[quote="mew_17"]Može pomoć oko rješavanja ovog zadatka?
Neka je [tex] M = \{(1, 2, -3, 1), (0, 1, 4, -1)\}\subseteq R^4[/tex].
Odredite neku bazu za anihilator od M.[/quote]
kao sto je kolega jema rekao,algoritam je uvijek isti za pronalazak neke baze za anihilator(slicno kao i kod nalazenja baze za direktni komplement)
prvo se dani skup nadopuni do baze za [tex] R^4 [/tex] to je uvijek najlakse napraviti uz pomoc vektora iz kanonske baze npr,
[tex] M = \{(1, 2, -3, 1), (0, 1, 4, -1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}[/tex]. dakle nadopunio sam s [tex] e_1\ i\ e_2 [/tex], ali ipak za svaki slucaj se treba provjeriti lin.nezavisnost rjesavajuci sustav
[tex] \alpha*\begin{bmatrix} 1\\2\\-3\\1 \end{bmatrix} + \beta*\begin{bmatrix} 0\\1\\4\\-1 \end{bmatrix}+\gamma*\begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}+\delta*\begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} [/tex] rjesavanjem sustava se dobije da [tex] \alpha=\beta=\gamma=\delta=0 [/tex]
sada promotrimo njoj dualnu bazu [tex] \{a_1^*,a_2^*,e_1^*,e_2^*\} [/tex]
uzmemo bilo koji vektor [tex] x \in R^4 [/tex] znamo da se on moze prikazati kao lin.kombinacija [tex] x=(x_1,x_2,x_4,x_4)=\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2+\alpha_3*e_1+\alpha_4*e_2 [/tex] pa gledamo kako funkcional e djeluje na x.
Dobijemo sustav
[tex] x_1=\alpha_1+\alpha_3[/tex]
[tex]x_2=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4[/tex]
[tex]x_3=-3\alpha_1+4\alpha_2[/tex]
[tex]x_4=4\alpha_1-\alpha_2[/tex]
rjesavanjem se dobije
[tex]\alpha_1=\frac{1}{13}x_3+\frac{4}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_2=\frac{4}{13}x_3+\frac{3}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_3=x_1-\frac{1}{13}x_3-\frac{4}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_4=x_2-\frac{6}{13}x_3-\frac{11}{13}x_4[/tex]
Opcenito,znamo da vrijedi [tex] e_i^*(e_j) = \delta_{ij} [/tex]
pa znamo kako [tex] e_1^*\ i\ e_2^*[/tex] djeluju na x te oni cine bazu za [tex] M^° [/tex]
Cijeli dokaz i sva "spika" oko anihilatora prop. 5.3.9 skripta prof.Bakica :D
mew_17 (napisa): | Može pomoć oko rješavanja ovog zadatka?
Neka je [tex] M = \{(1, 2, -3, 1), (0, 1, 4, -1)\}\subseteq R^4[/tex].
Odredite neku bazu za anihilator od M. |
kao sto je kolega jema rekao,algoritam je uvijek isti za pronalazak neke baze za anihilator(slicno kao i kod nalazenja baze za direktni komplement)
prvo se dani skup nadopuni do baze za [tex] R^4 [/tex] to je uvijek najlakse napraviti uz pomoc vektora iz kanonske baze npr,
[tex] M = \{(1, 2, -3, 1), (0, 1, 4, -1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}[/tex]. dakle nadopunio sam s [tex] e_1\ i\ e_2 [/tex], ali ipak za svaki slucaj se treba provjeriti lin.nezavisnost rjesavajuci sustav
[tex] \alpha*\begin{bmatrix} 1\\2\\-3\\1 \end{bmatrix} + \beta*\begin{bmatrix} 0\\1\\4\\-1 \end{bmatrix}+\gamma*\begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}+\delta*\begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} [/tex] rjesavanjem sustava se dobije da [tex] \alpha=\beta=\gamma=\delta=0 [/tex]
sada promotrimo njoj dualnu bazu [tex] \{a_1^*,a_2^*,e_1^*,e_2^*\} [/tex]
uzmemo bilo koji vektor [tex] x \in R^4 [/tex] znamo da se on moze prikazati kao lin.kombinacija [tex] x=(x_1,x_2,x_4,x_4)=\alpha_1*a_1+\alpha_2*a_2+\alpha_3*e_1+\alpha_4*e_2 [/tex] pa gledamo kako funkcional e djeluje na x.
Dobijemo sustav
[tex] x_1=\alpha_1+\alpha_3[/tex]
[tex]x_2=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4[/tex]
[tex]x_3=-3\alpha_1+4\alpha_2[/tex]
[tex]x_4=4\alpha_1-\alpha_2[/tex]
rjesavanjem se dobije
[tex]\alpha_1=\frac{1}{13}x_3+\frac{4}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_2=\frac{4}{13}x_3+\frac{3}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_3=x_1-\frac{1}{13}x_3-\frac{4}{13}x_4[/tex]
[tex]\alpha_4=x_2-\frac{6}{13}x_3-\frac{11}{13}x_4[/tex]
Opcenito,znamo da vrijedi [tex] e_i^*(e_j) = \delta_{ij} [/tex]
pa znamo kako [tex] e_1^*\ i\ e_2^*[/tex] djeluju na x te oni cine bazu za [tex] M^° [/tex]
Cijeli dokaz i sva "spika" oko anihilatora prop. 5.3.9 skripta prof.Bakica
_________________
getting recognized
Zadnja promjena: simon11; 21:25 sub, 7. 4. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|