druga domaća zadaća

[pedro]

http://web.math.hr/nastava/la/DZ/la1-1112-dz2.pdf može pomoć oko 3. i 5.tog zadatka

[Optimum]

[Zenon]

Evo se i ja uključujem
Molio bih detaljniju pomoć s obzirom da mi nismo učili množenje matrica.
Onda vjerovatno postoji neki način bez da ih se množi
Očito ga ne znam

[Optimum]

[Phoenix]

LINK
Pogledajte prvih nekoliko stranica (dovoljno i dvije) i raspišite si kako izgleda množenje za neke primjere iz skripte ili koji vam padnu na pamet (a provjerite preko Wolfram Alphe). Tada ste spremni i za zadaću.

[jema]

zenon, mnozenje ti je na sljedeci nacin:na mjestu a11 ti je a11*b11+a12*b21, na mjestu a12 je a11*b12+a12*b22, na mjestu a21 je a21*b11+a22*b21 i na mjestu a22 je a21*b21+a22*b22.

a sad taj uvjet kakva treba bit matrica T, ja sam sama dosla do rjesenja upravo koristeci ovako opcenito pa unutra ubacila matricu A, itd, itd... no, preporucam nemoj to radit, uzmi 'zdravo za gotovo' da je T onako kako je netko prije vec rekao XD

Added after 2 minutes:

ccc, ja se namuci pisajuci sto ti zezas duzan si mi cokoladu sad haha

[Zenon]

[student_92]

Može li mi netko samo napisati što točno znači dokazati postojanje zadanoga prikaza u 5. zadatku? Znam da je za dokazivanje jedinstvenosti potrebno dokazati da je suma potprostora direktna. Hvala

[boksi]

i dalje gledam u treći zadatak i muči me samo zašto mi je a12 =0
ostatak mi je jasan, ali ovo mi zadaje muke već neko vrijeme.

[PermutiranoPrase]

Jest, ni meni to nije jasno. I zašto je a11 = a22?
Link na WolframAlphu. Dakle:
a = a + c ⇒ a može biti bilo koji broj
a + ib = b + d ⇒ tu mi ispada b = neki čudni razlomak
c = ic ⇒ c = 0
c + id = id ⇒ d može biti bilo koji broj
Što krivo radim?

[pedro]

ne znam po kome je a11=a22

meni ispadne c=0, i onda a pokažem preko b i d, tako da imam samo ta dva parametra.
baza mi ispadne {(1-i,1,0,0), (1,0,01)}

[boksi]

[PermutiranoPrase]

Što je na kraju točno?
Meni je ispadalo kao Pedri.... Onda pobrisah.

[boksi]

jest, kao Pedru. ili Pedri. koji već dativ je poželjan.

[miss.zohar]

Može li pomoć oko 5.zad.?

[matematičarka]

I ja sam uz miss.zohar i molim nekog da riješi taj 5 iz zadaće jer sam se već namučila prilično, a i dalje sam clueless. Hvala unaprijed čovjeku dobre volje koji ga ovdje napiše.

[PermutiranoPrase]

Koje vam je na kraju rješenje 3.zadatka?
Dosad vidim 3 različita rješenja... A ja sam krivo rekla, moj postupak je kao Pedrov, ali rješenje nije. Prijatelju ispada kao Optimumu. Ostali mi se još nisu oglasili, ali imam osjećaj da je svakome svoje ispalo.

[gflegar]

5. zadatak

Prema uputi, promatrajmo potprostore [tex] M_i = \{ q \in P_n : q(t_i) = 0 \} [/tex].
(Primjetite da su sastavljaci zadataka bili toliko dobri da su nam rekli da je to vektorski prostor pa to netrebamo dokazivati )

Kako je [tex] t_i[/tex] nultocka svakog polinoma ovog v. prostora, opci element mozemo zapisati ovako:
[dtex] q(x) = (x - t_i)(a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_1x^1 + a_0)[/dtex].
Kada to malo sredimo dobivamo ovaj "ruzan" izraz:
[dtex] q(x) = a_{n-1}x^n + a_{n-2}x^{n-1} + \ldots + a_1x^2 + a_0x - t_ia_{n-1}x^{n-1} - t_ia_{n-2}x^{n-2} - \ldots -t_ia_1x - t_ia_0 = a_{n-1}(x^n - t_ix^{n-1}) + a_{n-2}(x^{n-1} - t_ix^{n-2}) + \ldots + a_0(x - t_i)[/dtex]

Iz ovoga je ocito da je sustav izvodnica za [tex] M_i[/tex] skup [tex] \{x^n - t_ix^{n-1}, x^{n-1} - t_ix^{n-2}, \ldots, x - t_i\}[/tex], a kako su svi rijesili prvu zadacu nikome nije tesko pokazati da je taj skup linearno nezavisan , pa je on i baza za [tex] M_i[/tex].

Promatrajmo sada v.p. [tex] M_1 + M_2[/tex]. Ocito je sustav izvodnica za taj prostor
[tex] \{x^n - t_1x^{n-1}, x^{n-1} - t_1x^{n-2}, \ldots , x - t_1, x - t_2, x^2 - t_2x, \ldots, x^n - t_2x^{n-1} \}[/tex].

Uzmimo sada proizvoljnu linearnu kombinaciju prvih [tex] n + 1[/tex] elemenata tog skupa.
[dtex] \alpha_1(x^n - t_1x^{n-1}) + \alpha_2(x^{n-1} - t_1x^{n-2}) + \ldots + \alpha_n(x - t_1) + \alpha_{n+1}(x - t_2)[/dtex]

Kako bi ovaj izraz bio jednak nuli ocito (kome nije ocito nek opet rijesi drugi zadatak prve zadace) je [tex] \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \ldots = \alpha_{n-1} = 0 [/tex] pa nam ostaje:
[dtex] \alpha_n(x - t_1) + \alpha_{n+1}(x - t_2) = 0 [/dtex]
Kada rijesimo ovaj sustav i uzmemo u obzir da je [tex] t_1 \neq t_2[/tex] mozemo zakljuciti da je [tex] \alpha_n = \alpha_{n+1} = 0[/tex], tj. taj skup je linearno nezavisan.

Znamo da je [tex] dim P_n = n + 1[/tex] te da je [tex] M_1 + M_2 \leq P_n [/tex], pa je [tex] dim (M_1 + M_2) \leq n + 1[/tex], a kako u tom v. prostoru postoji linearno nezavisan podskup koji se sastoji od [tex] n + 1[/tex] elemenata, zakljucujemo da je [tex] dim (M_1 + M_2) = n + 1[/tex].

Sada znamo da je [tex] M_1 + M_2 = P_n [/tex], tj.[tex] \{q_1 + q_2 : q_1 \in M_1, q_2 \in M_2\} = \{p \in P_n\}[/tex], sto je i trebalo dokazati.

EDIT:
Prikaz nije jedinstven, npr za [tex] t_1 = 0, t_2 = 1[/tex],
polinom [tex] x^2 - x[/tex] mozemo prikazati kao
[dtex] (x^2 - x) + 0, (x^2-x) \in M_2, 0 \in M_1 [/dtex]
ili
[dtex] (x^3 - 2x^2 + x) + (-x^3 + 3x^2 - 2x), (x^3 - 2x^2 + x) \in M_2, (-x^3 + 3x^2 - 2x) \in M_1 [/dtex]

[matematičarka]

[gflegar]

Ide, tipfeler , pocekaj malo nakon kaj objavim rjesenje ovak kompliciranog zadatka, jer nekih petnaestak minuta nakon toga jos ispravljam sve greske koje mi se dogode prilikom pisanja