| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
lalala5
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2010. (17:54:28)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
pmli
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: 
|
 Postano: 23:42 uto, 22. 3. 2011 Naslov: |
    |
|
|
Ajmo odmah odrediti matrični zapis u kanonskoj bazi (tad je obično lakše). Dobi se [latex]G(e) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-2 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-8 & -6 & 2 \\
11 & 8 & -2 \\
3 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-2 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/latex] (i vidi vraga, doista je lakše :D).
Odredimo sad matrični prikaz u kanonskoj bazi, ali koristeći samo zadanu "formulu". Označimo s [latex]p_1[/latex], [latex]p_2[/latex] i [latex]p_3[/latex] elemente kanonske baze od [latex]\mathcal{P}_2[/latex]. Dakle, [latex]p_1[/latex] je konstantna funkcija (konstantno 1), [latex]p_2[/latex] je identiteta, a [latex]p_3[/latex] je "kvadriranje". Vidimo da je [latex]G(p_1)(t) = a p_1(t) + b p_1(t - 1) = a \cdot 1 + b \cdot 1 = a + b[/latex], [latex]G(p_1)(t) = a p_2(t) + b p_2(t - 1) = a t + b (t - 1) = -b + (a + b) t[/latex] i [latex]G(p_3)(t) = a p_3(t) + b p_3(t - 1) = a t^2 + b (t - 1)^2 = b - 2 b t + (a + b) t^2[/latex]. Dakle, [latex]G(e) =
\begin{bmatrix}
a + b & -b & b \\
0 & a + b & -2 b \\
0 & 0 & a + b
\end{bmatrix}[/latex].
No, dvije matrice koje smo dobili moraju biti jednake. Lako slijedi da je [latex]a = -1[/latex] i [latex]b = 1[/latex].
Ajmo odmah odrediti matrični zapis u kanonskoj bazi (tad je obično lakše). Dobi se  (i vidi vraga, doista je lakše  ).
Odredimo sad matrični prikaz u kanonskoj bazi, ali koristeći samo zadanu "formulu". Označimo s  ,  i  elemente kanonske baze od  . Dakle, je konstantna funkcija (konstantno 1), je identiteta, a je "kvadriranje". Vidimo da je  ,  i  . Dakle,  .
No, dvije matrice koje smo dobili moraju biti jednake. Lako slijedi da je  i  .
|
|
| [Vrh] |
|
lalala5
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2010. (17:54:28)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
pmli
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
pupi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 12. 2009. (11:03:15)
Postovi: (92)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
pmli
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
pupi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 12. 2009. (11:03:15)
Postovi: (92)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Joker
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16)
Postovi: (8C)16
Spol:
|
| Postano: 23:50 sri, 23. 3. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="pmli"]Ajmo odmah odrediti matrični zapis u kanonskoj bazi (tad je obično lakše). Dobi se [latex]G(e) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-2 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-8 & -6 & 2 \\
11 & 8 & -2 \\
3 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
-2 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/latex] (i vidi vraga, doista je lakše :D).
Odredimo sad matrični prikaz u kanonskoj bazi, ali koristeći samo zadanu "formulu". Označimo s [latex]p_1[/latex], [latex]p_2[/latex] i [latex]p_3[/latex] elemente kanonske baze od [latex]\mathcal{P}_2[/latex]. Dakle, [latex]p_1[/latex] je konstantna funkcija (konstantno 1), [latex]p_2[/latex] je identiteta, a [latex]p_3[/latex] je "kvadriranje". Vidimo da je [latex]G(p_1)(t) = a p_1(t) + b p_1(t - 1) = a \cdot 1 + b \cdot 1 = a + b[/latex], [latex]G(p_1)(t) = a p_2(t) + b p_2(t - 1) = a t + b (t - 1) = -b + (a + b) t[/latex] i [latex]G(p_3)(t) = a p_3(t) + b p_3(t - 1) = a t^2 + b (t - 1)^2 = b - 2 b t + (a + b) t^2[/latex]. Dakle, [latex]G(e) =
\begin{bmatrix}
a + b & -b & b \\
0 & a + b & -2 b \\
0 & 0 & a + b
\end{bmatrix}[/latex].
No, dvije matrice koje smo dobili moraju biti jednake. Lako slijedi da je [latex]a = -1[/latex] i [latex]b = 1[/latex].[/quote]
jel ovaj umnozak matrica stvarno tak ispada? =SS
ja sam racunala to isto i u wolframu takoder i drugacije mi ispada..?
aha,jasno ,ti si je odmah "uredio"...sve je jasno =)
| pmli (napisa): | Ajmo odmah odrediti matrični zapis u kanonskoj bazi (tad je obično lakše). Dobi se (i vidi vraga, doista je lakše ).
