni broj što je nemoguće. Embarassed Pa ako bi mi netko mogao dati bar hint..

, za svaki prirodni broj.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan