Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

zadatak 2.24. (vježbe) (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Statistika
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gost






PostPostano: 21:55 ned, 9. 10. 2011    Naslov: zadatak 2.24. (vježbe) Citirajte i odgovorite

Zadatak je ovdje http://web.math.hr/nastava/stat/files/chap2_novo.pdf
Ne znam kako bi se riješilo pod (a), za početak :D
Krenula sam ovako: [latex]F_Y(x)=P(Y\leq x)=P(\frac{1}{X}\leq x)=P(X\geq\frac{1}{x})= \displaystyle\int\limits_{\frac{1}{x}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}} dt[/latex]
Kako to riješiti? Znam da je vrijednost integrala jedaka 1 dok su granice od -infti do infti, da li se to može nekako tu iskoristiti?
Zadatak je ovdje http://web.math.hr/nastava/stat/files/chap2_novo.pdf
Ne znam kako bi se riješilo pod (a), za početak Very Happy
Krenula sam ovako:
Kako to riješiti? Znam da je vrijednost integrala jedaka 1 dok su granice od -infti do infti, da li se to može nekako tu iskoristiti?


[Vrh]
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 19:38 pon, 10. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Treba paziti s predznacima kod nejednakosti. Slučajna varijabla [tex]X[/tex] poprima i pozitivne i negativne vrijednosti, a [tex]x[/tex] također može biti pozitivan i negativan. Ajmo prvo razlučiti na slučajeve po predznacima od [tex]X[/tex]:
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X > 0\right)[/dtex]
Znamo da je [tex]\mathbb{P}(X = 0) = 0[/tex], pa je i [tex]\mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) = 0[/tex]. Slijedi da je
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}\left(x X \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(x X \geq 1, X > 0\right)[/dtex]
Sad možemo gledati ovisno o tome kakvog je [tex]x[/tex] predznaka:[list][*][tex]\displaystyle x = 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(0) = \mathbb{P}\left(0 \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(0 \geq 1, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) = \frac{1}{2}[/tex]
[*][tex]\displaystyle x > 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} + 1 - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]
[*][tex]\displaystyle x < 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{x} \leq X < 0\right) = \Phi(0) - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex][/list:u]
Dakle, [dtex]F_Y(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x > 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0 \\
\frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x < 0
\end{array} \right.[/dtex]
Ne znam može li se [tex]\Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] eksplicitno izračunati, pa sam ostavio u takvom obliku.
Treba paziti s predznacima kod nejednakosti. Slučajna varijabla [tex]X[/tex] poprima i pozitivne i negativne vrijednosti, a [tex]x[/tex] također može biti pozitivan i negativan. Ajmo prvo razlučiti na slučajeve po predznacima od [tex]X[/tex]:
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) + \mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X > 0\right)[/dtex]
Znamo da je [tex]\mathbb{P}(X = 0) = 0[/tex], pa je i [tex]\mathbb{P}\left(\frac{1}{X} \leq x, X = 0\right) = 0[/tex]. Slijedi da je
[dtex]F_Y(x) = \mathbb{P}\left(x X \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(x X \geq 1, X > 0\right)[/dtex]
Sad možemo gledati ovisno o tome kakvog je [tex]x[/tex] predznaka:
  • [tex]\displaystyle x = 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(0) = \mathbb{P}\left(0 \leq 1, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(0 \geq 1, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) = \frac{1}{2}[/tex]
  • [tex]\displaystyle x > 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} + 1 - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]
  • [tex]\displaystyle x < 0 \quad \Rightarrow \quad F_Y(x) = \mathbb{P}\left(X \geq \frac{1}{x}, X < 0\right) + \mathbb{P}\left(X \leq \frac{1}{x}, X > 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{x} \leq X < 0\right) = \Phi(0) - \Phi\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]

Dakle, [dtex]F_Y(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{3}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x > 0 \\
\frac{1}{2}, & x = 0 \\
\frac{1}{2} - \Phi\left(\frac{1}{x}\right), & x < 0
\end{array} \right.[/dtex]
Ne znam može li se [tex]\Phi\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] eksplicitno izračunati, pa sam ostavio u takvom obliku.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
w
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 02. 2005. (19:34:36)
Postovi: (168)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
41 = 48 - 7

PostPostano: 23:34 sri, 12. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Tako je, rješenje ostavite u ovom obliku (ne postoji eksplicitni oblik za [tex]\phi(\frac 1 x)[/tex] ).

Sad vidim i da je u rješenjima na webu napravljena greška, u zadnjem redu za slučaj [tex]x<0[/tex].
Tako je, rješenje ostavite u ovom obliku (ne postoji eksplicitni oblik za [tex]\phi(\frac 1 x)[/tex] ).

Sad vidim i da je u rješenjima na webu napravljena greška, u zadnjem redu za slučaj [tex]x<0[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
.anchy.
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 11. 2007. (20:03:46)
Postovi: (1BC)16
Sarma = la pohva - posuda
= 15 - 11
Lokacija: Zgb

PostPostano: 11:06 sub, 22. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može li pomoć za zadatak 2.25 po a)?
za y>0 dobim integral lambda/alfa * int.od 0 do y-beta od(e^(-lambda*s/alfa)ds)
Ne znam trebam li uopće računati integral(i općenito,neke zadatke računamo preko integrala,a neke ne-why?), jer mi se iz rješenja čini kao da ne trebam ali ne znam kako i zašto se dobi to rješenje?
Može li pomoć za zadatak 2.25 po a)?
za y>0 dobim integral lambda/alfa * int.od 0 do y-beta od(e^(-lambda*s/alfa)ds)
Ne znam trebam li uopće računati integral(i općenito,neke zadatke računamo preko integrala,a neke ne-why?), jer mi se iz rješenja čini kao da ne trebam ali ne znam kako i zašto se dobi to rješenje?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 14:43 ned, 23. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote=".anchy."]Može li pomoć za zadatak 2.25 po a)?
za y>0 dobim integral lambda/alfa * int.od 0 do y-beta od(e^(-lambda*s/alfa)ds)[/quote]
Dovoljno je promatrati samo ovisnost o predznaku od [tex]\alpha[/tex] ([tex]\mathbb{P}(Y \leq y) = \mathbb{P}(\alpha X \leq y - \beta)[/tex]). Pogledaj rješenje na dnu stranice.

[quote=".anchy."]Ne znam trebam li uopće računati integral(i općenito,neke zadatke računamo preko integrala,a neke ne-why?), jer mi se iz rješenja čini kao da ne trebam ali ne znam kako i zašto se dobi to rješenje?[/quote]
Pa, ovisi o zadatku. Ako ne možemo izračunati integral, ostavimo ga u obliku neke poznate funkcije distribucije (kao gore). Ponekad trebamo napraviti neku supstituciju da dobimo tu poznatu funkciju distribucije. Možeš li navesti neke zadatke koji te frustriraju?
.anchy. (napisa):
Može li pomoć za zadatak 2.25 po a)?
za y>0 dobim integral lambda/alfa * int.od 0 do y-beta od(e^(-lambda*s/alfa)ds)

Dovoljno je promatrati samo ovisnost o predznaku od [tex]\alpha[/tex] ([tex]\mathbb{P}(Y \leq y) = \mathbb{P}(\alpha X \leq y - \beta)[/tex]). Pogledaj rješenje na dnu stranice.

.anchy. (napisa):
Ne znam trebam li uopće računati integral(i općenito,neke zadatke računamo preko integrala,a neke ne-why?), jer mi se iz rješenja čini kao da ne trebam ali ne znam kako i zašto se dobi to rješenje?

Pa, ovisi o zadatku. Ako ne možemo izračunati integral, ostavimo ga u obliku neke poznate funkcije distribucije (kao gore). Ponekad trebamo napraviti neku supstituciju da dobimo tu poznatu funkciju distribucije. Možeš li navesti neke zadatke koji te frustriraju?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
.anchy.
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 11. 2007. (20:03:46)
Postovi: (1BC)16
Sarma = la pohva - posuda
= 15 - 11
Lokacija: Zgb

PostPostano: 19:59 ned, 23. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="pmli"]
Pa, ovisi o zadatku. Ako ne možemo izračunati integral, ostavimo ga u obliku neke poznate funkcije distribucije (kao gore). Ponekad trebamo napraviti neku supstituciju da dobimo tu poznatu funkciju distribucije. Možeš li navesti neke zadatke koji te [b]frustriraju[/b]?[/quote]

:lol:
Evo npr. zad 2.21.:
Mogla sam iz F(y)=..=P(X<(y-B)/L) zaključiti da je f-ja distribucije od Y F(y) jednaka funkciji distribucije od X F((y-B)/L)(po definiciji F(x)=P(X<=)), ili isto tako 2.22.

A, u zadatku 2.23:
FY(y)=P(X<(y-B)/L) to ne mogu,nego moram računati integral.
pmli (napisa):

Pa, ovisi o zadatku. Ako ne možemo izračunati integral, ostavimo ga u obliku neke poznate funkcije distribucije (kao gore). Ponekad trebamo napraviti neku supstituciju da dobimo tu poznatu funkciju distribucije. Možeš li navesti neke zadatke koji te frustriraju?


Laughing
Evo npr. zad 2.21.:
Mogla sam iz F(y)=..=P(X<(y-B)/L) zaključiti da je f-ja distribucije od Y F(y) jednaka funkciji distribucije od X F((y-B)/L)(po definiciji F(x)=P(X⇐)), ili isto tako 2.22.

A, u zadatku 2.23:
FY(y)=P(X<(y-B)/L) to ne mogu,nego moram računati integral.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pmli
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05)
Postovi: (2C8)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
197 = 203 - 6

PostPostano: 21:01 ned, 23. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Mogli bi u tim zadacima ostaviti rješenje sa funkcijama distribucije, ali ako je moguće egzaktno odrediti odgovarajuće integrale, možda je bolje riješiti do kraja. Može nas zanimati je li rješenje neka poznata distribucija. Vjerojatno je osoba koja je tipkala ta rješenja htjela sebi olakšati posao (kod tih uniformnih treba puno slučajeva raspisati). :)
Mogli bi u tim zadacima ostaviti rješenje sa funkcijama distribucije, ali ako je moguće egzaktno odrediti odgovarajuće integrale, možda je bolje riješiti do kraja. Može nas zanimati je li rješenje neka poznata distribucija. Vjerojatno je osoba koja je tipkala ta rješenja htjela sebi olakšati posao (kod tih uniformnih treba puno slučajeva raspisati). Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
w
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 02. 2005. (19:34:36)
Postovi: (168)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
41 = 48 - 7

PostPostano: 23:43 uto, 25. 10. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, nažalost rješenja nisu potpuna (a i potkralo se nekoliko grešaka). U zadacima ovog tipa cilj je dobiti egzaktnu formulu za funkciju distribucije, naravno tamo gdje je to moguće. Jednom kada odredite [tex]F_Y[/tex] preko [tex]F_X[/tex] i ako je poznata egzaktna formula za [tex]F_X[/tex], samim uvrštavanjem dolazite do [tex]F_Y[/tex] (u rješenjima fali upravo taj korak uvrštavanja).

No [tex]F_X[/tex] nema uvijek poznatu formu (na primjer kod normalne distribucije) pa je potrebno "riješiti integral" (onda kada je to moguće).
Da, nažalost rješenja nisu potpuna (a i potkralo se nekoliko grešaka). U zadacima ovog tipa cilj je dobiti egzaktnu formulu za funkciju distribucije, naravno tamo gdje je to moguće. Jednom kada odredite [tex]F_Y[/tex] preko [tex]F_X[/tex] i ako je poznata egzaktna formula za [tex]F_X[/tex], samim uvrštavanjem dolazite do [tex]F_Y[/tex] (u rješenjima fali upravo taj korak uvrštavanja).

No [tex]F_X[/tex] nema uvijek poznatu formu (na primjer kod normalne distribucije) pa je potrebno "riješiti integral" (onda kada je to moguće).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Statistika Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan