Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

zadaci, rjesenja (informacija)
WWW:
Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Sljedeće
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
lavicha
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 10. 2010. (18:25:49)
Postovi: (1A)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 15:36 ned, 20. 2. 2011    Naslov: zadaci, rjesenja Citirajte i odgovorite

postoje li negdje rjesenja ovih zadataka za vjezbu http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_1.pdf (1.6-1.9) radi provjere tocnosti ??
postoje li negdje rjesenja ovih zadataka za vjezbu http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_1.pdf (1.6-1.9) radi provjere tocnosti ??



_________________
‎....I think about the little things that make life great!! Smile
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 16:46 ned, 20. 2. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[url=http://www.wolframalpha.com/]WolframAlpha[/url] ti je uvijek na raspolaganju. Za deriviranje imaš funkciju D, koja ima ovaj oblik:
[code:1]D[f(x), x][/code:1]
Prvo se piše funkcija koju želiš derivirati, a zatim po čemu se derivira. Ako želiš odrediti n-tu derivaciju (n je neki odabrani broj, rijetko će ti dati općenito rješenje), pišeš:
[code:1]D[f(x), {x, n}][/code:1]
Čak imaš i opciju Show steps.

Ako naiđeš na neke zadatke koje WolframAlpha ne može rješiti, slobodno pitaj. :)
WolframAlpha ti je uvijek na raspolaganju. Za deriviranje imaš funkciju D, koja ima ovaj oblik:
Kod:
D[f(x), x]

Prvo se piše funkcija koju želiš derivirati, a zatim po čemu se derivira. Ako želiš odrediti n-tu derivaciju (n je neki odabrani broj, rijetko će ti dati općenito rješenje), pišeš:
Kod:
D[f(x), {x, n}]

Čak imaš i opciju Show steps.

Ako naiđeš na neke zadatke koje WolframAlpha ne može rješiti, slobodno pitaj. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Lanek_
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 10. 2010. (18:51:42)
Postovi: (31)16
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 15:50 uto, 22. 2. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_2.pdf


može netko riješiti 1.20 i 1.21. hvala :D :D
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_2.pdf


može netko riješiti 1.20 i 1.21. hvala Very Happy Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
mornik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
Sarma = la pohva - posuda
118 = 124 - 6

PostPostano: 21:50 uto, 22. 2. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ha dobro, ne znam jesi li ti i sama probala, pa neću ulaziti u detalje, da ne pokvarim veselje. :)

Dakle, u ovom prvom, deriviraj obje strane: po formuli o derivaciji kompozicija dobivaš [latex]e^{f(x)}f'(x)+x^2f'(x)+2xf(x)+e^{-x}=0[/latex], ako sam ja to dobro i mudro izračunao. Specijalno, sad možeš to srediti da prikažeš baš [latex]f'(x)[/latex]. Ako dobro napamet računam, [latex]f'(x)=-\displaystyle\frac{e^{-x}+2xf(x)}{e^{f(x)}+x^2}[/latex]. Sad možeš i iz toga (ili ovog izraza gore) prikazati i [latex]f''[/latex] pomoću [latex]f[/latex] (zapravo, prikazat ćemo [latex]f''[/latex] pomoću [latex]f[/latex] i [latex]f'[/latex], a budući da znamo prikazati [latex]f'[/latex] pomoću [latex]f[/latex], sposobni smo prikazati drugu derivaciju samo pomoću [latex]f[/latex]. No, iz razloga personalnog osjećaja besmisla, neću to učiniti. :)).

Ako ja gore dobro računam, imamo [latex]e^{f(x)}f''(x)+e^{f(x)}(f'(x))^2+x^2f''(x)+2xf'(x)+2xf'(x)+2f(x)-e^{-x}=0[/latex]. (Moguće da sam tu učinio sad neku bezveze grešku, ali ajde, nema veze. :D) E, i sad je to to: opet bismo mogli [latex]f''(x)[/latex] izvući na drugu stranu i prikazati pomoću ostalih, kao za [latex]f'[/latex], ali taj dio prepuštam tebi.

Što se [latex]f'(0)[/latex] i [latex]f''(0)[/latex] tiče, uvrstimo [latex]x=0[/latex] u dvije jednadžbe koje smo gore dobili (jedna ova za prvu, a druga za drugu derivaciju). Dobivamo [latex]e^{f(0)}f'(0)+0^2f'(0)+2\cdot0f(0)+e^{-0}=0[/latex], tj. [latex]f'(0)=-\displaystyle\frac{1}{e^{f(0)}}[/latex]. Budući da je [latex]f(0)=0[/latex], što dobivaš uvrštavanjem [latex]x=0[/latex] u originalni uvjet zadatka, imamo [latex]f'(0)=-1[/latex]. Za drugu derivaciju dobivamo iz druge jednadžbe [latex]f''(0)+1-1=0[/latex], ako sam dobro izračunao, tj. [latex]f''(0)=0[/latex].

Eto, kažem, sad sam ovo na brzinu računao, tako da sam vjerojatno negdje pogriješio, ali ovo je koncept.

Što se tiče drugog zadatka, tu ću više ostaviti tebi. :) Prvo, primijeti (i dokaži) da je [latex]f[/latex] zbroj strogo rastućih funkcija. Dakle, i sama je strogo rastuća, pa je injekcija. Drugo, f(2)=10+e^8, pa je očito [latex]10+e^8[/latex] u slici funkcije. Time sad i po formuli za derivaciju inverza dobivamo i da je valjda [latex](f^{-1})'(10+e^8)=\displaystyle\frac{1}{f'(2)}=\displaystyle\frac{1}{13+12e^8}[/latex]. Ponovno, ako sam ja to sad dobro napamet izračunao... sorry ako nisam. :oops:

Eto, još jednom, pitaj ako ti se nešto čini krivo ili ako bude problema pri formalnom rješavanju. :)
Ha dobro, ne znam jesi li ti i sama probala, pa neću ulaziti u detalje, da ne pokvarim veselje. Smile

Dakle, u ovom prvom, deriviraj obje strane: po formuli o derivaciji kompozicija dobivaš , ako sam ja to dobro i mudro izračunao. Specijalno, sad možeš to srediti da prikažeš baš . Ako dobro napamet računam, . Sad možeš i iz toga (ili ovog izraza gore) prikazati i pomoću (zapravo, prikazat ćemo pomoću i , a budući da znamo prikazati pomoću , sposobni smo prikazati drugu derivaciju samo pomoću . No, iz razloga personalnog osjećaja besmisla, neću to učiniti. Smile).

Ako ja gore dobro računam, imamo . (Moguće da sam tu učinio sad neku bezveze grešku, ali ajde, nema veze. Very Happy) E, i sad je to to: opet bismo mogli izvući na drugu stranu i prikazati pomoću ostalih, kao za , ali taj dio prepuštam tebi.

Što se i tiče, uvrstimo u dvije jednadžbe koje smo gore dobili (jedna ova za prvu, a druga za drugu derivaciju). Dobivamo , tj. . Budući da je , što dobivaš uvrštavanjem u originalni uvjet zadatka, imamo . Za drugu derivaciju dobivamo iz druge jednadžbe , ako sam dobro izračunao, tj. .

Eto, kažem, sad sam ovo na brzinu računao, tako da sam vjerojatno negdje pogriješio, ali ovo je koncept.

Što se tiče drugog zadatka, tu ću više ostaviti tebi. Smile Prvo, primijeti (i dokaži) da je zbroj strogo rastućih funkcija. Dakle, i sama je strogo rastuća, pa je injekcija. Drugo, f(2)=10+e^8, pa je očito u slici funkcije. Time sad i po formuli za derivaciju inverza dobivamo i da je valjda . Ponovno, ako sam ja to sad dobro napamet izračunao... sorry ako nisam. Embarassed

Eto, još jednom, pitaj ako ti se nešto čini krivo ili ako bude problema pri formalnom rješavanju. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Lanek_
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 10. 2010. (18:51:42)
Postovi: (31)16
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 20:16 sub, 26. 2. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="mornik"]Ha dobro, ne znam jesi li ti i sama probala, pa neću ulaziti u detalje, da ne pokvarim veselje. :)

Dakle, u ovom prvom, deriviraj obje strane: po formuli o derivaciji kompozicija dobivaš [latex]e^{f(x)}f'(x)+x^2f'(x)+2xf(x)+e^{-x}=0[/latex], ako sam ja to dobro i mudro izračunao. Specijalno, sad možeš to srediti da prikažeš baš [latex]f'(x)[/latex]. Ako dobro napamet računam, [latex]f'(x)=-\displaystyle\frac{e^{-x}+2xf(x)}{e^{f(x)}+x^2}[/latex]. Sad možeš i iz toga (ili ovog izraza gore) prikazati i [latex]f''[/latex] pomoću [latex]f[/latex] (zapravo, prikazat ćemo [latex]f''[/latex] pomoću [latex]f[/latex] i [latex]f'[/latex], a budući da znamo prikazati [latex]f'[/latex] pomoću [latex]f[/latex], sposobni smo prikazati drugu derivaciju samo pomoću [latex]f[/latex]. No, iz razloga personalnog osjećaja besmisla, neću to učiniti. :)).

Ako ja gore dobro računam, imamo [latex]e^{f(x)}f''(x)+e^{f(x)}(f'(x))^2+x^2f''(x)+2xf'(x)+2xf'(x)+2f(x)-e^{-x}=0[/latex]. (Moguće da sam tu učinio sad neku bezveze grešku, ali ajde, nema veze. :D) E, i sad je to to: opet bismo mogli [latex]f''(x)[/latex] izvući na drugu stranu i prikazati pomoću ostalih, kao za [latex]f'[/latex], ali taj dio prepuštam tebi.

Što se [latex]f'(0)[/latex] i [latex]f''(0)[/latex] tiče, uvrstimo [latex]x=0[/latex] u dvije jednadžbe koje smo gore dobili (jedna ova za prvu, a druga za drugu derivaciju). Dobivamo [latex]e^{f(0)}f'(0)+0^2f'(0)+2\cdot0f(0)+e^{-0}=0[/latex], tj. [latex]f'(0)=-\displaystyle\frac{1}{e^{f(0)}}[/latex]. Budući da je [latex]f(0)=0[/latex], što dobivaš uvrštavanjem [latex]x=0[/latex] u originalni uvjet zadatka, imamo [latex]f'(0)=-1[/latex]. Za drugu derivaciju dobivamo iz druge jednadžbe [latex]f''(0)+1-1=0[/latex], ako sam dobro izračunao, tj. [latex]f''(0)=0[/latex].

Eto, kažem, sad sam ovo na brzinu računao, tako da sam vjerojatno negdje pogriješio, ali ovo je koncept.

Što se tiče drugog zadatka, tu ću više ostaviti tebi. :) Prvo, primijeti (i dokaži) da je [latex]f[/latex] zbroj strogo rastućih funkcija. Dakle, i sama je strogo rastuća, pa je injekcija. Drugo, f(2)=10+e^8, pa je očito [latex]10+e^8[/latex] u slici funkcije. Time sad i po formuli za derivaciju inverza dobivamo i da je valjda [latex](f^{-1})'(10+e^8)=\displaystyle\frac{1}{f'(2)}=\displaystyle\frac{1}{13+12e^8}[/latex]. Ponovno, ako sam ja to sad dobro napamet izračunao... sorry ako nisam. :oops:

Eto, još jednom, pitaj ako ti se nešto čini krivo ili ako bude problema pri formalnom rješavanju. :)[/quote]

sve jasno i nigdje nisi grešku napravioo. hvala ti puno na pomoći :D
mornik (napisa):
Ha dobro, ne znam jesi li ti i sama probala, pa neću ulaziti u detalje, da ne pokvarim veselje. Smile

Dakle, u ovom prvom, deriviraj obje strane: po formuli o derivaciji kompozicija dobivaš , ako sam ja to dobro i mudro izračunao. Specijalno, sad možeš to srediti da prikažeš baš . Ako dobro napamet računam, . Sad možeš i iz toga (ili ovog izraza gore) prikazati i pomoću (zapravo, prikazat ćemo pomoću i , a budući da znamo prikazati pomoću , sposobni smo prikazati drugu derivaciju samo pomoću . No, iz razloga personalnog osjećaja besmisla, neću to učiniti. Smile).

Ako ja gore dobro računam, imamo . (Moguće da sam tu učinio sad neku bezveze grešku, ali ajde, nema veze. Very Happy) E, i sad je to to: opet bismo mogli izvući na drugu stranu i prikazati pomoću ostalih, kao za , ali taj dio prepuštam tebi.

Što se i tiče, uvrstimo u dvije jednadžbe koje smo gore dobili (jedna ova za prvu, a druga za drugu derivaciju). Dobivamo , tj. . Budući da je , što dobivaš uvrštavanjem u originalni uvjet zadatka, imamo . Za drugu derivaciju dobivamo iz druge jednadžbe , ako sam dobro izračunao, tj. .

Eto, kažem, sad sam ovo na brzinu računao, tako da sam vjerojatno negdje pogriješio, ali ovo je koncept.

Što se tiče drugog zadatka, tu ću više ostaviti tebi. Smile Prvo, primijeti (i dokaži) da je zbroj strogo rastućih funkcija. Dakle, i sama je strogo rastuća, pa je injekcija. Drugo, f(2)=10+e^8, pa je očito u slici funkcije. Time sad i po formuli za derivaciju inverza dobivamo i da je valjda . Ponovno, ako sam ja to sad dobro napamet izračunao... sorry ako nisam. Embarassed

Eto, još jednom, pitaj ako ti se nešto čini krivo ili ako bude problema pri formalnom rješavanju. Smile


sve jasno i nigdje nisi grešku napravioo. hvala ti puno na pomoći Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
vuja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (12:57:07)
Postovi: (2C)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 1

PostPostano: 15:01 čet, 3. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru :D Hvala :D
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf
Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru Very Happy Hvala Very Happy
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Vanja_
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 21. 11. 2009. (14:38:39)
Postovi: (2C)16
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 2 - 3

PostPostano: 15:42 čet, 3. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da li netko ima ideju kako bi rijesio ovaj prvi zadatak za n-tim derivacijama?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol1.pdf

ja sam probao sa diferencijalnim jednakostima.
ali kada dodjem do jednakosti, u njoj opet moram izracunati (n-2) derivaciju od cos(x^2). i onda se mogu samo ''vrtiti u krug''.

y'' + y*2x - 2*cos(x^2) = 0 / (n-2)

y^(n) + [2x*y]^(n-2) - [2*cos(x^2)]^(n-2) = 0

- sad neznam sto bi napravio sa ovom derivacijom kosinusa?


Hvala!

[size=9][color=#999999]Added after 9 minutes:[/color][/size]

[quote="vuja"]Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru :D Hvala :D
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf[/quote]

mislim da bi to trebalo ic ovako:

nadjes onu derivabilnu jednakost:

y' * (1-x)^2 + (2x^2 + 2x) - y*(1-x) = 0 / ^(n-1)

[y' * (1-x)^2 ] ^(n-1) - [y * (1-x) ] ^(n-1) = 0

Pošto računamo 8 derivaciju zanemarimo (2x^2 + 2x).
a sad ove dvije n-1 derivacije raspises sa leibnitzovom formulom.

na kraju sam rijesis rekurziju.

Bar mislim da je to tako, nemoj me drzat za rijec! :D
Da li netko ima ideju kako bi rijesio ovaj prvi zadatak za n-tim derivacijama?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol1.pdf

ja sam probao sa diferencijalnim jednakostima.
ali kada dodjem do jednakosti, u njoj opet moram izracunati (n-2) derivaciju od cos(x^2). i onda se mogu samo ''vrtiti u krug''.

y'' + y*2x - 2*cos(x^2) = 0 / (n-2)

y^(n) + [2x*y]^(n-2) - [2*cos(x^2)]^(n-2) = 0

- sad neznam sto bi napravio sa ovom derivacijom kosinusa?


Hvala!

Added after 9 minutes:

vuja (napisa):
Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru Very Happy Hvala Very Happy
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf


mislim da bi to trebalo ic ovako:

nadjes onu derivabilnu jednakost:

y' * (1-x)^2 + (2x^2 + 2x) - y*(1-x) = 0 / ^(n-1)

[y' * (1-x)^2 ] ^(n-1) - [y * (1-x) ] ^(n-1) = 0

Pošto računamo 8 derivaciju zanemarimo (2x^2 + 2x).
a sad ove dvije n-1 derivacije raspises sa leibnitzovom formulom.

na kraju sam rijesis rekurziju.

Bar mislim da je to tako, nemoj me drzat za rijec! Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mornik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
Sarma = la pohva - posuda
118 = 124 - 6

PostPostano: 20:22 čet, 3. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nisam baš u potpunosti shvatio kako ide tvoje rješenje :), ali ideja (barem sigurno za prvu/treću grupu, pretpostavljam da si o njima govorio) jest tu - svesti stotu derivaciju na 98. derivaciju, pa nju na 96. itd. Tako nešto nije teško izvesti, samo idemo običnim Leibnizovim pravilom. Mislim da to zapravo i jest ovo što si ti htio izvesti, samo trebaš dovući do kraja.

Rješavam recimo prvu grupu, s [latex]\sin(x^2)[/latex]. Neka je to [latex]f(x)[/latex]. Sad, želimo dobiti [latex]f^{(100)}(0)[/latex]. Dobro, prvo derivirajmo [latex]f[/latex] jednom. Dobivamo da je [latex]f'(x)=2x\cos(x^2)[/latex]. OK, sad to derivirajmo [latex]99[/latex] puta - po Leibnizu (uz uvrštavanje [latex]x=0[/latex] gdje možemo) dobivamo da je [latex]f^{(100)}(x)=2\cdot 99(\cos(x^2))^{(98)}[/latex]. E, a sad samo izvedemo za kosinus isto što smo i za sinus: [latex](\cos(x^2))^{(98)}=(-2x\sin(x^2))^{(97)}[/latex]. Po Leibnizu, to iznosi [latex]-2\cdot 97\cdot \sin(x^2)^{(96)}[/latex] u nuli. E, a sad si, zapravo, obzirom na to da isti postupak gore možemo proizvesti počevši od proizvoljnog [latex]n\geq 4[/latex], a ne od [latex]100[/latex] dobio rekurziju koju si htio: [latex]f^{(n)}(0)= -4\cdot (n-1)\cdot (n-3)f^{(n-4)}(0)[/latex]. Na taj način direktno dolaziš na ono što smo htjeli: [latex]f^{(100)}(0)=(-1)^{25}\cdot 99!!\cdot \sin (0^2)=0[/latex].

Evo, nadam se da je to OK, možda sam pogriješio u nekom graničnom slučaju ili nešto, ali to je generalno ideja. :) Treći zadatak (tj. treća grupa) je isti (dapače, usput smo i njega manje-više riješili :D), a pretpostavljam da se i drugi i četvrti svode na manje-više to... reci ako ipak ne. :)
Nisam baš u potpunosti shvatio kako ide tvoje rješenje Smile, ali ideja (barem sigurno za prvu/treću grupu, pretpostavljam da si o njima govorio) jest tu - svesti stotu derivaciju na 98. derivaciju, pa nju na 96. itd. Tako nešto nije teško izvesti, samo idemo običnim Leibnizovim pravilom. Mislim da to zapravo i jest ovo što si ti htio izvesti, samo trebaš dovući do kraja.

Rješavam recimo prvu grupu, s . Neka je to . Sad, želimo dobiti . Dobro, prvo derivirajmo jednom. Dobivamo da je . OK, sad to derivirajmo puta - po Leibnizu (uz uvrštavanje gdje možemo) dobivamo da je . E, a sad samo izvedemo za kosinus isto što smo i za sinus: . Po Leibnizu, to iznosi u nuli. E, a sad si, zapravo, obzirom na to da isti postupak gore možemo proizvesti počevši od proizvoljnog , a ne od dobio rekurziju koju si htio: . Na taj način direktno dolaziš na ono što smo htjeli: .

Evo, nadam se da je to OK, možda sam pogriješio u nekom graničnom slučaju ili nešto, ali to je generalno ideja. Smile Treći zadatak (tj. treća grupa) je isti (dapače, usput smo i njega manje-više riješili Very Happy), a pretpostavljam da se i drugi i četvrti svode na manje-više to... reci ako ipak ne. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 20:35 čet, 3. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="vuja"]Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru :D Hvala :D
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf[/quote]
Za provjeru: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=D(x^2/(1-x),+{x,+8})]WolframAlpha[/url].
Što se metode tiče, kod takvih zadataka je dobro prvo rastaviti na parcijalne razlomke. Konkretno, dovoljno je podijeliti dva polinoma: [latex]\displaystyle \frac{x^2}{1 - x} = -x - 1 + \frac{1}{1 - x}[/latex]. Indukcijom se lako provjeri da je [latex]\displaystyle \left( \frac{1}{1 - x} \right)^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^{n + 1}}[/latex].

[quote="Vanja_"]Da li netko ima ideju kako bi rijesio ovaj prvi zadatak za n-tim derivacijama?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol1.pdf[/quote]
Iskoristi [latex]y' = 2 x \cos(x^2)[/latex], tj. [latex]\displaystyle \cos(x^2) = \frac{y'}{2 x}[/latex]. Kad se pojednostavi, dobi se [latex]x y'' - y' + 4 x^3 y = 0[/latex]. Trebala bi ispasti rekurzivna relacija [latex]y^{(n)}(0) = -4 (n - 1) (n - 3) y^{(n - 4)}(0)[/latex].

Drugi način je preko (ne)parnosti. Može se dokazati da je derivacija parne funkcije neparna, a neparne parna. Također se može pokazati da je derivacija parne funkcije u 0 jednaka 0. Vidimo da je zadana parna funkcija i traži se "parna derivacija" u 0, pa je rješenje 0.
Sad, pitanje je koliko su vam to asistenti istaknuli, tj. zahtijeva li se da sve to dokazujete na kolokviju. To treba njih pitati.

Edit: Da, glup sam. Ne zanima nas derivacija od [latex]f^{(100)}[/latex] u 0, već vrijednost u 0. :facepalm:
vuja (napisa):
Jel može tko riješiti zadatak 1.33 pod a) (oni dolje za vježbu)? Elementaran primjer je, ali... Treba za provjeru Very Happy Hvala Very Happy
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf

Za provjeru: WolframAlpha.
Što se metode tiče, kod takvih zadataka je dobro prvo rastaviti na parcijalne razlomke. Konkretno, dovoljno je podijeliti dva polinoma: . Indukcijom se lako provjeri da je .

Vanja_ (napisa):
Da li netko ima ideju kako bi rijesio ovaj prvi zadatak za n-tim derivacijama?
http://web.math.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol1.pdf

Iskoristi , tj. . Kad se pojednostavi, dobi se . Trebala bi ispasti rekurzivna relacija .

Drugi način je preko (ne)parnosti. Može se dokazati da je derivacija parne funkcije neparna, a neparne parna. Također se može pokazati da je derivacija parne funkcije u 0 jednaka 0. Vidimo da je zadana parna funkcija i traži se "parna derivacija" u 0, pa je rješenje 0.
Sad, pitanje je koliko su vam to asistenti istaknuli, tj. zahtijeva li se da sve to dokazujete na kolokviju. To treba njih pitati.

Edit: Da, glup sam. Ne zanima nas derivacija od u 0, već vrijednost u 0. O, kuku meni...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
meda
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2010. (09:29:23)
Postovi: (A0)16
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 1 - 2

PostPostano: 12:13 sub, 5. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf
ak bi mogo netko rjesit 1.36?
zapravo ne znam dal bi trebala na kraju gledat posebno ako je n paran ili neparan zbog shx
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf
ak bi mogo netko rjesit 1.36?
zapravo ne znam dal bi trebala na kraju gledat posebno ako je n paran ili neparan zbog shx


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 12:27 sub, 5. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, možeš tako. Ionako ti je tako zapisana [url=http://web.math.hr/nastava/analiza/files/tabder.pdf]n-ta derivacija od sh[/url]. Možeš i sh raspisati preko definicije, ali se ima se više za pisati.
Da, možeš tako. Ionako ti je tako zapisana n-ta derivacija od sh. Možeš i sh raspisati preko definicije, ali se ima se više za pisati.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
ceps
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
Sarma = la pohva - posuda
71 = 74 - 3

PostPostano: 21:10 uto, 8. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Mučim se malo sa ovim stotim, stoprvim, ..., n-tim derivacijama :) - i ovu tu nikako dobiti...
Znači, treba izračunati 100. i 101. derivaciju od [latex](xsin2x)^3[/latex]
Mučim se malo sa ovim stotim, stoprvim, ..., n-tim derivacijama Smile - i ovu tu nikako dobiti...
Znači, treba izračunati 100. i 101. derivaciju od


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 21:50 uto, 8. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Radi se o produktu polinoma i neke funkcije (tako naslućujemo primjenu Leibnizove formule). Problem je što ne znamo (direktno) n-tu derivaciju od [latex]\sin^3[/latex], ali to možemo raspisati pomoću formula za pretvorbu umnoška trig. fja. u zbroj, dok ne dobijemo sinuse i kosinuse samo na prve potencije. Tako ćemo dobiti nešto što možemo napasti Leibnizovom formulom.
Radi se o produktu polinoma i neke funkcije (tako naslućujemo primjenu Leibnizove formule). Problem je što ne znamo (direktno) n-tu derivaciju od , ali to možemo raspisati pomoću formula za pretvorbu umnoška trig. fja. u zbroj, dok ne dobijemo sinuse i kosinuse samo na prve potencije. Tako ćemo dobiti nešto što možemo napasti Leibnizovom formulom.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
ceps
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
Sarma = la pohva - posuda
71 = 74 - 3

PostPostano: 22:42 uto, 8. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala puno, nisam se uopće sjetio da mogu to ''ljepše'' napisati, pa sam se zaletavao u zid i komplicirao. xD
Hvala puno, nisam se uopće sjetio da mogu to ''ljepše'' napisati, pa sam se zaletavao u zid i komplicirao. xD


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
A_je_to
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 02. 2009. (16:51:22)
Postovi: (6D)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 0

PostPostano: 14:57 čet, 10. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može netko riješiti 1. zadatak:
http://web.math.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0910-kol1.pdf
Može netko riješiti 1. zadatak:
http://web.math.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0910-kol1.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mornik
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
Sarma = la pohva - posuda
118 = 124 - 6

PostPostano: 19:45 čet, 10. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Okej, ideja za prvu grupu ide valjda ovako nekako: prebaci nazivnik na drugu stranu - sad imaš [latex]f(x)(1+e^{2x})=2x[/latex]. Sad, idemo stvar riješiti tzv. jakom indukcijom: lako ručno izračunamo da za recimo [latex]n=0[/latex] i [latex]n=1[/latex] tvrdnja vrijedi - to reci ako bude nekakav problem. E, sad pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za sve [latex]0\leq k\leq n-1[/latex] i želimo pokazati da onda vrijedi i za [latex]n[/latex] (mogli smo uzeti i da vrijedi do [latex]n[/latex], pa pokazivati za [latex]n+1[/latex], ali ovako mi se čini lakše za zapisati). Već smo pokazali za [latex]n=0[/latex] i [latex]n=1[/latex], pa možemo uzeti [latex]n\geq 2[/latex].

