Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
WilddWizard Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 09. 2009. (11:23:30) Postovi: (6)16
|
|
[Vrh] |
|
Lepi91 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2010. (15:22:23) Postovi: (C8)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
lutalica Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2010. (21:44:01) Postovi: (24)16
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
|
[Vrh] |
|
cigla007 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 01. 2010. (23:14:22) Postovi: (8)16
|
|
[Vrh] |
|
štangica Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 03. 2010. (17:18:17) Postovi: (4C)16
|
|
[Vrh] |
|
Borgcube Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2010. (21:14:10) Postovi: (56)16
Lokacija: Tu i tamo.
|
|
[Vrh] |
|
Macaflyyyyertina_ Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (21:06:48) Postovi: (1C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Darija.x Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (18:31:47) Postovi: (34)16
Lokacija: Velika Gorica
|
|
[Vrh] |
|
Ivanaa Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2010. (22:26:06) Postovi: (35)16
|
|
[Vrh] |
|
Darija.x Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (18:31:47) Postovi: (34)16
Lokacija: Velika Gorica
|
|
[Vrh] |
|
cigla007 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 01. 2010. (23:14:22) Postovi: (8)16
|
|
[Vrh] |
|
Macaflyyyyertina_ Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (21:06:48) Postovi: (1C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
piccola Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50) Postovi: (D7)16
|
|
[Vrh] |
|
fejky Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 06. 2010. (16:53:45) Postovi: (3D)16
Spol:
|
Postano: 19:08 čet, 5. 5. 2011 Naslov: |
|
|
1. Neka je [latex]V[/latex] konačnodimenzionalan vektorski prostor i [latex]A \in L(V)[/latex] operator sa svojstvom [latex]AB=BA[/latex], za sve [latex]B \in L(V)[/latex]. Dokažite da je [latex]A=\alpha I[/latex] za neki skalar [latex]\alpha[/latex]. (Uputa: pokažite da [latex]A[/latex] ima bar jednu svojstvenu vrijednost te da je bilo koji svojstveni potprostor operator [latex]A[/latex] invarijantan za svaki [latex]B \in L(V)[/latex].)
2. Utvrdite da je matrica [latex]
\begin{bmatrix}
1 &2 &1 \\
2 &2 &1 \\
1 &3 &1
\end{bmatrix}[/latex]regularna pa je invertirajte pomoću svojstvenog polinoma.
3. Neka je [latex]A : V \to W[/latex] izomorfizam vektorskih prostora, te neka je [latex]\langle\cdot,\cdot\rangle[/latex] skalarni produkt u [latex]W[/latex]. Dokažite da je formulom [latex]\langle x,y\rangle := \langle Ax,Ay\rangle, x,y \in V[/latex], dan jedan skalarni produkt u [latex]V[/latex].
4. U unitarnom prostoru [latex]\mathbb{C}^3[/latex] ortonormiraje skup [latex]{(0,i,0),(-1,-i,0),(1,0,2)}[/latex].
5. Neka je [latex]\{
\begin{bmatrix}
1 &1 \\
0 &0
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix}
1 &0 \\
1 &0
\end{bmatrix}\}[/latex] baza potprostora [latex]M[/latex] unitarnog prostora [latex]M_2(\mathbb{R})[/latex]. Prikazite matricu [latex]X =
\begin{bmatrix}
1 &1 \\
0 &1
\end{bmatrix}[/latex] u obliku [latex]X = A + B, A \in M, B \in M^\perp[/latex].
Rješenja treba predati na predavanju u srijedu, 11. 5. 2011.
u attachmentu pdf :D
1. Neka je konačnodimenzionalan vektorski prostor i operator sa svojstvom , za sve . Dokažite da je za neki skalar . (Uputa: pokažite da ima bar jednu svojstvenu vrijednost te da je bilo koji svojstveni potprostor operator invarijantan za svaki .)
2. Utvrdite da je matrica regularna pa je invertirajte pomoću svojstvenog polinoma.
3. Neka je izomorfizam vektorskih prostora, te neka je skalarni produkt u . Dokažite da je formulom , dan jedan skalarni produkt u .
4. U unitarnom prostoru ortonormiraje skup .
5. Neka je baza potprostora unitarnog prostora . Prikazite matricu u obliku .
Rješenja treba predati na predavanju u srijedu, 11. 5. 2011.
u attachmentu pdf
Description: |
Linearna Algebra 2, 2010/11, 3 zadaca |
|
Download |
Filename: |
LA_3_zadaca.pdf |
Filesize: |
66.88 KB |
Downloaded: |
226 Time(s) |
|
|
[Vrh] |
|
maaajčiii Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 01. 2011. (12:11:11) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
Postano: 13:35 sub, 7. 5. 2011 Naslov: |
|
|
3. Neka je [latex]A : V \to W[/latex] izomorfizam vektorskih prostora, te neka je [latex]\langle\cdot,\cdot\rangle[/latex] skalarni produkt u [latex]W[/latex]. Dokažite da je formulom [latex]\langle x,y\rangle := \langle Ax,Ay\rangle, x,y \in V[/latex], dan jedan skalarni produkt u [latex]V[/latex].
U biti, svaki od provjeravanja onih 5 uvjeta je na istu foru, pa ću malo opširnije napraviti 2... valjda je to dosta da se vidi kako ide, ako nije, pitaj.
1) [latex]\langle x,x\rangle \geq 0[/latex]
[latex]\langle x,x\rangle[/latex] je po definiciji [latex]\langle Ax,Ax\rangle[/latex]. E sad primijeti da je x iz V, a Ax iz W, a u W je zadan skalarni produkt - koji onda ima i sve osobine skalarnog produkta :), pa mogu zaključiti da je [latex]\langle Ax,Ax\rangle \geq 0[/latex]
2)[latex]\langle x,x\rangle = 0[/latex] povlači x = 0.
[latex]0 = \langle x,x\rangle = \langle Ax,Ax\rangle [/latex], što povlači (pošto je skalarni produkt definiran u W, a Ax je iz W) da je Ax = 0.
Pošto je A izomorfizam, to znači da je i x = 0.
Drugi smjer je i prelagan nakon ovoga. :)
U biti, caka je... skalarni produkt u V je zadan preko skalarnog produkta u W - i taj već zadani skalarni produkt ispunjava sve uvjete. Sad samo trebaš za svaki slučaj pokazati da skalarni produkt u V ispunjava uvjet jer ga ispunjava i produkt u W.
Nije teško!
3. Neka je izomorfizam vektorskih prostora, te neka je skalarni produkt u . Dokažite da je formulom , dan jedan skalarni produkt u .
U biti, svaki od provjeravanja onih 5 uvjeta je na istu foru, pa ću malo opširnije napraviti 2... valjda je to dosta da se vidi kako ide, ako nije, pitaj.
1)
je po definiciji . E sad primijeti da je x iz V, a Ax iz W, a u W je zadan skalarni produkt - koji onda ima i sve osobine skalarnog produkta , pa mogu zaključiti da je
2) povlači x = 0.
, što povlači (pošto je skalarni produkt definiran u W, a Ax je iz W) da je Ax = 0.
Pošto je A izomorfizam, to znači da je i x = 0.
Drugi smjer je i prelagan nakon ovoga.
U biti, caka je... skalarni produkt u V je zadan preko skalarnog produkta u W - i taj već zadani skalarni produkt ispunjava sve uvjete. Sad samo trebaš za svaki slučaj pokazati da skalarni produkt u V ispunjava uvjet jer ga ispunjava i produkt u W.
Nije teško!
|
|
[Vrh] |
|
lalala5 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2010. (17:54:28) Postovi: (3C)16
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
Postano: 22:16 pon, 9. 5. 2011 Naslov: |
|
|
Naš uvjet je [latex]AB = BA, \forall B \in L(V) [/latex], a znamo da se linearni operatori mogu prikazivati pomoću matrica (ako uzmemo dim V = n, izomorfizam između [latex]L(V) i M_n[/latex]... no to se već zna sa predavanja).
E sad, možeš li se sjetiti kakvih zgodnih matrica s kojima je lako množiti i isprobati ovu AB = BA jednakost.
Evo npr. ako uzimaš matricu gdje su sve vrijednosti 0 osim [latex]a_{11} = 1[/latex], pa matricu gdje su sve vrijednosti 0 osim [latex]a_{22} = 1[/latex] ... itd sve do matrice gdje su sve vrijednosti 0 osim [latex]a_{nn} = 1[/latex] - vidit ćeš da je A uistinu nekakava dijagonalna matrica (no još ne znamo da je oblika [latex] \alpha I, \alpha \in R[/latex]!)...
da li je sad lakše za nastaviti i pokazati da su sve vrijednosti na dijagonali uistinu jednake? (ako nešto nije jasno, samo pitaj)
Naš uvjet je , a znamo da se linearni operatori mogu prikazivati pomoću matrica (ako uzmemo dim V = n, izomorfizam između ... no to se već zna sa predavanja).
E sad, možeš li se sjetiti kakvih zgodnih matrica s kojima je lako množiti i isprobati ovu AB = BA jednakost.
Evo npr. ako uzimaš matricu gdje su sve vrijednosti 0 osim , pa matricu gdje su sve vrijednosti 0 osim ... itd sve do matrice gdje su sve vrijednosti 0 osim - vidit ćeš da je A uistinu nekakava dijagonalna matrica (no još ne znamo da je oblika !)...
da li je sad lakše za nastaviti i pokazati da su sve vrijednosti na dijagonali uistinu jednake? (ako nešto nije jasno, samo pitaj)
|
|
[Vrh] |
|
rom Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35) Postovi: (2D)16
|
|
[Vrh] |
|
|