Odredimo sad matrični prikaz u kanonskoj bazi, ali koristeći samo zadanu "formulu". Označimo s , i elemente kanonske baze od . Dakle, je konstantna funkcija (konstantno 1), je identiteta, a je "kvadriranje". Vidimo da je , i . Dakle, .
No, dvije matrice koje smo dobili moraju biti jednake. Lako slijedi da je i . |
jel ovaj umnozak matrica stvarno tak ispada? =SS
ja sam racunala to isto i u wolframu takoder i drugacije mi ispada..?
aha,jasno ,ti si je odmah "uredio"...sve je jasno =)
|
|
| [Vrh] |
|
lalala5
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 10. 2010. (17:54:28)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
piccola
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2009. (15:39:50)
Postovi: (D7)16
|
|
| [Vrh] |
|
Lepi91
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2010. (15:22:23)
Postovi: (C8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
kre5o
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 09. 2009. (22:20:52)
Postovi: (32)16
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 13:46 ned, 27. 3. 2011 Naslov: |
|
|
|
Evo ti za početak nekoliko hintova i objašnjenja pa, ako račun baš ne bude išao, kaži pa ću ga napisati (osim ako me netko ne sustigne :P).
Prvi korak je određivanje elemenata koji pripadaju skupu [latex]M[/latex]. Znači, raspišeš [latex]A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \\
\end{bmatrix}[/latex], raspišeš [latex]AB=BA[/latex] i, shodno tome, odrediš kakav je opći oblik matrice [latex]A[/latex] preko preostalih parametara.
A sada bitan dio: [latex]A[/latex] isto tako možeš raspisati i preko neke baze za [latex]M_{2 \times 2}(\mathbb{R})[/latex] (i to je baza za potprostor [latex]M[/latex]). Sada, pak, određuješ dualnu bazu baze za [latex]M[/latex] i onda nadopunjavaš dualnu bazu do baze za [latex]M_{2 \times 2}(\mathbb{R})^{*}[/latex]. Baza za anihilator [latex]M[/latex]° je upravo ova nadopuna dualne baze!
Zašto? Rekli smo kako je općenito [latex]e_{i}^{*}(e_{j})=\delta_{i,j}[/latex], odnosno [latex]1[/latex] za [latex]i=j[/latex] ili [latex]0[/latex] za [latex]i \neq j[/latex]. Odnosno, određeni ([latex]i[/latex]-ti) vektor (funkcional) dualne baze "šalje" vektor u skalar koji se nalazi ispred pripadajućeg elementa početne baze ([latex]i[/latex]-ti skalar). Shodno tome, kada smo odredili dualnu bazu baze za [latex]M[/latex], dobili smo funkcionale koji "šalju" na one preostale parametre. A za nadopunu, pak, možemo zamisliti kako "šalje" na skalare koji se nalaze pred ostalim elementima baze za [latex]M_{2 \times 2}(\mathbb{R})[/latex] - a ti skalari su zapravo [latex]0[/latex]! Što bi značilo, sve vektore iz tog potprostora šalju u [latex]0[/latex]. :)
Pr., [latex]x=ae_{1}+be_{2}[/latex] je vektor u vektorskom prostoru dimenzije [latex]3[/latex]. Dualna baza je [latex]{e_{1}^{*},e_{2}^{*}}[/latex] i vrijedi: [latex]e_{1}^{*}(x)=a, e_{2}^{*}(x)=b[/latex]. Proširenjem dualne baze dobivamo treći funkcional, [latex]e_{3}^{*}[/latex], koji je povezan s nekim vektorom [latex]e_{3}[/latex] iz početnog vektorskog prostora. A zapravo: [latex]x=ae_{1}+be_{2}=ae_{1}+be_{2}+0 \cdot e_{3}[/latex], iz čega slijedi [latex]e_{3}^{*}(x)=0[/latex]. Stoga je [latex]e_{3}^{*}[/latex] jedan od elemenata anihilatora skupa u kojem pripada [latex]x[/latex].
