Jesi li uopce pokusao sam?
Prvi zadatak je zbilja lagan. Po definiciji samo provjeriš da f(x)=f(y) implicira x=y, odnosno da d(f(x),f(y))=0 povlači d(x,y)=0. Eto pokušao sam dati hint a ispalo je da sam rješio zadatak koliko je lagan
Drugi isto nije jako tezak ali ipak ima malo vise posla nego u prvom. Također idemo direktno. Uzmem točku 'x' izvan kompakta (označimo ga sa K). Promotrimo funkciju u: X -> R definiranu sa u(y)=d(x,y) Lako se vidi da je ona neprekidna (treba iskoristit nejednakost trokuta). Na K ona poprima minimum i maksimum. Minimum m>0 jer bi inače 'x' bio iz K. Pa uzmem kuglu oko 'x' radijusa m/2>0 i ona je dobra okolina od 'x' koja ne sječe K. Može se ići i direktnije bez funkcije u, i tada dobiješ dokaz koji funkcionira ne samo u metričkom već i u svakom Hausdorffovom topološkom prostoru. Omeđenost je trivijalna poslijedica činjenice da je svaki kompakt potpuno omeđen (što se lako vidi iz definicije), a onda i da je potpuno omeđen skup ujedno i omeđen (što se također trivijalno provjeri).
_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.