Čini se da ti zbilja treba temeljitije raščišćavanje ovih pojmova, a toliko su važni da bi bilo najbolje da se poslužiš i literaturom i konzultacijama.
No, ukratko: da bi funkcija imala inverznu, nužno je i dovoljno da bude i surjektivna i injektivna, dakle bijektivna. Recimo da f ima domenu A i kodomenu B. Surjektivnost f potrebna je da bi uopće bila definirana inverzna funkcija za svaki element iz B, a injektivnost zato da bi ta inverzna funkcija svakom iz B pridruživala točno jedan element iz A.
(Ako bi a1 i a2 iz A imali istu sliku b, inverzna funkcija "ne bi znala" što da pridruži elementu b, a1 ili a2, da tako kažem).
Bijekciju je najlakše zamišljati po njezinom alternativnom nazivu "1-1" preslikavanje, dakle jednom iz A pripada točno jedan iz B i obrnuto; svakom a pripada f(a), a kako je svaki b iz B slika nekog (surjektivnost!) i to samo jednog (injektivnost!) elementa iz A, to je jednoznačno određena praslika (original) a iz A takav da je f(a) = b.
Formalno, kompozicija f i njezine inverzne funkcije je identiteta, i to u jednom poretku komponiranja identiteta na A, a u onom drugom identiteta na B. No, osim što je to zapravo točna definicija inverzne funkcije (takva funkcija da te kompozicije budu kao što je navedeno - identiteta na A odnosno B), time je zapravo samo formalizirana obostrano jednoznačna veza praslika-slika. Odatle se vidi i da inverzna funkcija postoji za bijekciju i da je jedinstvena. No, kažem, bolje to pročitaj još u bilo kojoj odgovarajućoj knjizi i svakako pogledaj puno primjera (kad postoji inverzna funkcija i kad ne postoji te zašto ne postoji).
Čini se da ti zbilja treba temeljitije raščišćavanje ovih pojmova, a toliko su važni da bi bilo najbolje da se poslužiš i literaturom i konzultacijama.
No, ukratko: da bi funkcija imala inverznu, nužno je i dovoljno da bude i surjektivna i injektivna, dakle bijektivna. Recimo da f ima domenu A i kodomenu B. Surjektivnost f potrebna je da bi uopće bila definirana inverzna funkcija za svaki element iz B, a injektivnost zato da bi ta inverzna funkcija svakom iz B pridruživala točno jedan element iz A.
(Ako bi a1 i a2 iz A imali istu sliku b, inverzna funkcija "ne bi znala" što da pridruži elementu b, a1 ili a2, da tako kažem).
Bijekciju je najlakše zamišljati po njezinom alternativnom nazivu "1-1" preslikavanje, dakle jednom iz A pripada točno jedan iz B i obrnuto; svakom a pripada f(a), a kako je svaki b iz B slika nekog (surjektivnost!) i to samo jednog (injektivnost!) elementa iz A, to je jednoznačno određena praslika (original) a iz A takav da je f(a) = b.
Formalno, kompozicija f i njezine inverzne funkcije je identiteta, i to u jednom poretku komponiranja identiteta na A, a u onom drugom identiteta na B. No, osim što je to zapravo točna definicija inverzne funkcije (takva funkcija da te kompozicije budu kao što je navedeno - identiteta na A odnosno B), time je zapravo samo formalizirana obostrano jednoznačna veza praslika-slika. Odatle se vidi i da inverzna funkcija postoji za bijekciju i da je jedinstvena. No, kažem, bolje to pročitaj još u bilo kojoj odgovarajućoj knjizi i svakako pogledaj puno primjera (kad postoji inverzna funkcija i kad ne postoji te zašto ne postoji).
|