Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 9:56 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="dalmatinčica"][latex]A(ax^2 + bx + c) = \begin{bmatrix}
2b \\
2(a+b) \\
\end{bmatrix}[/latex]
ova matrica je proizvoljni element slike
razdvojiš to kao zbroj 2 matice od kojih jedna sadrži samo a-ove, a druga b-ove, onda izlučiš a tj. b i dobiješ 2 matrice koje čine si za sliku(razapinju proizvoljan vektor slike), budući da su lin nezavisni, baza su:
tj.
a*(0, 2)+b*(2,2)
baza je {(0,2),(2,2)}[/quote]
aha, dada, shvatila sam sada, a ovo za jezgru mi je dobro?
[size=9][color=#999999]Added after 9 minutes:[/color][/size]
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-0708-kol1a.pdf može prvi?
dalmatinčica (napisa): |
ova matrica je proizvoljni element slike
razdvojiš to kao zbroj 2 matice od kojih jedna sadrži samo a-ove, a druga b-ove, onda izlučiš a tj. b i dobiješ 2 matrice koje čine si za sliku(razapinju proizvoljan vektor slike), budući da su lin nezavisni, baza su:
tj.
a*(0, 2)+b*(2,2)
baza je {(0,2),(2,2)} |
aha, dada, shvatila sam sada, a ovo za jezgru mi je dobro?
Added after 9 minutes:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-0708-kol1a.pdf može prvi?
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
Postano: 12:19 ned, 1. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="pedro"]a ovo za jezgru mi je dobro? [/quote]
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
A ovaj drugi zadatak je isti...
Za [tex] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}[/tex] imamo:
[dtex] tr(AB) = tr(BA) = a - b + 2c[/dtex]
[dtex] tr(BAB) = - a - b + 2c - 2d[/dtex]
pa je [dtex]\Phi(A)(x) = a - b + 2c + (a - b + 2c) x^2 + (-a - b + 2c - 2d)x^4 = a(1 + x^2 - x^4) + b(-1 -x^2 - x^4) + c(2 + 2x^2 + 2x^4) + d(-2x^4)[/dtex]
Skup sastavljen od polinoma uz koeficijente [tex]a, b, c, d[/tex] je sustav izvodnica za [tex]Im\ \Phi[/tex], pa ga reduciramo do baze, npr. [tex]\{1 + x^2 + x^4, -2x^4\}[/tex]. Iz ovoga je [tex]r(\Phi) = 2[/tex]
Da odredimo sliku rjesavamo sustav:
[dtex]a - b + 2c + (a - b + 2c) x^2 + (-a - b + 2c - 2d)x^4 = 0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}[/dtex]
Rjesenje je upravo jezgra za [tex]\Phi[/tex],
[dtex] Ker \ \Phi = \left\{ s\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} : s, t \in \mathbb{R} \right\}[/dtex].
Baza za jezgru je [tex]\left\{\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \right\}[/tex] te [tex]d(\Phi) = 2[/tex].
pedro (napisa): | a ovo za jezgru mi je dobro? |
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
A ovaj drugi zadatak je isti...
Za [tex] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}[/tex] imamo:
[dtex] tr(AB) = tr(BA) = a - b + 2c[/dtex]
[dtex] tr(BAB) = - a - b + 2c - 2d[/dtex]
pa je [dtex]\Phi(A)(x) = a - b + 2c + (a - b + 2c) x^2 + (-a - b + 2c - 2d)x^4 = a(1 + x^2 - x^4) + b(-1 -x^2 - x^4) + c(2 + 2x^2 + 2x^4) + d(-2x^4)[/dtex]
Skup sastavljen od polinoma uz koeficijente [tex]a, b, c, d[/tex] je sustav izvodnica za [tex]Im\ \Phi[/tex], pa ga reduciramo do baze, npr. [tex]\{1 + x^2 + x^4, -2x^4\}[/tex]. Iz ovoga je [tex]r(\Phi) = 2[/tex]
Da odredimo sliku rjesavamo sustav:
[dtex]a - b + 2c + (a - b + 2c) x^2 + (-a - b + 2c - 2d)x^4 = 0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}[/dtex]
Rjesenje je upravo jezgra za [tex]\Phi[/tex],
[dtex] Ker \ \Phi = \left\{ s\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} : s, t \in \mathbb{R} \right\}[/dtex].
Baza za jezgru je [tex]\left\{\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \right\}[/tex] te [tex]d(\Phi) = 2[/tex].
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 17:36 pet, 6. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="gflegar"][quote="pedro"]a ovo za jezgru mi je dobro? [/quote]
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
[/tex].[/quote]
mislila sam na skup od jednog vektora: {(0,0,1)}
gflegar (napisa): | pedro (napisa): | a ovo za jezgru mi je dobro? |
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
[/tex]. |
mislila sam na skup od jednog vektora: {(0,0,1)}
|
|
[Vrh] |
|
thepineapple Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2011. (18:58:15) Postovi: (12)16
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
Postano: 13:21 sub, 7. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="pedro"][quote="gflegar"][quote="pedro"]a ovo za jezgru mi je dobro? [/quote]
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
[/tex].[/quote]
mislila sam na skup od jednog vektora: {(0,0,1)}[/quote]
Opet, [tex]\{(0, 0, 1)\} \subset \mathbb{R}^3[/tex], kako taj skup moze biti baza za potprostor prostora polinoma? Elementi tog skupa cak nisu elementi vektorskog prostora za kojeg tvrdis da je to baza.
Poanta je da ovo tvoje nije bas precizno. Naravno, svakome ce biti jasno da ti tu uvodis neki izomorfizam izmedju vektorskih prostora [tex]\mathbb{R} ^3[/tex] i [tex]P_2[/tex].
Ali opet nije sasvim jasno koji je to izomorfizam....
Ti si tu vjerojatno mislila na onaj definiran formulom [tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1t^2 + x_2t + x_3[/tex],
ali moze ih se konstruirati i neki drugi, npr.[tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2t + x_3t^2[/tex] ili neki neintuitivni kao [tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 + 5x_3 + (x_2 + 7x_3)t + x_3t^2[/tex].
Dakle... nemoj si komplicirati zivot s tim, ako trazis bazu za prostor polinoma onda neka elementi te baze budu polinomi, ako trazis bazu za [tex]\mathbb{R}^n[/tex] neka elementi budu uredjene n-torke itd.
[size=9][color=#999999]Added after 15 minutes:[/color][/size]
[quote="thepineapple"]Ako moze netko napisati rjesenje prvog zadataka
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1011-kol1.pdf[/url][/quote]
Neka su [tex]e_1^*, e_2^*, e_3^*, e_4^* \in M_2(\mathbb{C})^*[/tex] definirani na proizvoljnom elementu [tex]X = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{C})[/tex] sa:
[dtex] \begin{align*}
e_1^*(X) &= -di \\
e_2^*(X) &= c \\
e_3^*(X) &= a - di \\
e_4^*(X) &= b - ci
\end{align*}[/dtex]
Jedna baza za [tex]L^0[/tex] je skup [tex]\{e_3^*, e_4^*\}[/tex], a baza za [tex]M_2(\mathbb{C})^*[/tex], [tex]\{e_1^*, e_2^*, e_3^*, e_4^*\}[/tex]
pedro (napisa): | gflegar (napisa): | pedro (napisa): | a ovo za jezgru mi je dobro? |
Kako moze baza biti [tex]\{0, 0, 1\}[/tex], pa to nije linearno nezavisan skup.... bilo koji skup koji sadrzi nulvektor je linearno zavisan. Baza za jezgru je bilo koji konstantni polinom (a da nije nulpoliom). Npr. jedna baza je [tex]\{1\}[/tex]
[/tex]. |
mislila sam na skup od jednog vektora: {(0,0,1)} |
Opet, [tex]\{(0, 0, 1)\} \subset \mathbb{R}^3[/tex], kako taj skup moze biti baza za potprostor prostora polinoma? Elementi tog skupa cak nisu elementi vektorskog prostora za kojeg tvrdis da je to baza.
Poanta je da ovo tvoje nije bas precizno. Naravno, svakome ce biti jasno da ti tu uvodis neki izomorfizam izmedju vektorskih prostora [tex]\mathbb{R} ^3[/tex] i [tex]P_2[/tex].
Ali opet nije sasvim jasno koji je to izomorfizam....
Ti si tu vjerojatno mislila na onaj definiran formulom [tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1t^2 + x_2t + x_3[/tex],
ali moze ih se konstruirati i neki drugi, npr.[tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2t + x_3t^2[/tex] ili neki neintuitivni kao [tex]\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 + 5x_3 + (x_2 + 7x_3)t + x_3t^2[/tex].
Dakle... nemoj si komplicirati zivot s tim, ako trazis bazu za prostor polinoma onda neka elementi te baze budu polinomi, ako trazis bazu za [tex]\mathbb{R}^n[/tex] neka elementi budu uredjene n-torke itd.
Added after 15 minutes:
Neka su [tex]e_1^*, e_2^*, e_3^*, e_4^* \in M_2(\mathbb{C})^*[/tex] definirani na proizvoljnom elementu [tex]X = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{C})[/tex] sa:
[dtex] \begin{align*}
e_1^*(X) &= -di \\
e_2^*(X) &= c \\
e_3^*(X) &= a - di \\
e_4^*(X) &= b - ci
\end{align*}[/dtex]
Jedna baza za [tex]L^0[/tex] je skup [tex]\{e_3^*, e_4^*\}[/tex], a baza za [tex]M_2(\mathbb{C})^*[/tex], [tex]\{e_1^*, e_2^*, e_3^*, e_4^*\}[/tex]
Zadnja promjena: gflegar; 12:23 uto, 10. 4. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
Vishykc Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 10. 2010. (14:38:08) Postovi: (6A)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
Postano: 23:00 sub, 7. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Vishykc"]Molim pomoć za 4. zad. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la2-1011-kol1.pdf
Odredih: jezgra = skup svih konstantnih polinoma, B(jezgre) = {1}. d(S) = 1, r(s) = n. Kak sad da dobijem bazu za jezgru? Hvala![/quote]
Ja sam primjetila da je dim Im(S)= dim P(n-1), to znaci ImS= P(n-1), pa je onda baza
{1, t, t^2, .... t^(n-1) } (ukupno ima tu n elemenata)
Ja sam primjetila da je dim Im(S)= dim P(n-1), to znaci ImS= P(n-1), pa je onda baza
{1, t, t^2, .... t^(n-1) } (ukupno ima tu n elemenata)
|
|
[Vrh] |
|
quark Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39) Postovi: (DA)16
Spol:
|
Postano: 23:55 sub, 7. 4. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="frutabella"]
Ja sam primjetila da je dim Im(S)= dim P(n-1), to znaci ImS= P(n-1), pa je onda baza
{1, t, t^2, .... t^(n-1) } (ukupno ima tu n elemenata)[/quote]
Da, po teoremu o rangu i defektu: [tex]\dim(ImS)=n+1-1=n[/tex]
Ali sigurno [tex]\mathscr{P}_{n-1}[/tex] nije jedini takav prostor; zašto ne bi uzela sve polinome bez konstantnih; i njih ima n!
Argumentacija je ta da operator u slici nema polinom n-tog stupnja (trebalo bi to i ispisati) pa zbog propozicije o jednakobrojnosti baza, slijedi tvrdnja.
frutabella (napisa): |
Ja sam primjetila da je dim Im(S)= dim P(n-1), to znaci ImS= P(n-1), pa je onda baza
{1, t, t^2, .... t^(n-1) } (ukupno ima tu n elemenata) |
Da, po teoremu o rangu i defektu: [tex]\dim(ImS)=n+1-1=n[/tex]
Ali sigurno [tex]\mathscr{P}_{n-1}[/tex] nije jedini takav prostor; zašto ne bi uzela sve polinome bez konstantnih; i njih ima n!
Argumentacija je ta da operator u slici nema polinom n-tog stupnja (trebalo bi to i ispisati) pa zbog propozicije o jednakobrojnosti baza, slijedi tvrdnja.
|
|
[Vrh] |
|
thepineapple Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2011. (18:58:15) Postovi: (12)16
|
|
[Vrh] |
|
|