Eto, nadam se da je barem nešto jasnije. Ja sam ovdje dodao neke svoje observacije, a probaj uz njih prolistati i bilježnicu ili knjigu jer je gradivo podosta apstraktno. No, jednom kada se shvati, znatno je lakše. :)
Evo ti za početak nekoliko hintova i objašnjenja pa, ako račun baš ne bude išao, kaži pa ću ga napisati (osim ako me netko ne sustigne  ).
Prvi korak je određivanje elemenata koji pripadaju skupu  . Znači, raspišeš  , raspišeš  i, shodno tome, odrediš kakav je opći oblik matrice  preko preostalih parametara.
A sada bitan dio: isto tako možeš raspisati i preko neke baze za  (i to je baza za potprostor ). Sada, pak, određuješ dualnu bazu baze za i onda nadopunjavaš dualnu bazu do baze za  . Baza za anihilator ° je upravo ova nadopuna dualne baze!
Zašto? Rekli smo kako je općenito  , odnosno  za  ili  za  . Odnosno, određeni ( -ti) vektor (funkcional) dualne baze "šalje" vektor u skalar koji se nalazi ispred pripadajućeg elementa početne baze (-ti skalar). Shodno tome, kada smo odredili dualnu bazu baze za , dobili smo funkcionale koji "šalju" na one preostale parametre. A za nadopunu, pak, možemo zamisliti kako "šalje" na skalare koji se nalaze pred ostalim elementima baze za - a ti skalari su zapravo ! Što bi značilo, sve vektore iz tog potprostora šalju u . 
Pr.,  je vektor u vektorskom prostoru dimenzije  . Dualna baza je  i vrijedi:  . Proširenjem dualne baze dobivamo treći funkcional,  , koji je povezan s nekim vektorom  iz početnog vektorskog prostora. A zapravo:  , iz čega slijedi  . Stoga je jedan od elemenata anihilatora skupa u kojem pripada  .
Eto, nadam se da je barem nešto jasnije. Ja sam ovdje dodao neke svoje observacije, a probaj uz njih prolistati i bilježnicu ili knjigu jer je gradivo podosta apstraktno. No, jednom kada se shvati, znatno je lakše.
|
|
| [Vrh] |
|
kre5o
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 09. 2009. (22:20:52)
Postovi: (32)16
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
pmli
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
| Postano: 23:17 pon, 26. 3. 2012 Naslov: |
|
|
|
Pozdrav!
Opet bih molio provjeru :D
Linearni operator [tex]G:\mathcal P_2\to\mathcal P_2[/tex] zadan je s [dtex]G(p)(t)=ap(t)+bp(t-1),[/dtex] gdje je [tex]\mathcal P_2[/tex] prostor realnih polinoma stupnja [tex]\le 2[/tex], dok su [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] realni brojevi. Ako je matrični zapis operatora [tex]G[/tex] u bazi [tex]\left\{1-2t-t^2,-t-t^2,3-t+t^2\right\}[/tex] matrica [dtex]\begin{bmatrix}
-8 & -6 & 2\\
11 & 8 & -2\\
3 & 2 & 0
\end{bmatrix},
[/dtex] odredite brojeve [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], te zapis operatora [tex]G[/tex] u kanonskoj bazi.
Dobio sam [tex]a=-1, \ b=1[/tex], te [dtex][G]^e_e=\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2\\
0 & 0 &0
\end{bmatrix}.
[/dtex]
Unaprijed hvala na odgovoru i hvala matijaB na prethodnom odgovoru.
Pozdrav!
Opet bih molio provjeru
Linearni operator [tex]G:\mathcal P_2\to\mathcal P_2[/tex] zadan je s [dtex]G(p)(t)=ap(t)+bp(t-1),[/dtex] gdje je [tex]\mathcal P_2[/tex] prostor realnih polinoma stupnja [tex]\le 2[/tex], dok su [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] realni brojevi. Ako je matrični zapis operatora [tex]G[/tex] u bazi [tex]\left\{1-2t-t^2,-t-t^2,3-t+t^2\right\}[/tex] matrica [dtex]\begin{bmatrix}
-8 & -6 & 2\\
11 & 8 & -2\\
3 & 2 & 0
\end{bmatrix},
[/dtex] odredite brojeve [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], te zapis operatora [tex]G[/tex] u kanonskoj bazi.
Dobio sam [tex]a=-1, \ b=1[/tex], te [dtex][G]^e_e=\begin{bmatrix}
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2\\
0 & 0 &0
\end{bmatrix}.
[/dtex]
Unaprijed hvala na odgovoru i hvala matijaB na prethodnom odgovoru.
|
|
| [Vrh] |
|
|
