[quote="atv"]Zamolio bih neku dobru dušu da mi kaže kako se riješavaju ovakvi zadaci i da
riješi ovaj zadatak : NIZ (An ) zadan je rekurzivno sa A1 =1 An+1=2/3An + 1/11.
Dokazati da je niz konvergentan i odrediti mu limes.(m.analiza 1, 3.kolokvij, 27.1.2003).[/quote]
Teži dio je dokazati konvergentnost. Nakon toga, odrediti limes je relativno trivijalno. No da bismo dokazali konvergentnost, dobro je imati kandidata za limes. Zato valjda najintuitivniji put rješavanja ide ovako:
Prvo pretpostavimo da je niz konvergentan. Tad ima limes, kojeg označimo s l:=lim_n a_n .
a_{n+1}=2/3*a_n+1/11 možemo shvatiti kao jednakost dva niza: lijevi je početni niz pomaknut za 1 , a desni je linearna (afina) transformacija početnog niza. Ta dva niza su jednaka, pa su im i limesi jednaki. Limes lijevog jednak je l , jer pomak indeksa za 1 ne mijenja limes, a limes desnog je 2/3*l+1/11 . Iz jednadžbe l=2/3*l+1/11 lako dobijemo l=3/11 .
E sad... to je jedini kandidat za limes (dokazali smo, _ako je niz konvergentan_, limes mu je 3/11 ). Treba još vidjeti da niz zaista konvergira. Kako? Po teoremu: ako je monoton i ograničen, npr.
Početni član a_1=1 je veći od l=3/11 , pa niz, ako je već monoton, mora padati (zašto? odgovor nije baš potpuno trivijalan...: ). Također, u tom slučaju, da bi konvergirao k l , mora biti ograničen odozdo s l (i ovo probaj egzaktno dokazati...). Dakle, cilj nam je dokazati
* za svaki n , a_{n+1}<a_n , i
* za svaki n , a_{n+1}>3/11 .
Te dvije tvrdnje je puno lakše dokazati ako se skombiniraju u jednu,
* za svaki n , 3/11<a_{n+1}<a_n ,
koja se onda dokazuje indukcijom po n .
Baza je ispunjena: a_2=2/3+1/11 , što je očito između 3/11 i 1 (11>3, pa je 1/11<1/3, pa je a_2<2/3+1/3=1 npr.: ).
Uzmimo proizvoljan n i pretpostavimo 3/11<a_{n+1}<a_n . Množeći to s 2/3 (što je pozitivno, dakle smjer nejednakostî ostaje isti), i dodajući 1/11 , dobijemo upravo 3/11<a_{n+2}<a_{n+1} , dakle korak je dokazan. Po indukciji tvrdnja vrijedi, dakle niz je padajući i ograničen odozdo. Po poznatom teoremu, niz je konvergentan. No gore smo dokazali, ako je konvergentan, limes mu mora biti l .
Zaključak: da, (a_n)_n je konvergentan i limes mu je l=3/11 . QED.
Jasno?
[quote]Velika hvala :D i sori zbog sintakse al što ću ja kad forum ne podržava equation. :([/quote]
i sori zbog sintakse al što ću ja kad forum ne podržava equation. 
