Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Integral?
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  Sljedeće
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
markann
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2013. (01:37:06)
Postovi: (1F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 2

PostPostano: 2:48 čet, 5. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="room"]Mene muči 2.19. d) i 2.20. b)[/quote]
2.19 d) se svodi na obicnu supstituciju [tex]t=arctgx[/tex] i kad se to malo sredi trebalo bi se dobit
[dtex]\int sinte^tdt[/dtex]
2.20 b) ... da. racionalne funkcije su malo zahtjevne za racunanje, ali ideja stvarno nije teska, i uvjek sve ide po istom postupku:
1) svest nazivnik na polinome 1. i 2. stupnja (da to mozemo nam tvrdi teorem iz em1, osim ako nemozemo nac nultocke, onda malo ideje)
2) rastaviti na parcijalne razlomke(jedan od meni najtezih djelova, jednom sam radio matricu da rjesim sustav) i upotrijebiti linearnost integrala
3) [tex]\int \frac{dx}{(Ax+B)^n}[/tex] za integrirati je trivijalno
4) kod kvadratnih polinoma nazivnik [tex]Cx^2+Dx+E[/tex] uvjek normirati prvo (dijeliti sa C) i onda namjestiti gornji polinom [tex]Ax+B[/tex] tako da dio bude derivacija od [tex]x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C}[/tex] a ostatak opet prosiriti po linearnosti
tj
[dtex]konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}+ostatak}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}dx = konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n} + konstanta*ostatak* \int \frac{dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/dtex]
5) [tex]\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/tex] je za integrirati trivijalno
6) sada nazivnik od zadnjeg integrala svedes na potpuni kvadrat (to nam opet garantira teorem jer je diskriminanta manja od 0 il nes nemam pojma) i to normirani u odnosu na konstantu bla bla bla dobijes
[dtex]konstanta*\int \frac{dt}{(t^2+1)^n}[/dtex]
primjer: konkretno u tom 2.20 b) ja sam dobio
[dtex](x^2-x+1)^2(x-1)^2[/dtex] uglavnom, pretpostavimo da sam raspisao sve to i dosao do
[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]
7) i pomocu parcijalne integracije dobijes rekurziju, al mislim ni nece ti trebat jer sumnjam da ce u zadacima ikad n biti veci od 2 ili 3..
uglavnom, da ima posla i racunanja, pogotovo meni kojemu je tesko zbrajati karte u beli, ali da to je to!
specijalno, za n=2 [tex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/tex] vrijedi supstitucija [tex]t=arctgs[/tex] i dobijes
[dtex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2} = \int \frac{dt}{tg^2t+1} = \int cos^2t dt = \frac{1}{2} ( \int dt + \int cos2t dt) + C = \frac{1}{2} (arctgs + \frac{s}{1+s^2}) + C[/dtex]
PREKRASNO zar ne?
i onda umjesto s mozes uvrstit svoju prijasnju supstituciju i to je to.. Nadam se da sam barem malo pomogao
room (napisa):
Mene muči 2.19. d) i 2.20. b)

2.19 d) se svodi na obicnu supstituciju [tex]t=arctgx[/tex] i kad se to malo sredi trebalo bi se dobit
[dtex]\int sinte^tdt[/dtex]
2.20 b) ... da. racionalne funkcije su malo zahtjevne za racunanje, ali ideja stvarno nije teska, i uvjek sve ide po istom postupku:
1) svest nazivnik na polinome 1. i 2. stupnja (da to mozemo nam tvrdi teorem iz em1, osim ako nemozemo nac nultocke, onda malo ideje)
2) rastaviti na parcijalne razlomke(jedan od meni najtezih djelova, jednom sam radio matricu da rjesim sustav) i upotrijebiti linearnost integrala
3) [tex]\int \frac{dx}{(Ax+B)^n}[/tex] za integrirati je trivijalno
4) kod kvadratnih polinoma nazivnik [tex]Cx^2+Dx+E[/tex] uvjek normirati prvo (dijeliti sa C) i onda namjestiti gornji polinom [tex]Ax+B[/tex] tako da dio bude derivacija od [tex]x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C}[/tex] a ostatak opet prosiriti po linearnosti
tj
[dtex]konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}+ostatak}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}dx = konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n} + konstanta*ostatak* \int \frac{dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/dtex]
5) [tex]\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/tex] je za integrirati trivijalno
6) sada nazivnik od zadnjeg integrala svedes na potpuni kvadrat (to nam opet garantira teorem jer je diskriminanta manja od 0 il nes nemam pojma) i to normirani u odnosu na konstantu bla bla bla dobijes
[dtex]konstanta*\int \frac{dt}{(t^2+1)^n}[/dtex]
primjer: konkretno u tom 2.20 b) ja sam dobio
[dtex](x^2-x+1)^2(x-1)^2[/dtex] uglavnom, pretpostavimo da sam raspisao sve to i dosao do
[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]
7) i pomocu parcijalne integracije dobijes rekurziju, al mislim ni nece ti trebat jer sumnjam da ce u zadacima ikad n biti veci od 2 ili 3..
uglavnom, da ima posla i racunanja, pogotovo meni kojemu je tesko zbrajati karte u beli, ali da to je to!
specijalno, za n=2 [tex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/tex] vrijedi supstitucija [tex]t=arctgs[/tex] i dobijes
[dtex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2} = \int \frac{dt}{tg^2t+1} = \int cos^2t dt = \frac{1}{2} ( \int dt + \int cos2t dt) + C = \frac{1}{2} (arctgs + \frac{s}{1+s^2}) + C[/dtex]
PREKRASNO zar ne?
i onda umjesto s mozes uvrstit svoju prijasnju supstituciju i to je to.. Nadam se da sam barem malo pomogao


