1. Pretpostaviš da za proizvoljnu funkciju [tex]f[/tex] postoji [tex]g[/tex] takav da je [tex]f+fg+g=0[/tex]. Tada bi trebalo biti [tex]g(x)=\frac{-f(x)}{f(x)+1}[/tex]...
A što ako postoji [tex]x_o \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]f(x_o)=-1[/tex]? Primjerice, koji je inverz funkcije [tex]f(x)=-1[/tex]? ;)
2. S kojim dijelom trebaš pomoć?
Ako te zanima je li preslikavanje dobro definirano, uzmi dvije matrice takve da pripadaju istim klasama, to jest da vrijedi [tex]\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N=\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N[/tex]. A to povlači [tex]\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]^{-1}\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right] \in N[/tex]. Sada pogledaš što znači da je matrica element iz [tex]N[/tex], to primijeniš i na kraju moraš (odnosno želiš) dobiti sljedeći identitet: [tex]xz=x'z'[/tex]. Naime, iz toga bi slijedilo [tex]f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N ) = f( \left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )[/tex], a to upravo znači da je preslikavanje dobro definirano - izaberemo li dva različita elementa iz iste klase, dobit ćemo istu funkcijsku vrijednost! (Znamo da funkcija može jedan element preslikati u točno jednu vrijednost, pa tako i u ovom slučaju.)
U drugom dijelu zadatka opet uzimaš dva proizvoljna elementa (primjerice, dva kao gore) i provjeravaš vrijedi li [tex]f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N )f( \left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )=f(\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N)=f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )[/tex], a upravo tada je [tex]f[/tex] homomorfizam grupa!
(Da napomenem, druga jednakost je jasna i slijedi po samoj definiciji binarne operacije po kvocijentnom skupu s kojim zajedno čini kvocijentnu grupu. Ono što moraš provjeriti jest prva jednakost - ona vrijedi akko je preslikavanje homomorfizam grupa.)
Inače, za homomorfizam prstena moraš provjeriti isti identitet za obe operacije.
Eto, ukratko o svemu! Nadam se da je od pomoći. :) A ako ne, molim te da točno kažeš što te muči i (ako me netko ne pretekne) raspisat ću to još detaljnije. Nije problem! ;)
1. Pretpostaviš da za proizvoljnu funkciju [tex]f[/tex] postoji [tex]g[/tex] takav da je [tex]f+fg+g=0[/tex]. Tada bi trebalo biti [tex]g(x)=\frac{-f(x)}{f(x)+1}[/tex]...
A što ako postoji [tex]x_o \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]f(x_o)=-1[/tex]? Primjerice, koji je inverz funkcije [tex]f(x)=-1[/tex]?
2. S kojim dijelom trebaš pomoć?
Ako te zanima je li preslikavanje dobro definirano, uzmi dvije matrice takve da pripadaju istim klasama, to jest da vrijedi [tex]\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N=\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N[/tex]. A to povlači [tex]\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]^{-1}\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right] \in N[/tex]. Sada pogledaš što znači da je matrica element iz [tex]N[/tex], to primijeniš i na kraju moraš (odnosno želiš) dobiti sljedeći identitet: [tex]xz=x'z'[/tex]. Naime, iz toga bi slijedilo [tex]f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N ) = f( \left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )[/tex], a to upravo znači da je preslikavanje dobro definirano - izaberemo li dva različita elementa iz iste klase, dobit ćemo istu funkcijsku vrijednost! (Znamo da funkcija može jedan element preslikati u točno jednu vrijednost, pa tako i u ovom slučaju.)
U drugom dijelu zadatka opet uzimaš dva proizvoljna elementa (primjerice, dva kao gore) i provjeravaš vrijedi li [tex]f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N )f( \left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )=f(\left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]N\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N)=f( \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}
x' & y' \\
0 & z' \end{array} \right]N )[/tex], a upravo tada je [tex]f[/tex] homomorfizam grupa!
(Da napomenem, druga jednakost je jasna i slijedi po samoj definiciji binarne operacije po kvocijentnom skupu s kojim zajedno čini kvocijentnu grupu. Ono što moraš provjeriti jest prva jednakost - ona vrijedi akko je preslikavanje homomorfizam grupa.)
Inače, za homomorfizam prstena moraš provjeriti isti identitet za obe operacije.
Eto, ukratko o svemu! Nadam se da je od pomoći. A ako ne, molim te da točno kažeš što te muči i (ako me netko ne pretekne) raspisat ću to još detaljnije. Nije problem!
|