Gornji izraz deriviramo [latex]n[/latex] puta, s desne strane direktno, a slijeva Leibnizovom formulom. Dobivamo [latex]f^{(n)}(x)(1+e^{2x})+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}f^{(k)}(x)2^{n-k}e^{2x}=0[/latex], ako sam ja to sad dobro na brzinu izračunao (tu fale neki koraci, tako da si raspiši to slobodno :P).

Uvrstimo sad [latex]x=0[/latex] i dobivamo [latex]2f^{(n)}(0)+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}f^{(k)}(0)2^{n-k}=0[/latex]. Primijetimo sad da su, po indukcijskoj pretpostavci, svi [latex]f^{(k)}(0)[/latex] cijeli, pa je [latex]\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}f^{(k)}(0)2^{n-k}[/latex] paran broj (svaki član ima barem jednu potenciju broja [latex]2[/latex] kraj sebe). No, onda je i [latex]2f^{(n)}(0)}[/latex] paran cijeli broj, pa je i [latex]f^{(n)}(0)[/latex] cijeli. Gotovo. :)

(Naravno, nigdje nisam posebno pripominjao da je [latex]f[/latex] proizvoljno mnogo puta derivabilna u [latex]0[/latex], što nije nebitno, ali se lako vidi, kao i u zadatku koji slijedi.)

Što se druge grupe tiče, ja bih išao nekako ovako (ne tvrdim baš da je to najbolji način, ali slično je ovome gore). Ponovno, za recimo [latex]n=1[/latex] i [latex]n=2[/latex] izračunamo ručno, da se ne moramo s time mučiti. Opet ćemo ići jakom indukcijom - pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za sve [latex]k\leq n[/latex] i pokazujemo ju za [latex]n+1[/latex]. E, sad, dalje primijeti (do toga se dosta prirodno dođe ili kvadriranjem pa deriviranjem ili čisto deriviranjem... nije neka mudrost, uglavnom :)) da vrijedi [latex]f(x)\cdot f'(x)=x[/latex]. Sad, derivirajmo to [latex]n[/latex] puta. Dobivamo (osim za [latex]n=1[/latex], što smo već razriješili prije, kao i u prvom zadatku) [latex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}(x)f^{(n-k+1)}(x)=0[/latex], tj. [latex]f(x)\cdot f^({n+1})+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}f^{(k)}(x)f^{(n-k+1)}{(x)=0[/latex]. E, sad, gledajmo predznake od ovoga tu - možeš razdijeliti na slučaj kad je [latex]n[/latex] paran i slučaj kad je neparan, na primjer. Ako je paran, [latex]k[/latex] i [latex]n+1-k[/latex] bit će različite parnosti, pa ćemo u svim produktima oblika [latex]f^{(k)}(x)f^{(n-k+1)}(x)[/latex] imati, po indukciji, negativan broj (ponovno, raspiši ako treba). To znači da, kad prebacimo na drugu stranu, [latex]f(x)\cdot f^({n+1})=-\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}f^{(k)}(x)f^{(n-k+1)}(x)>0[/latex] odnosno, zbog [latex]f(x)>0[/latex], [latex]f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}f^{(n+1)}(x)>0[/latex]. Dakle, tvrdnja indukcije u ovom slučaju stoji.

Ako je [latex]n[/latex] neparan, potpuno analogno (jer su [latex]k[/latex] i [latex]n+1-k[/latex] iste parnosti, pa su ovi produkti pozitivni) dobivaš [latex]f(x)\cdot f^{(n+1)}=-\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}f^({k})(x)f^{(n-k+1)}(x)<0[/latex]. Dakle, [latex]-f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}f^{(n+1)}(x)>0[/latex].

Eto, to je valjda to. :)
Okej, ideja za prvu grupu ide valjda ovako nekako: prebaci nazivnik na drugu stranu - sad imaš . Sad, idemo stvar riješiti tzv. jakom indukcijom: lako ručno izračunamo da za recimo i tvrdnja vrijedi - to reci ako bude nekakav problem. E, sad pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za sve i želimo pokazati da onda vrijedi i za (mogli smo uzeti i da vrijedi do , pa pokazivati za , ali ovako mi se čini lakše za zapisati). Već smo pokazali za i , pa možemo uzeti .

Gornji izraz deriviramo puta, s desne strane direktno, a slijeva Leibnizovom formulom. Dobivamo , ako sam ja to sad dobro na brzinu izračunao (tu fale neki koraci, tako da si raspiši to slobodno Razz).

Uvrstimo sad i dobivamo . Primijetimo sad da su, po indukcijskoj pretpostavci, svi cijeli, pa je paran broj (svaki član ima barem jednu potenciju broja kraj sebe). No, onda je i paran cijeli broj, pa je i cijeli. Gotovo. Smile

(Naravno, nigdje nisam posebno pripominjao da je proizvoljno mnogo puta derivabilna u , što nije nebitno, ali se lako vidi, kao i u zadatku koji slijedi.)

Što se druge grupe tiče, ja bih išao nekako ovako (ne tvrdim baš da je to najbolji način, ali slično je ovome gore). Ponovno, za recimo i izračunamo ručno, da se ne moramo s time mučiti. Opet ćemo ići jakom indukcijom - pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za sve i pokazujemo ju za . E, sad, dalje primijeti (do toga se dosta prirodno dođe ili kvadriranjem pa deriviranjem ili čisto deriviranjem... nije neka mudrost, uglavnom Smile) da vrijedi . Sad, derivirajmo to puta. Dobivamo (osim za , što smo već razriješili prije, kao i u prvom zadatku) , tj. . E, sad, gledajmo predznake od ovoga tu - možeš razdijeliti na slučaj kad je paran i slučaj kad je neparan, na primjer. Ako je paran, i bit će različite parnosti, pa ćemo u svim produktima oblika imati, po indukciji, negativan broj (ponovno, raspiši ako treba). To znači da, kad prebacimo na drugu stranu, odnosno, zbog , . Dakle, tvrdnja indukcije u ovom slučaju stoji.

Ako je neparan, potpuno analogno (jer su i iste parnosti, pa su ovi produkti pozitivni) dobivaš . Dakle, .

Eto, to je valjda to. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
A_je_to
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 02. 2009. (16:51:22)
Postovi: (6D)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 0

PostPostano: 21:20 čet, 10. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala!
Hvala!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
frutabella
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
Sarma = la pohva - posuda
-5 = 42 - 47

PostPostano: 16:11 ned, 13. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ako je netko rjesavao zadatke (L'H pravilo) molila bih da iznese i svoja rjesenja, u svoja nisam bas sigurna.


zad 1.71

a) 0
b) 3/5
c) 0
d) 0


zad 1.72

a) +besk
b) 0
c) 0
d) 0

(Malo mi nemoguce da su bas sve 0... )


zad 1.73

a) +besk
b) 1
c) +besk
d) -1/pi

zad 1.74

a) 1/3
b) 0
c) 0

d) ne znam sta da radim tu, nazivnik me zivcira
Ako je netko rjesavao zadatke (L'H pravilo) molila bih da iznese i svoja rjesenja, u svoja nisam bas sigurna.


zad 1.71

a) 0
b) 3/5
c) 0
d) 0


zad 1.72

a) +besk
b) 0
c) 0
d) 0

(Malo mi nemoguce da su bas sve 0... )


zad 1.73

a) +besk
b) 1
c) +besk
d) -1/pi

zad 1.74

a) 1/3
b) 0
c) 0

d) ne znam sta da radim tu, nazivnik me zivcira


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
kikzmyster
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
45 = 46 - 1

PostPostano: 21:34 sri, 16. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Moze zadatak 1.40.d ? http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf
Moze zadatak 1.40.d ? http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
piccola
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50)
Postovi: (D7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 10 - 8

PostPostano: 15:00 čet, 17. 3. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

izračunaš prvu derivaciju, ako se ne varam to je e^arctgx+(x*e^arctgx/1+x^2) pa ideš preko diferencijalne jednakosti:

y'=y/x + y/(1+x^2)

y'*x*(1+x^2)=y*(1+x^2)+y*x
y'(x+x^3)=y(1+x+x^2)

onda po leibnizovoj formuli tražiš n-1 derivaciju ovog gore izraza...

mislim da se tako može riješit,sad sam na brzinu pokušala pa ako je krivo, sorry...
i sorry zbog nespretnog pisanja :?
izračunaš prvu derivaciju, ako se ne varam to je e^arctgx+(x*e^arctgx/1+x^2) pa ideš preko diferencijalne jednakosti:

y'=y/x + y/(1+x^2)

y'*x*(1+x^2)=y*(1+x^2)+y*x
y'(x+x^3)=y(1+x+x^2)

onda po leibnizovoj formuli tražiš n-1 derivaciju ovog gore izraza...

mislim da se tako može riješit,sad sam na brzinu pokušala pa ako je krivo, sorry...
i sorry zbog nespretnog pisanja Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Sljedeće
Stranica 1 / 9.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan