Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Indukcija (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Uvod u matematiku
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Principessa
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 10. 2010. (15:18:58)
Postovi: (26)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 3

PostPostano: 21:40 uto, 27. 12. 2011    Naslov: Indukcija Citirajte i odgovorite

dokazite da 7 dijeli 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n ; za svaki n >= 0
sve je super dok ne dode k+1 član
znači treba mi objašnjenje kako ide onaj dio koraka kad imam
7 dijeli 37^(k+3) + 16^(k+2) + 23^(k+1)
:evil:
dokazite da 7 dijeli 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n ; za svaki n >= 0
sve je super dok ne dode k+1 član
znači treba mi objašnjenje kako ide onaj dio koraka kad imam
7 dijeli 37^(k+3) + 16^(k+2) + 23^(k+1)
Evil or Very Mad


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 22:31 uto, 27. 12. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

[tex]37^{k+3} + 16^{k+2} + 23^{k+1} = 37 \cdot 37^{k+2} + 16 \cdot 16^{k+1} + 23 \cdot 23^k = 16 \cdot (37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k) + 21 \cdot 37^{k+2} + 7 \cdot 23^k[/tex]

[tex]37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k[/tex] je djeljivo sa [tex]7[/tex] po pretpostavci indukcije, a ostatak je djeljiv sa [tex]7[/tex] jer su [tex]21[/tex] i [tex]7[/tex] djeljivi sa [tex]7[/tex].
[tex]37^{k+3} + 16^{k+2} + 23^{k+1} = 37 \cdot 37^{k+2} + 16 \cdot 16^{k+1} + 23 \cdot 23^k = 16 \cdot (37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k) + 21 \cdot 37^{k+2} + 7 \cdot 23^k[/tex]

[tex]37^{k+2} + 16^{k+1} + 23^k[/tex] je djeljivo sa [tex]7[/tex] po pretpostavci indukcije, a ostatak je djeljiv sa [tex]7[/tex] jer su [tex]21[/tex] i [tex]7[/tex] djeljivi sa [tex]7[/tex].



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Principessa
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 10. 2010. (15:18:58)
Postovi: (26)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 3

PostPostano: 22:47 uto, 27. 12. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

:roll: ja sam uspjela ipak na kraju preko modulo 7 riješit :) hvala ovo je puno zanimljiviji pristup :)
Rolling Eyes ja sam uspjela ipak na kraju preko modulo 7 riješit Smile hvala ovo je puno zanimljiviji pristup Smile



_________________
Pametan voli učiti, a budala podučavati.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goransta
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 05. 2011. (18:23:29)
Postovi: (D)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 18:52 sri, 28. 12. 2011    Naslov: Indukcija Citirajte i odgovorite

Može pomoć sa sljedečim zadatkom:

Dokažite da je (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3 za svaki n iz skupa N.


Ja sam to krenuo ovako:
BAZA: n=1 i onda se lako dobije da je 1=1

PRETPOSTAVKA: (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3

KORAK: i tu nastane problem...?!?!?!!?!? sta? kako? kuda?


Unaprijed hvala!!
Može pomoć sa sljedečim zadatkom:

Dokažite da je (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3 za svaki n iz skupa N.


Ja sam to krenuo ovako:
BAZA: n=1 i onda se lako dobije da je 1=1

PRETPOSTAVKA: (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3

KORAK: i tu nastane problem...?!?!?!!?!? sta? kako? kuda?


Unaprijed hvala!!




Zadnja promjena: goransta; 20:11 sri, 28. 12. 2011; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 19:24 sri, 28. 12. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Simple: [tex](x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2[/tex].

Sad stavi [tex]x := 1+2+\dots+k[/tex] i [tex]y = k+1[/tex], pa raspisi i iskoristi pretpostavku indukcije. Trebat ce ti i formula za sumu prvih [tex]k[/tex] prirodnih brojeva, sto vjerojatno znas.
Simple: [tex](x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2[/tex].

Sad stavi [tex]x := 1+2+\dots+k[/tex] i [tex]y = k+1[/tex], pa raspisi i iskoristi pretpostavku indukcije. Trebat ce ti i formula za sumu prvih [tex]k[/tex] prirodnih brojeva, sto vjerojatno znas.



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Principessa
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 10. 2010. (15:18:58)
Postovi: (26)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 3

PostPostano: 17:10 čet, 29. 12. 2011    Naslov: Re: Indukcija Citirajte i odgovorite

jesi uspio???
ja jesam :D rekla sam ti sam ja u pravu a ne tii :P




[quote="goransta"]Može pomoć sa sljedečim zadatkom:

Dokažite da je (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3 za svaki n iz skupa N.


Ja sam to krenuo ovako:
BAZA: n=1 i onda se lako dobije da je 1=1

PRETPOSTAVKA: (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3

KORAK: i tu nastane problem...?!?!?!!?!? sta? kako? kuda?


Unaprijed hvala!![/quote]
jesi uspio???
ja jesam Very Happy rekla sam ti sam ja u pravu a ne tii Razz




goransta (napisa):
Može pomoć sa sljedečim zadatkom:

Dokažite da je (1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3 za svaki n iz skupa N.


Ja sam to krenuo ovako:
BAZA: n=1 i onda se lako dobije da je 1=1

PRETPOSTAVKA: (1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3

KORAK: i tu nastane problem...?!?!?!!?!? sta? kako? kuda?


Unaprijed hvala!!



_________________
Pametan voli učiti, a budala podučavati.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tinabg92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2011. (16:40:51)
Postovi: (5)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 12:05 sub, 31. 12. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da li mi netko može pojasniti ovakve tipove zadataka gdje sami moramo odrediti formulu? Meni to nimalo nije jasno...hvala! ;)
izračunaj i dokaži mat. indukcijom: 1*3+2*4+3*5+4*6+...+999*1001
Da li mi netko može pojasniti ovakve tipove zadataka gdje sami moramo odrediti formulu? Meni to nimalo nije jasno...hvala! Wink
izračunaj i dokaži mat. indukcijom: 1*3+2*4+3*5+4*6+...+999*1001


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Gergonne
Gost





PostPostano: 15:04 uto, 3. 1. 2012    Naslov: Re: Indukcija Citirajte i odgovorite

Ovaj zadatak je relativno teško riješiti "naslućivanjem" konačnoga rješenja jer to konačno rješenje (za bilo koji n>=2) glasi:

S=1/6*(n-1)*n*(2*n+5).

Lakše ga je riješiti bez izravnoga korištenja matematičke indukcije, ali uz korištenje formule za zbroj kvadrata prvih [i]n[/i] prirodnih brojeva:

1^2 + 2^2 + ... + n^2 = 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)

(Tu formulu možeš dokazati indukcijom.) U postavljenom zadatku treba uočiti da je svaki pribrojnik oblika (k - 1)*(k + 1) za neki k iz skupa {2, 3, ..., 1000}. Međutim, smijemo uzeti i k = 1 jer je tada prvi pribrojnik jednak 0*2 = 0, pa se vrijednost zadanoga zbroja ne mijenja dodavanjem toga člana. Tako se dobije:

1*3 + 2*4 +... + 999*1001 = 0*2 + 1*3 + 2*4 +...+ 999*1001 = (1 - 1)*(1 + 1) + (2 - 1)*(2 + 1) + ... + (1000 - 1)*(1000 + 1) = (1^2 - 1) + (2^2 - 1) +... + (1000^2 - 1) = (1^2 + 2^2 + ... + 1000^2) - 1000*1 = (prema navedenoj formuli za zbroj kvadrata prvih n prirodnih brojeva) = 1/6*1000*(1000 + 1)*(2* 1000 + 1) - 1*1000 = 333 832 500.

Za bilo koji n dobije se:

S = (1^2+2^2+...+n^2)-n*1 = 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)-n = (nakon množenja i sređivanja) = 1/6*(n-1)*n*(2*n+5)

HTH :)
Ovaj zadatak je relativno teško riješiti "naslućivanjem" konačnoga rješenja jer to konačno rješenje (za bilo koji n>=2) glasi:

S=1/6*(n-1)*n*(2*n+5).

Lakše ga je riješiti bez izravnoga korištenja matematičke indukcije, ali uz korištenje formule za zbroj kvadrata prvih n prirodnih brojeva:

1^2 + 2^2 + ... + n^2 = 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)

(Tu formulu možeš dokazati indukcijom.) U postavljenom zadatku treba uočiti da je svaki pribrojnik oblika (k - 1)*(k + 1) za neki k iz skupa {2, 3, ..., 1000}. Međutim, smijemo uzeti i k = 1 jer je tada prvi pribrojnik jednak 0*2 = 0, pa se vrijednost zadanoga zbroja ne mijenja dodavanjem toga člana. Tako se dobije:

1*3 + 2*4 +... + 999*1001 = 0*2 + 1*3 + 2*4 +...+ 999*1001 = (1 - 1)*(1 + 1) + (2 - 1)*(2 + 1) + ... + (1000 - 1)*(1000 + 1) = (1^2 - 1) + (2^2 - 1) +... + (1000^2 - 1) = (1^2 + 2^2 + ... + 1000^2) - 1000*1 = (prema navedenoj formuli za zbroj kvadrata prvih n prirodnih brojeva) = 1/6*1000*(1000 + 1)*(2* 1000 + 1) - 1*1000 = 333 832 500.

Za bilo koji n dobije se:

S = (1^2+2^2+...+n^2)-n*1 = 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)-n = (nakon množenja i sređivanja) = 1/6*(n-1)*n*(2*n+5)

HTH Smile


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Uvod u matematiku Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan