| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
 Postano: 17:08 pet, 28. 10. 2011 Naslov: |
    |
|
|
Postoji sistem. Zove se crtanje. Odabereš točku (x,y) iz A. Ona ima neku udaljenost d1 do (x,6) i d2 do kružnice K koja ima središte u ishodištu i radijus 2. Neka je R manja od te dvije udaljenosti. Stavi r=R/2. Sada je B((x,y),r) kugla oko (x,y) radijusa r koja se čitava nalazi u A.
Postoji sistem. Zove se crtanje. Odabereš točku (x,y) iz A. Ona ima neku udaljenost d1 do (x,6) i d2 do kružnice K koja ima središte u ishodištu i radijus 2. Neka je R manja od te dvije udaljenosti. Stavi r=R/2. Sada je B((x,y),r) kugla oko (x,y) radijusa r koja se čitava nalazi u A.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
marty
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (17:40:41)
Postovi: (3D)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
weeh
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 10. 2008. (00:00:53)
Postovi: (32)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 20:01 pet, 28. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Dat ću hintove, ako neće ić onda ću raspisat(da vježbate za kolokvij :P )
6.b) Po definiciji unif. neprekidnosti. Koristiš teorem da su sve norme ekvivalentne, tebi je povoljna u ovoj situaciji norma beskonačno, malo nejednakosti trokuta i to je to.
4.) Za [latex]x<1[/latex] i [latex]x>1[/latex] nemaš problema(tu su one konstantne pa su i neprekidne, to se valjda pokazalo negdje). Imaš uvijek kod ovakvih zadatka očito probleme na skupu "gdje prestaje jedna, a počinje druga funkcija". To su točka oblika [latex](1,y), y\in \mathbb{R}[/latex].
Zbog definicije funkcije([latex]f(1,y)=0[/latex]),promotri niz [latex](1-\frac{1}{n},y_0)[/latex] za bilokoji [latex] y_0[/latex]. Koristiš Heineovu karakterizaciju. f neprekidna u c akko za svaki niz koji konvergira ka c, pripadni niz funkcijskih vrijednosti konvergira ka f(c). Ovaj tvoj niz [latex]f(1-\frac{1}{n},y_0)[/latex] konvergira u 1 (nacrtaj si skicu). Pa onda f ima prekide u točkama oblika [latex](1,y), y\in \mathbb{R}[/latex].
Dat ću hintove, ako neće ić onda ću raspisat(da vježbate za kolokvij  )
6.b) Po definiciji unif. neprekidnosti. Koristiš teorem da su sve norme ekvivalentne, tebi je povoljna u ovoj situaciji norma beskonačno, malo nejednakosti trokuta i to je to.
4.) Za  i  nemaš problema(tu su one konstantne pa su i neprekidne, to se valjda pokazalo negdje). Imaš uvijek kod ovakvih zadatka očito probleme na skupu "gdje prestaje jedna, a počinje druga funkcija". To su točka oblika  .
Zbog definicije funkcije( ),promotri niz  za bilokoji  . Koristiš Heineovu karakterizaciju. f neprekidna u c akko za svaki niz koji konvergira ka c, pripadni niz funkcijskih vrijednosti konvergira ka f(c). Ovaj tvoj niz  konvergira u 1 (nacrtaj si skicu). Pa onda f ima prekide u točkama oblika .
|
|
| [Vrh] |
|
marty
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (17:40:41)
Postovi: (3D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
marty
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (17:40:41)
Postovi: (3D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
Joker
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16)
Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Phoenix
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -
|
| Postano: 13:04 sub, 29. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Definirajmo [tex]f(x,y)=|x-1|-y, g(x,y)=arctg(x)-y[/tex]. Tada je [tex]K=f^{-1}(\left<-\infty,0\right]) \cap g^{-1}(\left[0, +\infty\right>)[/tex] presjek dva zatvorena skupa s obzirom na to da su [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex] neprekidne funkcije pa su praslike zatvorenih skupova zatvoreni skupovi. Stoga je i [tex]K[/tex] zatvoren.
Još primijeti sljedeće:
[tex]0 \leq |x-1| \leq y \leq arctg(x) < \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right>[/tex]
[tex]|x-1| \leq y < \frac{\pi}{2} \Rightarrow x \in <1-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+1>[/tex].
Odnosno: [tex](x,y) \in <1-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+1> \times \left[0, \frac{\pi}{2}\right>[/tex], pa kako su obje koordinate ograničene, možeš cijeli skup ograničiti kuglom koja će biti njegov nadskup. Recimo, [tex]K(0, 100)[/tex], sasvim je dovoljno velika. Dakle, skup [tex]K[/tex] je ograničen.
[tex]K[/tex] je zatvoren i ograničen, dakle [tex]K[/tex] je kompaktan!
Nadam se da nije presažeto. Pitaj ako nije jasno. :)
Definirajmo [tex]f(x,y)=|x-1|-y, g(x,y)=arctg(x)-y[/tex]. Tada je [tex]K=f^{-1}(\left←\infty,0\right]) \cap g^{-1}(\left[0, +\infty\right>)[/tex] presjek dva zatvorena skupa s obzirom na to da su [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex] neprekidne funkcije pa su praslike zatvorenih skupova zatvoreni skupovi. Stoga je i [tex]K[/tex] zatvoren.
Još primijeti sljedeće:
[tex]0 \leq |x-1| \leq y \leq arctg(x) < \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right>[/tex]
[tex]|x-1| \leq y < \frac{\pi}{2} \Rightarrow x \in <1-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+1>[/tex].
Odnosno: [tex](x,y) \in <1-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}+1> \times \left[0, \frac{\pi}{2}\right>[/tex], pa kako su obje koordinate ograničene, možeš cijeli skup ograničiti kuglom koja će biti njegov nadskup. Recimo, [tex]K(0, 100)[/tex], sasvim je dovoljno velika. Dakle, skup [tex]K[/tex] je ograničen.
[tex]K[/tex] je zatvoren i ograničen, dakle [tex]K[/tex] je kompaktan!
Nadam se da nije presažeto. Pitaj ako nije jasno. 
|
|
| [Vrh] |
|
Joker
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16)
Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 17:22 sub, 29. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Prirodna domena je sve osim koordinatnih osi, a gomilišta su onda očito sve točke iz [latex]\mathbb{R}^2[/latex].
U točkama prirodne domene fja f očito ima limes jednak vrijednosti fje u tim točkama (jer je neprekidna).
Napišimo sad fju f malo ljepše:
[dtex]f(x, y) = \frac{\sin{\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2}}}{\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2}} (\frac{x}{y})^2[/dtex]
Limes u [latex](0, y_0), y_0 \neq 0[/latex]: [latex]\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2} \to 0[/latex] pa lijevi razlomak ide u 1, desni u 0, znači sve skupa u 0.
Limes u [latex](x_0, 0), x_0 \neq 0[/latex]: opet [latex]\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2} \to 0 [/latex] pa lijevi razlomak opet u 1, ali desna stvar u [latex]+\infty[/latex] pa realnog limesa nema.
Limes u [latex](0, 0)[/latex]: [latex]|x^3{\frac{ y^2}{x^2+y^2}}| = |x|^3 \frac{ y^2}{x^2+y^2} \leq |x|^3 \to 0 [/latex] pa [latex]\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2} \to 0 [/latex], lijevi razlomak u 1, a desni može kud hoće (izmisli neke nizove) pa sve skupa limesa nema.
[size=9][color=#999999]Added after 31 minutes:[/color][/size]
Upravo mi pade na pamet: možete ovo gore probati i s polarnim koordinatama, fja izgleda malo jednostavnije, bar ako ste polarni tip... :wink:
Prirodna domena je sve osim koordinatnih osi, a gomilišta su onda očito sve točke iz  .
U točkama prirodne domene fja f očito ima limes jednak vrijednosti fje u tim točkama (jer je neprekidna).
Napišimo sad fju f malo ljepše:
[dtex]f(x, y) = \frac{\sin{\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2}}}{\frac{x^3 y^2}{x^2+y^2}} (\frac{x}{y})^2[/dtex]
Limes u  :  pa lijevi razlomak ide u 1, desni u 0, znači sve skupa u 0.
Limes u  : opet  pa lijevi razlomak opet u 1, ali desna stvar u  pa realnog limesa nema.
Limes u  :  pa , lijevi razlomak u 1, a desni može kud hoće (izmisli neke nizove) pa sve skupa limesa nema.
Added after 31 minutes:
Upravo mi pade na pamet: možete ovo gore probati i s polarnim koordinatama, fja izgleda malo jednostavnije, bar ako ste polarni tip... 
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
marty
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 10. 2009. (17:40:41)
Postovi: (3D)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 9:19 ned, 30. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
2009.-2010. 5.
a) Da, slijedi iz tvrdnje Prop. 8. 14. koja je dokazana ovdje: [url]http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17275[/url]. Naravno, tebi ne treba dokaz za proizvoljnu familiju, nego za dva skupa, ali zapravo je sve isto. U drugoj grupi, za povezanost putevima, odgovor je isto da, a dokaz komentiran na istom mjestu.
b) [latex]f(A_1 \cup A_2)[/latex] je povezan (povezan putevima) jer neprekidne fje povezane skupove (povezane putevima) nose u povezane (povezane putevima) (dokazi u predavanjima).
c) Tu se malo igraju s vama: [latex]f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)[/latex] (zašto?) za proizvoljnu fju f pa odgovor (da) slijedi iz b).
2008.-2009. 5.
a) A je ograničen jer je podskup ograničenog K, pa je, kad dodamo zatvorenost, i kompaktan. Zato je i njegova slika po neprekidnoj fji kompaktna.
b) Ako je A zatvoren u K, onda je [latex]A = K \cap U[/latex] za neki zatvoreni [latex]U \subset \mathbb{R}^n[/latex], dakle presjek dvaju zatvorenih skupova pa je zatvoren u [latex]\mathbb{R}^n[/latex], a dalje sve ide isto kao i u a).
c) Da, Korolar 7.2: [url]http://web.math.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf[/url]
2009.-2010. 5.
a) Da, slijedi iz tvrdnje Prop. 8. 14. koja je dokazana ovdje: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17275. Naravno, tebi ne treba dokaz za proizvoljnu familiju, nego za dva skupa, ali zapravo je sve isto. U drugoj grupi, za povezanost putevima, odgovor je isto da, a dokaz komentiran na istom mjestu.
b)  je povezan (povezan putevima) jer neprekidne fje povezane skupove (povezane putevima) nose u povezane (povezane putevima) (dokazi u predavanjima).
c) Tu se malo igraju s vama:  (zašto?) za proizvoljnu fju f pa odgovor (da) slijedi iz b).
2008.-2009. 5.
a) A je ograničen jer je podskup ograničenog K, pa je, kad dodamo zatvorenost, i kompaktan. Zato je i njegova slika po neprekidnoj fji kompaktna.
b) Ako je A zatvoren u K, onda je  za neki zatvoreni  , dakle presjek dvaju zatvorenih skupova pa je zatvoren u  , a dalje sve ide isto kao i u a).
c) Da, Korolar 7.2: http://web.math.hr/nastava/difraf/dif/p_o7.pdf
|
|
| [Vrh] |
|
integral
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 05. 2011. (14:48:05)
Postovi: (1D)16
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 13:25 pon, 31. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
2008.
5. je već odgovoren.
6. Skalarni produkt konvergira prema [latex]((a|b))[/latex] jer ako nizovi [latex]a_k[/latex] i [latex]b_k[/latex] konvergiraju, onda i svi njihovi koordinatni nizovi konvergiraju, a koordinatni nizovi su obični nizovi u [latex]\mathbb{R}[/latex] čiji produkt konvergira produktu limesa, zbroj zbroju limesa pa imaš tvrdnju.
c) Vektorski produkt je zapravo niz [latex]((a_k^2 b_k^3 - a_k^3 b_k^2, -a_k^1 b_k^3 + a^3_k b^1_k, a_k^2, b_k^3 - a_k^3 b_k^2))_k[/latex] pa konvergira prema [latex]a \times b[/latex] (argumentacija analogna ovoj gore).
d)Tu se možemo pozvati na Heineovu karakterizaciju neprekidnosti i a).
2007.
5. a) Prop. 4.25.
b) f i g moraju postizati minimum jer su im domene kompaktni skupovi (Korolar 7.2.). h ga ne mora postizati, npr. ako je fja f def. sa f(x, y) = x (infimum slike je 2, ali on se očito ne postiže ni u jednoj točki domene od h).
6. Očito ima prekid u svim točkama kružnice [latex]x^2 + y^2 = 4[/latex]. To se za fiksiranu točku te kružnice lako pokaže npr. konstrukcijom dvaju nizova koji konvergiraju prema njoj, jedan iz unutrašnjosti kružnice pa njegove funkcijske vrijednosti idu u 4, a drugi izvana pa njegove funkcijske vrijednosti idu u 8, pa Heine daje što treba.
7. Dokaz je isti kao dokaz te tvrdnje za realne fje jedne varijable (MA 1), samo svuda umjesto [latex]|x - c| < \delta[/latex] pišemo općenitije [latex]d(x, c) < \delta[/latex].
8. Dokaz komentiran ovdje (na kraju): [url]http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17275.[/url]
2008.
5. je već odgovoren.
6. Skalarni produkt konvergira prema  jer ako nizovi  i  konvergiraju, onda i svi njihovi koordinatni nizovi konvergiraju, a koordinatni nizovi su obični nizovi u  čiji produkt konvergira produktu limesa, zbroj zbroju limesa pa imaš tvrdnju.
c) Vektorski produkt je zapravo niz  pa konvergira prema  (argumentacija analogna ovoj gore).
d)Tu se možemo pozvati na Heineovu karakterizaciju neprekidnosti i a).
2007.
5. a) Prop. 4.25.
b) f i g moraju postizati minimum jer su im domene kompaktni skupovi (Korolar 7.2.). h ga ne mora postizati, npr. ako je fja f def. sa f(x, y) = x (infimum slike je 2, ali on se očito ne postiže ni u jednoj točki domene od h).
6. Očito ima prekid u svim točkama kružnice  . To se za fiksiranu točku te kružnice lako pokaže npr. konstrukcijom dvaju nizova koji konvergiraju prema njoj, jedan iz unutrašnjosti kružnice pa njegove funkcijske vrijednosti idu u 4, a drugi izvana pa njegove funkcijske vrijednosti idu u 8, pa Heine daje što treba.
7. Dokaz je isti kao dokaz te tvrdnje za realne fje jedne varijable (MA 1), samo svuda umjesto  pišemo općenitije  .
8. Dokaz komentiran ovdje (na kraju): http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17275.
|
|
| [Vrh] |
|
zvonkec
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2010. (20:56:30)
Postovi: (37)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