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 20:53 čet, 5. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

U 2.19. kad dođem do [dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx[/dtex] što dalje?

U 2.20. mi nije jasan taj tvoj 4) korak. Znači sredim parcijalne razlomke (užas živi) i onda stanem. Ovi trikovi kasnije sa nadopunjavanjem do kvadrata i supstitucijom da mogu dobiti arctg su mi jasni, ali mi fali taj korak između.

Ugl došla sam do ovog i što sad: [dtex]\frac{1}{9} \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\int \frac{x-1}{(x^2-x+1)^2}dx+\frac{1}{9} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{9}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx[/dtex]

Zadnja dva si rekao da je trivijalno, a prva dva nisam shvatila što trebam napraviti.

I hvala na trudu i objašnjenju. :)
U 2.19. kad dođem do [dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx[/dtex] što dalje?

U 2.20. mi nije jasan taj tvoj 4) korak. Znači sredim parcijalne razlomke (užas živi) i onda stanem. Ovi trikovi kasnije sa nadopunjavanjem do kvadrata i supstitucijom da mogu dobiti arctg su mi jasni, ali mi fali taj korak između.

Ugl došla sam do ovog i što sad: [dtex]\frac{1}{9} \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\int \frac{x-1}{(x^2-x+1)^2}dx+\frac{1}{9} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{9}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx[/dtex]

Zadnja dva si rekao da je trivijalno, a prva dva nisam shvatila što trebam napraviti.

I hvala na trudu i objašnjenju. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
markann
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2013. (01:37:06)
Postovi: (1F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 2

PostPostano: 21:42 čet, 5. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{sin^2t}{cos^2t}+1}} = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}} = \int sinte^tdt[/dtex]
(Naravno to bi bilo [tex]|cost|[/tex] ali posto je t element [tex]< -pi/2,pi/2>[/tex] cos je pozitivan)

Rjesit cu ih bez ovih konstanti ispred, da mi ne smetaju jer se zivciram bezveze :(

[dtex] \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1-5}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx +\frac{5}{2} \int \frac {dx}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)}+\frac{5}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} = ... [/dtex]
Rekla si da ti je sad jasno
Drugi, SASVIM analogno
Zadnja dva su stvarno lagana:
Opcenito za linearni polinom u nazivniku koji je ujedno i normiran vrijedi
[dtex]\int \frac{dx}{(x+A)^n} = - \frac{1}{(n-1)(x+A)^{n-1}}[/dtex] ako je n razlicit od 1.
Ako je [tex]n=1[/tex]
[dtex]\int \frac{dx}{x+A}= \ln{(x+A)}[/dtex]
Specijalno, za tvoj zadatak
[dtex]\int \frac{dx}{x+1}=\ln{(x+1)}[/dtex]
[dtex]\int \frac{dx}{(x+1)^2}= -\frac{1}{x+1}[/dtex]
[dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{sin^2t}{cos^2t}+1}} = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}} = \int sinte^tdt[/dtex]
(Naravno to bi bilo [tex]|cost|[/tex] ali posto je t element [tex]< -pi/2,pi/2>[/tex] cos je pozitivan)

Rjesit cu ih bez ovih konstanti ispred, da mi ne smetaju jer se zivciram bezveze Sad

[dtex] \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1-5}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx +\frac{5}{2} \int \frac {dx}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)}+\frac{5}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} = ... [/dtex]
Rekla si da ti je sad jasno
Drugi, SASVIM analogno
Zadnja dva su stvarno lagana:
Opcenito za linearni polinom u nazivniku koji je ujedno i normiran vrijedi
[dtex]\int \frac{dx}{(x+A)^n} = - \frac{1}{(n-1)(x+A)^{n-1}}[/dtex] ako je n razlicit od 1.
Ako je [tex]n=1[/tex]
[dtex]\int \frac{dx}{x+A}= \ln{(x+A)}[/dtex]
Specijalno, za tvoj zadatak
[dtex]\int \frac{dx}{x+1}=\ln{(x+1)}[/dtex]
[dtex]\int \frac{dx}{(x+1)^2}= -\frac{1}{x+1}[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 14:30 pet, 6. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

2.19. sam uspjela (napokon) i provjerila s wolframom. Ne znam zašto mi sad na kraju nije palo na pamet napisat tg kao sinus kroz kosinus. :oops:

Okeej, još samo zadnje pitanje za kraj za taj 2.20 (muka mi je više od ovog zadatka, al ga oću skroz shvatit, pa oprosti na glupim pitanjima :D ).

[quote="markann"]
[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]
[/quote]

Kad si tamo gore u prethodnom postu pokazivao kako srediti ovakav integral, kako si ovaj zadnji dio napravio kad dobiješ [dtex]\frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]?
2.19. sam uspjela (napokon) i provjerila s wolframom. Ne znam zašto mi sad na kraju nije palo na pamet napisat tg kao sinus kroz kosinus. Embarassed

Okeej, još samo zadnje pitanje za kraj za taj 2.20 (muka mi je više od ovog zadatka, al ga oću skroz shvatit, pa oprosti na glupim pitanjima Very Happy ).

markann (napisa):

[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]


Kad si tamo gore u prethodnom postu pokazivao kako srediti ovakav integral, kako si ovaj zadnji dio napravio kad dobiješ [dtex]\frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
markann
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2013. (01:37:06)
Postovi: (1F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 2

PostPostano: 17:59 pet, 6. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Supstitucija t=s*(korjen iz 3)/2 :)
Supstitucija t=s*(korjen iz 3)/2 Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 2:24 sub, 7. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ajme hvala ti puno, napokon sam ga uspjela do kraja i točan je. :D (dođe mi da plačem od sreće što sam ga napokon dovršila hahaha)

Još uvijek mi ovo objašnjenje treba ako netko zna:
[quote="room"]
EDIT: Ipak još jedno pitanje.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_7.pdf
Zadatak 2.62. je riješen u skriptici, ali nije na vježbama. I nije mi baš jasno kako su ga riješili. Shvatila bih ovaj prvi dio jednakosti koji gleda integral sa granicama -3 do -2, ali ne znam zašto je drugačiji polinom nego zadani. A nastavak jednakosti mi nije jasan zašto je uopće tu i kako smo to gledali.

Ovo je graf u wa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-x-6%2C+y%3D0%2C[/quote]

I iz ove skriptice 2.35. a) i b): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf

2.35. a) ne znam kako bi, a 2.35. b) sam došla do jednog dijela pa sam zapela.. Podijelila sam polinome i ono što sam mogla sam integrirala.
[dtex]\frac{x^2}{2}+x+\int \frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

I sad sam ovaj integral razdvojila ovako:
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx+4\int\frac{x^2}{(x^2-2)^2}dx-4\int\frac{x}{(x^2-2)^2}dx-6\int\frac{1}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

Drugi i treći integral sam sredila i provjerila s wolfram alphom. No prvi i četvrti me muče. Četvrti ne znam kako bih, a prvi mi se u jednoj stvari razlikuje sa wolframom alphom pa mi recite di sam fulala..
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx= [u=x^2, du=2xdx, dv=\frac{xdx}{(x^2-2)^2}, v=\frac{-1}{2(x^2-2)}] =\frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{xdx}{x^2-2} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{\frac{dt}{2}}{t} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+2ln(x^2-2)[/dtex]

I sad wolfram alpha logaritam dobije isto, ali ovo ispred dobije: [dtex]\frac{-4}{x^2-2}[/dtex]

Di je greška? :oops:

[quote="pllook"]može li mi netko pomoći sa ovim zadacima?
2.34. a), 2.35. b) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf[/quote]

2.34. a) imam.

Prvo na parcijalne razlomke razdvojiš, zatim napraviš supstituciju t=arctgx, pa tangense raspišeš kao sin/cos, pa ćeš dobiti cos^2, to napišeš kao [tex]\frac{1+cos2t}{2}[/tex] i cos^4, to napišeš kao [tex]\frac{1}{8}(cos4t+4cos2t+3)[/tex] i onda svaki posebno razdvojiš i integriraš i vratiš nazad iz t u x.

Ako treba neki dio raspisat skroz ili provjerit, reci (sad mi je prekasno bilo da i to sve raspisujem :? ).
Ajme hvala ti puno, napokon sam ga uspjela do kraja i točan je. Very Happy (dođe mi da plačem od sreće što sam ga napokon dovršila hahaha)

Još uvijek mi ovo objašnjenje treba ako netko zna:
room (napisa):

EDIT: Ipak još jedno pitanje.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_7.pdf
Zadatak 2.62. je riješen u skriptici, ali nije na vježbama. I nije mi baš jasno kako su ga riješili. Shvatila bih ovaj prvi dio jednakosti koji gleda integral sa granicama -3 do -2, ali ne znam zašto je drugačiji polinom nego zadani. A nastavak jednakosti mi nije jasan zašto je uopće tu i kako smo to gledali.

Ovo je graf u wa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-x-6%2C+y%3D0%2C


I iz ove skriptice 2.35. a) i b): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf

2.35. a) ne znam kako bi, a 2.35. b) sam došla do jednog dijela pa sam zapela.. Podijelila sam polinome i ono što sam mogla sam integrirala.
[dtex]\frac{x^2}{2}+x+\int \frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

I sad sam ovaj integral razdvojila ovako:
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx+4\int\frac{x^2}{(x^2-2)^2}dx-4\int\frac{x}{(x^2-2)^2}dx-6\int\frac{1}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

Drugi i treći integral sam sredila i provjerila s wolfram alphom. No prvi i četvrti me muče. Četvrti ne znam kako bih, a prvi mi se u jednoj stvari razlikuje sa wolframom alphom pa mi recite di sam fulala..
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx= [u=x^2, du=2xdx, dv=\frac{xdx}{(x^2-2)^2}, v=\frac{-1}{2(x^2-2)}] =\frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{xdx}{x^2-2} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{\frac{dt}{2}}{t} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+2ln(x^2-2)[/dtex]

I sad wolfram alpha logaritam dobije isto, ali ovo ispred dobije: [dtex]\frac{-4}{x^2-2}[/dtex]

Di je greška? Embarassed

pllook (napisa):
može li mi netko pomoći sa ovim zadacima?
2.34. a), 2.35. b) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf


2.34. a) imam.

Prvo na parcijalne razlomke razdvojiš, zatim napraviš supstituciju t=arctgx, pa tangense raspišeš kao sin/cos, pa ćeš dobiti cos^2, to napišeš kao [tex]\frac{1+cos2t}{2}[/tex] i cos^4, to napišeš kao [tex]\frac{1}{8}(cos4t+4cos2t+3)[/tex] i onda svaki posebno razdvojiš i integriraš i vratiš nazad iz t u x.

Ako treba neki dio raspisat skroz ili provjerit, reci (sad mi je prekasno bilo da i to sve raspisujem Confused ).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Ljubičica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2012. (19:46:00)
Postovi: (6)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 18:16 sub, 7. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od [latex]sint*cost^2*e^t[/latex] ? :))
Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od ? :))


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
markann
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2013. (01:37:06)
Postovi: (1F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 2

PostPostano: 20:22 sub, 7. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zad 2.62 ima greske neke, nezz sta je snjim, uglavnom nemoj ga rjesavat hahaha

Za ovaj integral neznam kak bi rjesio pomocu tvog nacina, ali ja bi se drzo "sablone" i samo rastavljo na parcijalne

[dtex] \frac{1}{(x^2-2)^2} = \frac{1}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}[/dtex]


[quote="Ljubičica"]Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od [latex]sint*cost^2*e^t[/latex] ? :))[/quote]

Supstitucija t=arctgx deriviranjem zamjenjuje te 3/2 sa 1/2, tj ostane samo korjen u nazivniku.. Valjda, kolko ja znam xD
Zad 2.62 ima greske neke, nezz sta je snjim, uglavnom nemoj ga rjesavat hahaha

Za ovaj integral neznam kak bi rjesio pomocu tvog nacina, ali ja bi se drzo "sablone" i samo rastavljo na parcijalne

[dtex] \frac{1}{(x^2-2)^2} = \frac{1}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}[/dtex]


Ljubičica (napisa):
Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od ? Smile)


Supstitucija t=arctgx deriviranjem zamjenjuje te 3/2 sa 1/2, tj ostane samo korjen u nazivniku.. Valjda, kolko ja znam xD


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
alenand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2011. (21:29:52)
Postovi: (18)16
Sarma = la pohva - posuda
15 = 15 - 0

PostPostano: 22:29 sub, 7. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo, da i ja bacim koji komentar na sve ovo. Isprike zbog ne praćenja foruma. Uglavnom, valjda sam pohvatao ove teže zadatke:

1. ovo što je kolegica već skoro izračunala do kraja. Samo da primijetim, drugi način je još malo dijelit te polinome - koliko je to već moguće. Konkretno, onaj razlomak pod integralom možemo ovako raspisati:
[dtex]\frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x^3-8x+8x+4x^2-8+8-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x(x^2-2)+4(x^2-2)+4x-2}{(x^2-2)^2}=\frac{4x}{x^2-2}+\frac{4}{x^2-2}+\frac{4x}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{(x^2-2)^2}[/dtex]

Iako u suštini nije nešto bolje. Iduće se odnosi kako računati integrale poput zadnjeg:

2. Napisat ću dio izvoda kako reducirati sljedeći integral [dtex]\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex] za n, u pripadni za n-1. Analogno za slične integrale:
[dtex]I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2+x^2-x^2}{(x^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx=I_{n-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex]
I sad je poanta da je ovaj prvi dio upravo traženi integral za n-1, a drugi dio znamo (donekle) parcijalno integrirati. I tako negdje na desnoj strani se pojavi integral [tex]I_n[/tex] , prebaciš ga na drugu stranu itd. Nadam se da su daljni koraci jasni, ne znam kako ostalima, ali naporno je pisati sve te \frac...
Rezultat bi trebala bit sljedeća redukcijska formula:
[dtex]I_n=\frac{1}{2(n-1)a^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right)[/dtex]
U svakom slučaju, za konkretne integrale postaje bolje, samo treba imati na pamet tako neku ideju.

Za primjer uzmimo 2.34a)
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx[/dtex]
Ovo već je pogodno za parcijalnu integraciju poput u općenitom gornjem postupku, pa imamo
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/dtex]
I sad se je stvar svela na računanje integrala sličnog gore, za a=1, n=2. Vidimo da parcijalna integracija funkcionira kad je u brojniku x^2, pa probamo ga odnekud stvorit i vidjet što se događa:
[dtex]=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)}dx+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\arctan{x}+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx[/dtex]
A ovaj zadnji integral opet parcijalnom integracijom itd. Tako bi se slično moglo i onaj [dtex]\frac{1}{(x^2-2)^2}=\frac{1}{2}\frac{2-x^2+x^2}{(x^2-2)}[/dtex] i tako dalje. Nadam se da je jasno, ako ne, molim te pitaj me uživo.

3. Ok, samo kratki postupak za ovaj 2.20b) što ga malo pojednostavljuje. Primijetimo da bi ovo bilo lako da je u brojniku [tex]x^2[/tex]. Ustvari toliko bi nam pojednostavnilo stvar da upravo tu ideju možemo iskoristit u parcijalnoj integraciji:

[dtex]\int\frac{x^3}{(x^3+1)^2}dx=-\frac{1}{3}\frac{x}{1+x^3}+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^3+1}dx[/dtex]

Dalje se ovo svakako mora riješavat parcijalnim razlomcima.

4. U ovom integralu je ideja prvo raspisati sin2x, onda supstituirati t^2=tan x (yup, strpljenje s LaTeX mi je na kraju, sorry :/).
[dtex]\int\frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}}dx=\int\sqrt{\frac{\cos x}{2\sin x}}dx[/dtex]
Stavimo najavljeni t^2=tan x, pa dobivamo:
[dtex]2tdt=\frac{1}{\cos^2x}dx=(1+\tan^2x)dx[/dtex]
No sad, tan x=t^2 => (tan x)^2= t^4 pa napokon:
[dtex]dx=\frac{2t}{1+t^4}dt[/dtex]
Pa integral postaje:
[dtex]\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{2}{1+t^4}dt[/dtex]
A to je jedan dosadan integral koji je riješen negdje u skripti, mislim u poglavlju s racionalnim funkcijama. Uglavnom, vrlo dosadno rastavljanje na parcijalne razlomke :/

I napokon samo da primijetim, 2.62. je krivo izračunat, ali inače je trivijalan zadatak, a 2.35.a) nije u suštini težak (rastav na parcijalne razlomke), ali je poprilično nemoguć za čovjeka. U svakom slučaju, ne isplati se računati ga ikako osim s wolframom.
Evo, da i ja bacim koji komentar na sve ovo. Isprike zbog ne praćenja foruma. Uglavnom, valjda sam pohvatao ove teže zadatke:

1. ovo što je kolegica već skoro izračunala do kraja. Samo da primijetim, drugi način je još malo dijelit te polinome - koliko je to već moguće. Konkretno, onaj razlomak pod integralom možemo ovako raspisati:
[dtex]\frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x^3-8x+8x+4x^2-8+8-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x(x^2-2)+4(x^2-2)+4x-2}{(x^2-2)^2}=\frac{4x}{x^2-2}+\frac{4}{x^2-2}+\frac{4x}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{(x^2-2)^2}[/dtex]

Iako u suštini nije nešto bolje. Iduće se odnosi kako računati integrale poput zadnjeg:

2. Napisat ću dio izvoda kako reducirati sljedeći integral [dtex]\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex] za n, u pripadni za n-1. Analogno za slične integrale:
[dtex]I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2+x^2-x^2}{(x^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx=I_{n-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex]
I sad je poanta da je ovaj prvi dio upravo traženi integral za n-1, a drugi dio znamo (donekle) parcijalno integrirati. I tako negdje na desnoj strani se pojavi integral [tex]I_n[/tex] , prebaciš ga na drugu stranu itd. Nadam se da su daljni koraci jasni, ne znam kako ostalima, ali naporno je pisati sve te \frac...
Rezultat bi trebala bit sljedeća redukcijska formula:
[dtex]I_n=\frac{1}{2(n-1)a^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right)[/dtex]
U svakom slučaju, za konkretne integrale postaje bolje, samo treba imati na pamet tako neku ideju.

Za primjer uzmimo 2.34a)
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx[/dtex]
Ovo već je pogodno za parcijalnu integraciju poput u općenitom gornjem postupku, pa imamo
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/dtex]
I sad se je stvar svela na računanje integrala sličnog gore, za a=1, n=2. Vidimo da parcijalna integracija funkcionira kad je u brojniku x^2, pa probamo ga odnekud stvorit i vidjet što se događa:
[dtex]=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)}dx+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\arctan{x}+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx[/dtex]
A ovaj zadnji integral opet parcijalnom integracijom itd. Tako bi se slično moglo i onaj [dtex]\frac{1}{(x^2-2)^2}=\frac{1}{2}\frac{2-x^2+x^2}{(x^2-2)}[/dtex] i tako dalje. Nadam se da je jasno, ako ne, molim te pitaj me uživo.

3. Ok, samo kratki postupak za ovaj 2.20b) što ga malo pojednostavljuje. Primijetimo da bi ovo bilo lako da je u brojniku [tex]x^2[/tex]. Ustvari toliko bi nam pojednostavnilo stvar da upravo tu ideju možemo iskoristit u parcijalnoj integraciji:

[dtex]\int\frac{x^3}{(x^3+1)^2}dx=-\frac{1}{3}\frac{x}{1+x^3}+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^3+1}dx[/dtex]

Dalje se ovo svakako mora riješavat parcijalnim razlomcima.

4. U ovom integralu je ideja prvo raspisati sin2x, onda supstituirati t^2=tan x (yup, strpljenje s LaTeX mi je na kraju, sorry Ehm?).
[dtex]\int\frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}}dx=\int\sqrt{\frac{\cos x}{2\sin x}}dx[/dtex]
Stavimo najavljeni t^2=tan x, pa dobivamo:
[dtex]2tdt=\frac{1}{\cos^2x}dx=(1+\tan^2x)dx[/dtex]
No sad, tan x=t^2 ⇒ (tan x)^2= t^4 pa napokon:
[dtex]dx=\frac{2t}{1+t^4}dt[/dtex]
Pa integral postaje:
[dtex]\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{2}{1+t^4}dt[/dtex]
A to je jedan dosadan integral koji je riješen negdje u skripti, mislim u poglavlju s racionalnim funkcijama. Uglavnom, vrlo dosadno rastavljanje na parcijalne razlomke Ehm?

I napokon samo da primijetim, 2.62. je krivo izračunat, ali inače je trivijalan zadatak, a 2.35.a) nije u suštini težak (rastav na parcijalne razlomke), ali je poprilično nemoguć za čovjeka. U svakom slučaju, ne isplati se računati ga ikako osim s wolframom.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 1:35 ned, 8. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala na prijedlogu markann, ali bilo mi je bolje po alenandovom, sad ću ubuduće znat sređivat ovakve integrale. Stvarno hvala puno alenand na raspisivanju (i meni je naporno pisat sve to u latexu, sve pet :) ). Uspjela sam ga dobit isto kao wolfram alpha. :D

I hvala za 2.45. c), ne da mi se dalje to sređivat jer je neki dugačak raspis, ali bitan mi je bio početak.

I prihvatit ću savjet da preskočim 2.35 a) jer je dosadan i da je 2.62. krivi. :wink:

Sutra/preksutra se javim s novim zadacima koji mi neće bit jasni, moram još neke opet probat ili provjerit, da ne odustanem odmah. :D

[quote="Ljubičica"]Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od [latex]sint*cost^2*e^t[/latex] ? :))[/quote]

[dtex]\int \frac{xe^{arctgx}}{(1-x^2)(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}dx [/dtex]

Supstitucija: [dtex] [t=arctgx, x=tgt, dt=\frac{1}{1+x^2}dx ]= \int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^\frac{1}{2}}dt [/dtex]
Hvala na prijedlogu markann, ali bilo mi je bolje po alenandovom, sad ću ubuduće znat sređivat ovakve integrale. Stvarno hvala puno alenand na raspisivanju (i meni je naporno pisat sve to u latexu, sve pet Smile ). Uspjela sam ga dobit isto kao wolfram alpha. Very Happy

I hvala za 2.45. c), ne da mi se dalje to sređivat jer je neki dugačak raspis, ali bitan mi je bio početak.

I prihvatit ću savjet da preskočim 2.35 a) jer je dosadan i da je 2.62. krivi. Wink

Sutra/preksutra se javim s novim zadacima koji mi neće bit jasni, moram još neke opet probat ili provjerit, da ne odustanem odmah. Very Happy

Ljubičica (napisa):
Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od ? Smile)


[dtex]\int \frac{xe^{arctgx}}{(1-x^2)(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}dx [/dtex]

Supstitucija: [dtex] [t=arctgx, x=tgt, dt=\frac{1}{1+x^2}dx ]= \int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^\frac{1}{2}}dt [/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Ljubičica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2012. (19:46:00)
Postovi: (6)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 11:11 ned, 8. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ups, markann i room hvala! :D
Ups, markann i room hvala! Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Tomy007
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 11. 2009. (19:45:28)
Postovi: (94)16
Sarma = la pohva - posuda
-2 = 4 - 6

PostPostano: 13:16 sri, 11. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako izračunati [latex]\int x\sqrt{a^2-x^2}[/latex] ?
Kako izračunati ?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
hendrix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06)
Postovi: (92)16
Sarma = la pohva - posuda
29 = 31 - 2

PostPostano: 13:59 sri, 11. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Sve ovo "ispod korijena" supstituiraj ([tex]u = a^2 - x^2[/tex]), samim time ces si "ponistiti" dio van korijena i dobiti tablicni integral (integrirat ces [tex]-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{u}[/tex]).
Sve ovo "ispod korijena" supstituiraj ([tex]u = a^2 - x^2[/tex]), samim time ces si "ponistiti" dio van korijena i dobiti tablicni integral (integrirat ces [tex]-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{u}[/tex]).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
relax
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 02. 2014. (20:23:33)
Postovi: (1E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 20:07 sub, 14. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nije u vezi integrala, ali je gradivo za drugi kol:
ako imamo red tipa
[dtex]\Sigma n!x^{n!}[/dtex] i racunamo radijus konvergencije, mozemo li supstituirati [tex]t = n! [/tex] pa dalje provjeravati (D'Alembert):
[dtex]R = lim_{t \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{t}{t+1} = 1[/dtex]

Ako provjeravam
[dtex]R = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} = 0[/dtex], a to nije ispravno rjesenje
Je li onda ispravno ono prvo? Moze li se to opcenito koristiti kada je potencija od [tex](x-c) [/tex]razlicita od [tex]n[/tex], kao u ovom slucaju [tex]n![/tex] ?

EDIT: ispravljeno iz [tex]\infty[/tex] u [tex]0[/tex], moj previd :D
Nije u vezi integrala, ali je gradivo za drugi kol:
ako imamo red tipa
[dtex]\Sigma n!x^{n!}[/dtex] i racunamo radijus konvergencije, mozemo li supstituirati [tex]t = n! [/tex] pa dalje provjeravati (D'Alembert):
[dtex]R = lim_{t \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{t}{t+1} = 1[/dtex]

Ako provjeravam
[dtex]R = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} = 0[/dtex], a to nije ispravno rjesenje
Je li onda ispravno ono prvo? Moze li se to opcenito koristiti kada je potencija od [tex](x-c) [/tex]razlicita od [tex]n[/tex], kao u ovom slucaju [tex]n![/tex] ?

EDIT: ispravljeno iz [tex]\infty[/tex] u [tex]0[/tex], moj previd Very Happy




Zadnja promjena: relax; 22:27 sub, 14. 6. 2014; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 21:54 sub, 14. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ali [dtex]\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\infty}=0[/dtex]

Što se tiče ovog da je potencija [tex]n![/tex] i mene buni..

EDIT:
Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b) i 2.60. a i d? [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf[/url]
Ali [dtex]\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\infty}=0[/dtex]

Što se tiče ovog da je potencija [tex]n![/tex] i mene buni..

EDIT:
Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b) i 2.60. a i d? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Shirohige
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 15 - 3

PostPostano: 23:49 sub, 14. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="room"]
Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b)[/quote]

Imaš na forumu hint, potraži "2.59" u tražilici.

Ako se dobro sjećam, poanta je izmnožiti (x-a)(b-x) pa dobiveni izraz izraziti ovako [tex]M^2 - (x-N)^2[/tex] gdje su M i N neki izrazi uz pomoć a i b pa imaš.

[dtex]\int \frac{\,dx}{\sqrt{M^2 - (x-N)^2}} = \frac{1}{M}\arcsin\frac{x-N}{M}[/dtex]



[quote="room"] i 2.60. a i d? [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf[/url][/quote]

a) Ja sam to ovako (valjda je dobro):
[dtex]\sin x < x \implies \sqrt{\sin x} < \sqrt{x} \implies \frac{1}{\sqrt{\sin x}} > \frac{1}{\sqrt{x}} > \frac{1}{x}[/dtex]

(nalazimo se na intervalu 0 do pi/2 i imamo funkciju oblika [dtex]\frac{1}{x^p}[/dtex] za p=1 pa divergira)

d)
Sve f-je na tom intervalu su veće ili jednake 0 i:
[dtex]ln(1+x) < x \\
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{1}[/dtex]

na kraju kad pokratiš sve imaš: [dtex]\frac{1}{x^{1/2}}[/dtex] , 0 < p = 1/2 < 1 pa konvergira.

Moguće da imam negdje grešku, kasno je -.-

EDIT za d), sad kad gledam intervale, vidim da bi trebalo biti:
[dtex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{\cos 1}[/dtex]

pa kad se sve pokrati bi trebalo biti:
[dtex]\int_0^1 \frac{\,dx}{\cos 1 x^{1/2}}[/dtex]

no sad se valjda [tex]\frac{1}{\cos 1}[/tex] izluči ispred integrala pa opet imamo konvergenciju (čini mi se).
room (napisa):

Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b)


Imaš na forumu hint, potraži "2.59" u tražilici.

Ako se dobro sjećam, poanta je izmnožiti (x-a)(b-x) pa dobiveni izraz izraziti ovako [tex]M^2 - (x-N)^2[/tex] gdje su M i N neki izrazi uz pomoć a i b pa imaš.

[dtex]\int \frac{\,dx}{\sqrt{M^2 - (x-N)^2}} = \frac{1}{M}\arcsin\frac{x-N}{M}[/dtex]



room (napisa):
i 2.60. a i d? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf


a) Ja sam to ovako (valjda je dobro):
[dtex]\sin x < x \implies \sqrt{\sin x} < \sqrt{x} \implies \frac{1}{\sqrt{\sin x}} > \frac{1}{\sqrt{x}} > \frac{1}{x}[/dtex]

(nalazimo se na intervalu 0 do pi/2 i imamo funkciju oblika [dtex]\frac{1}{x^p}[/dtex] za p=1 pa divergira)

d)
Sve f-je na tom intervalu su veće ili jednake 0 i:
[dtex]ln(1+x) < x \\
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{1}[/dtex]

na kraju kad pokratiš sve imaš: [dtex]\frac{1}{x^{1/2}}[/dtex] , 0 < p = 1/2 < 1 pa konvergira.

Moguće da imam negdje grešku, kasno je -.-

EDIT za d), sad kad gledam intervale, vidim da bi trebalo biti:
[dtex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{\cos 1}[/dtex]

pa kad se sve pokrati bi trebalo biti:
[dtex]\int_0^1 \frac{\,dx}{\cos 1 x^{1/2}}[/dtex]

no sad se valjda [tex]\frac{1}{\cos 1}[/tex] izluči ispred integrala pa opet imamo konvergenciju (čini mi se).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 0:45 ned, 15. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Našla sam 2.59, hvala. :D

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. :D

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf[/url]

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. :mrgreen: )
Našla sam 2.59, hvala. Very Happy

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. Very Happy

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. Mr. Green )


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Shirohige
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 15 - 3

PostPostano: 12:43 ned, 15. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="room"]Našla sam 2.59, hvala. :D

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. :D

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): [url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf[/url]

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. :mrgreen: )[/quote]

2.46. ne znam

2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex]

2.48. c)

http://math.stackexchange.com/questions/820830/how-to-integrate-int-frac1-sin4x-cos4-x-dx

Imaš oko 3-4 pristupa, meni najdraži je odmah u komentaru (ono s cos(4x)).
room (napisa):
Našla sam 2.59, hvala. Very Happy

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. Very Happy

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. Mr. Green )


2.46. ne znam

2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex]

2.48. c)

http://math.stackexchange.com/questions/820830/how-to-integrate-int-frac1-sin4x-cos4-x-dx

Imaš oko 3-4 pristupa, meni najdraži je odmah u komentaru (ono s cos(4x)).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 15:11 ned, 15. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Shirohige"]2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex][/quote]

Znači dođem do [dtex]\frac{2}{3}arctg(3tg(\frac{x}{2})[/dtex]

I to trebam 0 do 2pi. I sad si rekao da razdvojim na 0 do pi i pomnožim sa 2. Ali tangens nije definiran u pi/2 (što se dobije kad se ubaci pi), a kad se ubaci 0 onda je 0. Kako wolfram dobije 2pi/3 za rješenje?
Shirohige (napisa):
2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex]


Znači dođem do [dtex]\frac{2}{3}arctg(3tg(\frac{x}{2})[/dtex]

I to trebam 0 do 2pi. I sad si rekao da razdvojim na 0 do pi i pomnožim sa 2. Ali tangens nije definiran u pi/2 (što se dobije kad se ubaci pi), a kad se ubaci 0 onda je 0. Kako wolfram dobije 2pi/3 za rješenje?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Shirohige
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
12 = 15 - 3

PostPostano: 15:33 ned, 15. 6. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="room"]
Znači dođem do [dtex]\frac{2}{3}arctg(3tg(\frac{x}{2})[/dtex]

I to trebam 0 do 2pi. I sad si rekao da razdvojim na 0 do pi i pomnožim sa 2. Ali tangens nije definiran u pi/2 (što se dobije kad se ubaci pi), a kad se ubaci 0 onda je 0. Kako wolfram dobije 2pi/3 za rješenje?[/quote]

[dtex]
3\tan\frac{\pi}{2} = 3 \cdot +\infty = +\infty \\
\frac{2}{3}arctg(3\tan\frac{\pi}{2}) = \lim_{a \to +\infty} \frac{2}{3}arctg(a) = \frac{2}{3}\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}
[/dtex]

i još množiš s 2 jer si razdvojila integral na 2 jednaka manja integrala od 0 do pi (drugi izraz je naravno 0 jer je 3*tg(0) = 3*0 = 0 i artcg(0)=0).
room (napisa):

Znači dođem do [dtex]\frac{2}{3}arctg(3tg(\frac{x}{2})[/dtex]

I to trebam 0 do 2pi. I sad si rekao da razdvojim na 0 do pi i pomnožim sa 2. Ali tangens nije definiran u pi/2 (što se dobije kad se ubaci pi), a kad se ubaci 0 onda je 0. Kako wolfram dobije 2pi/3 za rješenje?


[dtex]
3\tan\frac{\pi}{2} = 3 \cdot +\infty = +\infty \\
\frac{2}{3}arctg(3\tan\frac{\pi}{2}) = \lim_{a \to +\infty} \frac{2}{3}arctg(a) = \frac{2}{3}\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}
[/dtex]

i još množiš s 2 jer si razdvojila integral na 2 jednaka manja integrala od 0 do pi (drugi izraz je naravno 0 jer je 3*tg(0) = 3*0 = 0 i artcg(0)=0).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  Sljedeće
Stranica 6 / 7.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan