Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Neka pitanja iz usmenog kod prof. Bakića
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove)
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
zvonkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 14 - 2

PostPostano: 16:44 pon, 13. 6. 2011    Naslov: Neka pitanja iz usmenog kod prof. Bakića Citirajte i odgovorite

Ovo su pitanja iz moje grupe:

Dokaži da hermitski operator na realnom prostoru ima neprazan spektar.
Što znamo o svojstvanim vrijednostima unitarnih operatora.
Iskaz i dokaz teorema o rangu i defektu.
Dokaz: dim L(V,W)=dim V* dim W
Primjer unitarnog operatora.
Dokaz: <x,y>=<Ax,Ay> ako i samo ako ||Ax||=||x|| (treba znati interpolacijske formule).
Dokaz: za svaki funkcional f postoji jedinstveni vektor a t.d f=<x,a> za svaki x iz V.
Iskaz i dokaz Gramm-Schmidtovog teorema.
Definicija algebarske i geometrijske kratnosti svojstvene vrijednosti i dokaz da je geometrijska manja ili jednaka algebarskoj.
Definicija dualnog prostora.
Definicija hermitski adjungiranog operatora i dokaz da on postoji i da je jedinstven.
Dokaz: Cauchy-Schwarz-Bunjakowski nejednakost.
Definicija hermitskog opertora i što znamo o njegovim svojstvenim vrijednostima.

To je to iz moje grupe. Zamolio sam kolege iz sljedeće grupe da zapišu pitanja i stave ih na forum. Nadam se da će to pomoći. Sretno svima! :D
Ovo su pitanja iz moje grupe:

Dokaži da hermitski operator na realnom prostoru ima neprazan spektar.
Što znamo o svojstvanim vrijednostima unitarnih operatora.
Iskaz i dokaz teorema o rangu i defektu.
Dokaz: dim L(V,W)=dim V* dim W
Primjer unitarnog operatora.
Dokaz: <x,y>=<Ax,Ay> ako i samo ako ||Ax||=||x|| (treba znati interpolacijske formule).
Dokaz: za svaki funkcional f postoji jedinstveni vektor a t.d f=<x,a> za svaki x iz V.
Iskaz i dokaz Gramm-Schmidtovog teorema.
Definicija algebarske i geometrijske kratnosti svojstvene vrijednosti i dokaz da je geometrijska manja ili jednaka algebarskoj.
Definicija dualnog prostora.
Definicija hermitski adjungiranog operatora i dokaz da on postoji i da je jedinstven.
Dokaz: Cauchy-Schwarz-Bunjakowski nejednakost.
Definicija hermitskog opertora i što znamo o njegovim svojstvenim vrijednostima.

To je to iz moje grupe. Zamolio sam kolege iz sljedeće grupe da zapišu pitanja i stave ih na forum. Nadam se da će to pomoći. Sretno svima! Very Happy



_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
A-tom
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 05. 2010. (22:18:01)
Postovi: (AB)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 14 - 11

PostPostano: 17:25 pon, 13. 6. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Dokaz: <x,y>=<Ax,Ay> ako i samo ako ||Ax||=||x|| (treba znati interpolacijske formule).

Moze dokaz ovoga?
Dokaz: <x,y>=<Ax,Ay> ako i samo ako ||Ax||=||x|| (treba znati interpolacijske formule).

Moze dokaz ovoga?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Phoenix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -

PostPostano: 18:42 pon, 13. 6. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Prvi smjer je trivijalan - uvrsti [latex]y=x[/latex] i iz [latex]<x,x>=<Ax,Ax>[/latex] slijedi [latex]||x||=||Ax||[/latex].
Za drugi smjer treba poznavati polarizacijske formule:
[latex]<x,y>=\frac{1}{4}||x+y||^2-\frac{1}{4}||x-y||^2[/latex] (realni prostor)
[latex]<x,y>=\frac{1}{4}||x+y||^2-\frac{1}{4}||x-y||^2+\frac{i}{4}||x+yi||^2-\frac{i}{4}||x-yi||^2[/latex] (kompleksni prostor)
Konkretno, za realan prostor: pretpostavimo [latex]||Ax||=||x||[/latex].
[latex]<x,y>=\frac{1}{4}||x+y||^2-\frac{1}{4}||x-y||^2=\frac{1}{4}||A(x+y)||^2-\frac{1}{4}||A(x-y)||^2=\frac{1}{4}||Ax+Ay||^2-\frac{1}{4}||Ax-Ay||^2=<Ax,Ay>[/latex]
Prvo smo iskoristili pretpostavku, a zatim i linearnost operatora.
Dokaz za kompleksne prostore se provodi analogno.
Prvi smjer je trivijalan - uvrsti i iz slijedi .
Za drugi smjer treba poznavati polarizacijske formule:
(realni prostor)
(kompleksni prostor)
Konkretno, za realan prostor: pretpostavimo .

Prvo smo iskoristili pretpostavku, a zatim i linearnost operatora.
Dokaz za kompleksne prostore se provodi analogno.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
zvonkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 14 - 2

PostPostano: 18:47 pon, 13. 6. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jedan smjer je trivijalan, naime:
<Ax,Ax>=<x,x> => (<Ax,Ax>)^2=(<x,x>)^2=> ||Ax||=||x||.

Drugi smjer se dokazuje interpolacijskim formulama:

[size=18]<x,y>=1/4<x+y,x+y>-1/4<x-y,x-y>[/size].

Naime, kako je ||Ax||=||x|| za svaki x iz V,to vrijedi i za x+y,gdje su x i y iz V. Iz toga slijedi:
[size=18]<x+y,x+y>=||x+y||^2=||A(x+y)||^2=<Ax+Ay,Ax+Ay>[/size].
Naravno, analogno je za x-y. Sad uvrstimo u interpolacijsku formulu ovo što smo dobili i dobijemo <x,y>=<Ax,Ay> za svaki x,y iz V. :D

Napomena: Ova interpolacijska formula vrijedi samo za realne prostore, no i u kompleksnom slučaju postoje interpolacijske formule i sve je potpuno analogno. Te interpolacijske formule nalaze se u skripti prof. Bakića u napomeni 2.1.9.

Ak nešto nije jasno ili uočite grešku molim da pitate ili me ispravite.

Edit: Vidim da me Phoenix preduhitrio/la jer sam piso ovo pol sata. Sad imate dva dokaza :D
Jedan smjer je trivijalan, naime:
<Ax,Ax>=<x,x> ⇒ (<Ax,Ax>)^2=(<x,x>)^2⇒ ||Ax||=||x||.

Drugi smjer se dokazuje interpolacijskim formulama:

<x,y>=1/4<x+y,x+y>-1/4<x-y,x-y>.

Naime, kako je ||Ax||=||x|| za svaki x iz V,to vrijedi i za x+y,gdje su x i y iz V. Iz toga slijedi:
<x+y,x+y>=||x+y||^2=||A(x+y)||^2=<Ax+Ay,Ax+Ay>.
Naravno, analogno je za x-y. Sad uvrstimo u interpolacijsku formulu ovo što smo dobili i dobijemo <x,y>=<Ax,Ay> za svaki x,y iz V. Very Happy

Napomena: Ova interpolacijska formula vrijedi samo za realne prostore, no i u kompleksnom slučaju postoje interpolacijske formule i sve je potpuno analogno. Te interpolacijske formule nalaze se u skripti prof. Bakića u napomeni 2.1.9.

Ak nešto nije jasno ili uočite grešku molim da pitate ili me ispravite.

Edit: Vidim da me Phoenix preduhitrio/la jer sam piso ovo pol sata. Sad imate dva dokaza Very Happy



_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove) Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan