1. kolokvij od prosle godine

[pedro]

i ja isto sam tak dobila
daj rješi taj iz druge grupe da vidim kak si dobio
meni se neda to pretipkavat

[Zenon]

[pedro]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-0809-kol1b.pdf
može tko riješit prvi???

[ceps]

Pa, ako si zapišeš polinom kao i izračunaš ove p(1), p'(1)... dobit ćeš da je:

, ako se ne varam.

Da li je onda malo lakše obaviti ostatak posla? Npr. odgovoriti na to za koje je polinome 2b = 0 i 2(a + b) = 0 (jezgra!) itd. itd.

[pedro]

[dalmatinčica]

ne, c ti nije 0

[pedro]

[PermutiranoPrase]

c može biti bilo koji realni broj. Tvoj polinom je oblika p(x) = [tex]ax^2 + bx + c[/tex]. Dobila si za jezgru da a i b moraju biti 0, a za c se ništa ne spominje... Zato je baza za jezgru {1} (ili bilo koji drugi broj).
(Je l da? )

Nego, mene buni sljedeći zadatak u tom kolokviju.
Imam operator [tex]A : P_2 → P_2[/tex], zadan s [tex]A(p)(t) = p(0) + p(1)t + p(2)t^2[/tex]. Moram odrediti matrični prikaz u paru baza [tex](e) = \{A(1), A(t), A(t^2)\}[/tex] i [tex](f)=\{1+t, 1+t^2, t+t^2\}[/tex].

Što su [tex]A(1), A(t), A(t^2)[/tex]? Zbunilo me jer gore imam A(p)(t), pa ne znam kako ovo izračunati.
I kad dobijem [tex]A(1), A(t), A(t^2)[/tex], ako njih ubacim u matricu, je li to onda matrica A(e,e) koju dalje mogu koristiti u onoj formuli za računanje A(f',e') preko matrica prijelaza? A smijem je koristiti jer mi je V=W pa mogu imati i npr. A(e,e) i A(f,f) i A(f,e) i sve moguće varijante?

Ovo s (e), (f), (e'), (f') mi je malo... zbunjujuće. Malo.

_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.

[gflegar]

Ako sam dobro skuzio tebi bas nije jasno sto je [tex]A(p)(t)[/tex]. Dakle, [tex]A[/tex] je linearan operator koji preslikava polinom [tex]p \in P_2[/tex] u neki polinom [tex]A(p) \in P_2[/tex], koji u tocki [tex]t[/tex] ima vrijednost [tex]A(p)(t) = p(0) + p(1)t + p(2)t^2[/tex].
Dakle, [tex]A(1)[/tex] je polinom koji nastaje djelovanjem operatora [tex]A[/tex] na konstantni polinom [tex]p(t) = 1[/tex], [tex]A(t)[/tex] na polinom [tex]p(t) = t[/tex] i [tex]A(t^2)[/tex] na [tex] p(t) = t^2[/tex]. Kad to izracunas imas:
[dtex] A(1)(t) = 1 + t + t^2[/dtex]
[dtex]A(t)(t) = t + 2t^2[/dtex]
[dtex]A(t^2)(t) = t + 4t^2[/dtex]

Iz ovoga mozemo dobiti prikaz operatora u kanonskoj bazi [tex] (e) = \{1, t, t^2\}[/tex]:
[dtex] [A]_e^e = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4
\end{bmatrix}[/dtex]

Ali nama treba prikaz operatora u paru baza [tex](f) = \{ A(1), A(t), A(t^2) \}[/tex] i [tex](g) = \{1 + t, 1+t^2, t + t^2\}[/tex]. Za to trebamo izracunati matrice prijelaza iz baze [tex]e[/tex] u baze [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex].
Zbog toga kako je zadana baza [tex]f[/tex] vrijedi [tex][I]_f^e = [A]_e^e[/tex] (jer su vektori baze [tex]f[/tex] upravo slike kanonske baze).
Izracunas matricu prijelaza [tex][I]_g^e[/tex], pa mozes izracunati i prikaz operatora u paru baza [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex]....
[dtex] [A]_f^g = ([I]_g^e)^{-1}[A]_e^e[I]_f^e[/dtex]

Nadam se da je sad jasnije...

_________________
http://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~gflegar

[PermutiranoPrase]

Jest, hvala!

_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.

[pedro]

[ceps]

Znači linearan operator (provjeri si da je linearan ako ti nije jasno) pridružuje polinomu polinom drugog stupnja čiji su koeficijenti vrijednosti polinoma p u (redom) 0, 1 i 2.

Naprimjer, da nam je :





pa je

Kad ovo provedemo na polinomima kanonske baze - dobijemo upravo ovo što je gflegar napisao (probaj sam)!

[pedro]

[Zenon]

Znači, pravilo pridruživanja operatora glasi [tex]A(p)(t) = p(0) + p(1)t + p(2)t^2[/tex].
Što to znači? To znači da operator A prima polinom kao argument. Evo, raspisat ću ti prva dva:
Prvi argument je 1, što je zapravo polinom oblika [tex]p(t)=1[/tex].
Sada promatramo vrijednosti toga polinoma u točkama 0, 1 i 2, zato što baš te vrijednosti "vraća" naš operator.
[tex]p(0)=p(1)=p(2)=1[/tex], zato što se radi o konstantnom polinomu. I sada te vrijednosti uvrstiš u formulu operatora:
[tex]A(1) = 1 + 1\cdot t + 1\cdot t^2=1+t+t^2[/tex]

Drugi argument je t, što je zapravo polinom oblika [tex]p(t)=t[/tex].
Analogno i za ovaj polinom promatramo njegove vrijednosti u točkama 0, 1 i 2:
[tex]p(0)=0, \ p(1)=1, \ p(2)=2[/tex]. Uvrštavanjem tih vrijednosti u operator dobivaš:
[tex]A(t) = 0 + 1\cdot t + 2\cdot t^2=t+2t^2[/tex]

Je li ti sada jasnije?

EDIT: Malo sam zakasnio

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[pedro]

da da, skužila sam, hvala ekipa
jel može još samo drugi dio zadatka? da li postoji taj q? kako to

[Zenon]

[Shaman]

[pedro]

[dalmatinčica]

ova matrica je proizvoljni element slike
razdvojiš to kao zbroj 2 matice od kojih jedna sadrži samo a-ove, a druga b-ove, onda izlučiš a tj. b i dobiješ 2 matrice koje čine si za sliku(razapinju proizvoljan vektor slike), budući da su lin nezavisni, baza su:
tj.
a*(0, 2)+b*(2,2)
baza je {(0,2),(2,2)}