Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Redovi
WWW:
Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  Sljedeće
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 17:11 sri, 23. 5. 2012    Naslov: Redovi Citirajte i odgovorite

Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! :thankyou: :happy:
Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! Thank you Happy



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
gflegar
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41)
Postovi: (10D)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
68 = 72 - 4

PostPostano: 18:04 sri, 23. 5. 2012    Naslov: Re: Redovi Citirajte i odgovorite

[quote="Zenon"]Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! :thankyou: :happy:[/quote]

Ovaj zadatak smo danas radili na vjezbama kod asistenta Kovaca :)

Za konvergenciju je lako...
ocjenis s [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/tex],
[dtex] \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan \frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \left(\frac{0}{0}\right) = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2}[/dtex]
pa red konvergira po usporednom kriteriju.

Da odredis sumu reda, iz adicijske formule za tangens:
[dtex] \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 + \tan a \tan b} [/dtex]
zamjenom s [tex] x = \tan a[/tex], [tex] y = \tan b[/tex] dobivas:
[dtex] \arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 + xy} [/dtex]
Raspisivanjem prvih nekoliko clanova niza parcijalnih suma pogodis da vrijedi [tex]s_n = \arctan \frac{n}{n + 1}[/tex] i dokazes indukcijom.
Onda imas [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} s_n = \frac{\pi}{4}[/tex]
Zenon (napisa):
Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! Thank you Happy


Ovaj zadatak smo danas radili na vjezbama kod asistenta Kovaca Smile

Za konvergenciju je lako...
ocjenis s [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/tex],
[dtex] \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan \frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \left(\frac{0}{0}\right) = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2}[/dtex]
pa red konvergira po usporednom kriteriju.

Da odredis sumu reda, iz adicijske formule za tangens:
[dtex] \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 + \tan a \tan b} [/dtex]
zamjenom s [tex] x = \tan a[/tex], [tex] y = \tan b[/tex] dobivas:
[dtex] \arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 + xy} [/dtex]
Raspisivanjem prvih nekoliko clanova niza parcijalnih suma pogodis da vrijedi [tex]s_n = \arctan \frac{n}{n + 1}[/tex] i dokazes indukcijom.
Onda imas [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} s_n = \frac{\pi}{4}[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 19:00 sri, 23. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Opet je zadatak malo zalutao. Taj zadatak je odmah iza prve lekcije, gdje se ne spominju nikakvi kriteriji osim nužnog uvjeta konvergencije reda.

Hvala na tako lijepom raspisu :D
:thankyou:
:bananawave:

[size=9][color=#999999]Added after 49 minutes:[/color][/size]

Molio bih pomoć oko još dva reda, u ovom slučaju treba samo ispitati konvergenciju. Prvi je [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln (n!)}[/tex], a drugi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac 1n \sinh\frac 1n \cos n[/tex].

Unaprijed puno hvala! :thankyou:
Opet je zadatak malo zalutao. Taj zadatak je odmah iza prve lekcije, gdje se ne spominju nikakvi kriteriji osim nužnog uvjeta konvergencije reda.

Hvala na tako lijepom raspisu Very Happy
Thank you
Banana mashe

Added after 49 minutes:

Molio bih pomoć oko još dva reda, u ovom slučaju treba samo ispitati konvergenciju. Prvi je [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln (n!)}[/tex], a drugi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac 1n \sinh\frac 1n \cos n[/tex].

Unaprijed puno hvala! Thank you



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
malalodacha
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 10. 2011. (17:06:13)
Postovi: (79)16
Sarma = la pohva - posuda
-24 = 9 - 33

PostPostano: 20:15 sri, 23. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

prvi usporediš sa redom 1/(n*lnn) za koji dokažeš lako integralnim krinterijem da divergira, a drugi dokaži apsolutnu konvergenciju za funkciju sin(1/n) sh(1/n) i usporedi sa 1/n^2

[size=9][color=#999999]Added after 1 minutes:[/color][/size]

tj, dokaži apsolutnu konvergenciju tako da sin(1/n) sh(1/n) usporediš s 1/n^2
prvi usporediš sa redom 1/(n*lnn) za koji dokažeš lako integralnim krinterijem da divergira, a drugi dokaži apsolutnu konvergenciju za funkciju sin(1/n) sh(1/n) i usporedi sa 1/n^2

Added after 1 minutes:

tj, dokaži apsolutnu konvergenciju tako da sin(1/n) sh(1/n) usporediš s 1/n^2


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 21:45 sri, 23. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Uspio sam oba, hvala ti :D
:thankyou:
Uspio sam oba, hvala ti Very Happy
Thank you



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
ebartos
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27)
Postovi: (A)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 0

PostPostano: 12:38 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf
Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 13:20 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Pretpostavljam da te muči apsolutna konvergencija s obzirom da je obična trivijalna.
[tex]e^{-H_n}=\frac{1}{e^{H_n}}[/tex] i sada to usporediš s [tex]\frac 1n[/tex]
[dtex]\frac{\frac{1}{e^{H_n}}}{\frac 1n}=\frac{n}{e^{H_n}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot n^{-1}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot e^{-\ln n}}=\frac{1}{e^{H_n-\ln n}}[/dtex]
i tu imaš Euler-Mascheronijevu konstantu.

Za ovaj drugi trenutno nemam ideju, pa ću ti odgovoriti kad/ako dobijem i ako nitko drugi u međuvremenu ne odgovori. Trenutno radim nešto drugo, pa nemam vremena sada baviti se tim zadatkom :)
Pretpostavljam da te muči apsolutna konvergencija s obzirom da je obična trivijalna.
[tex]e^{-H_n}=\frac{1}{e^{H_n}}[/tex] i sada to usporediš s [tex]\frac 1n[/tex]
[dtex]\frac{\frac{1}{e^{H_n}}}{\frac 1n}=\frac{n}{e^{H_n}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot n^{-1}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot e^{-\ln n}}=\frac{1}{e^{H_n-\ln n}}[/dtex]
i tu imaš Euler-Mascheronijevu konstantu.

Za ovaj drugi trenutno nemam ideju, pa ću ti odgovoriti kad/ako dobijem i ako nitko drugi u međuvremenu ne odgovori. Trenutno radim nešto drugo, pa nemam vremena sada baviti se tim zadatkom Smile



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
ebartos
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27)
Postovi: (A)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 0

PostPostano: 16:23 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Puno hvala! :)
Puno hvala! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
dalmatinčica
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:46:54)
Postovi: (AC)16
Sarma = la pohva - posuda
= 10 - 4

PostPostano: 17:05 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

može li netko dati neku uputu za 4. b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
može obe grupe

i 3.33 e)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf


hvala
može li netko dati neku uputu za 4. b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
može obe grupe

i 3.33 e)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf


hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
ebartos
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 02. 10. 2011. (10:37:27)
Postovi: (A)16
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 0

PostPostano: 19:55 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Za 4.b u prvoj grupi: gledaj Taylorove redove oko točke 0 za funkcije cos(x) i ch(x) (ovaj drugi red možeš lagano dobit preko definicije ch(x) i reda funkcije e^x). Kad imaš ta 2 reda probaj ih zbrojit i i onda rezultat pomnozit s 1/2 i trebao bi se dobit red koji u nazivniku ima (4n!) i onda uvrstiš x=1.
Za 4.b u prvoj grupi: gledaj Taylorove redove oko točke 0 za funkcije cos(x) i ch(x) (ovaj drugi red možeš lagano dobit preko definicije ch(x) i reda funkcije e^x). Kad imaš ta 2 reda probaj ih zbrojit i i onda rezultat pomnozit s 1/2 i trebao bi se dobit red koji u nazivniku ima (4n!) i onda uvrstiš x=1.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vjekovac
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
182 = 198 - 16

PostPostano: 22:26 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="ebartos"]Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf[/quote]
Za zadatak:
[i]Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda [/i][tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big)[/tex]
se najprije sjetimo da je na predavanjima bilo dokazano da niz [tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n[/tex] raste i konvergira prema e. To je dovoljno da bi se primijenio Leibnizov kriterij pa slijedi da zadani red obično konvergira.

Ispitivanje apsolutne konvergencije je opet dosta teže. (Zapravo 3.(b) u obje grupe su vrlo teški zadaci!)
Za početak se sjetimo raspisati [tex]a_n[/tex] po binomnom teoremu:
[tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k} = 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \ldots[/tex]
Primijetimo da svaki član za [tex]k\geq 3[/tex] možemo ocjeniti kao [tex]\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{k!}[/tex], a članove za k=0,1,2 ostavimo kakvi jesu. Dobiva se
[tex]a_n \leq 2 + \frac{n-1}{2n} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}[/tex]
S druge strane je [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e^1 = e[/tex], tj. [tex]\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}\leq e - 1 - 1 -\frac{1}{2} = e - \frac{5}{2}[/tex]
Obje te nejednakosti daju [tex]a_n \leq e - \frac{1}{2n} [/tex] pa je [tex]e - a_n \geq \frac{1}{2n} [/tex]. Dakle, usporedba s harmonijskim redom [tex]\sum\frac{1}{2n}[/tex] daje da red [tex]\sum (e - a_n)[/tex] divergira.
Dakle, zadani red UVJETNO KONVERGIRA.
ebartos (napisa):
Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf

Za zadatak:
Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big)[/tex]
se najprije sjetimo da je na predavanjima bilo dokazano da niz [tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n[/tex] raste i konvergira prema e. To je dovoljno da bi se primijenio Leibnizov kriterij pa slijedi da zadani red obično konvergira.

Ispitivanje apsolutne konvergencije je opet dosta teže. (Zapravo 3.(b) u obje grupe su vrlo teški zadaci!)
Za početak se sjetimo raspisati [tex]a_n[/tex] po binomnom teoremu:
[tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k} = 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \ldots[/tex]
Primijetimo da svaki član za [tex]k\geq 3[/tex] možemo ocjeniti kao [tex]\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{k!}[/tex], a članove za k=0,1,2 ostavimo kakvi jesu. Dobiva se
[tex]a_n \leq 2 + \frac{n-1}{2n} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}[/tex]
S druge strane je [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e^1 = e[/tex], tj. [tex]\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}\leq e - 1 - 1 -\frac{1}{2} = e - \frac{5}{2}[/tex]
Obje te nejednakosti daju [tex]a_n \leq e - \frac{1}{2n} [/tex] pa je [tex]e - a_n \geq \frac{1}{2n} [/tex]. Dakle, usporedba s harmonijskim redom [tex]\sum\frac{1}{2n}[/tex] daje da red [tex]\sum (e - a_n)[/tex] divergira.
Dakle, zadani red UVJETNO KONVERGIRA.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 23:34 uto, 29. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad :D
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.

:thankyou: :thankyou: :thankyou:

[size=9][color=#999999]Added after 40 minutes:[/color][/size]

Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] -> dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).

Unaprijed puno hvala! :thankyou:
LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad Very Happy
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.

Thank you Thank you Thank you

Added after 40 minutes:

Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] → dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).

Unaprijed puno hvala! Thank you



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
R2-D2
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10)
Postovi: (2F)16
Sarma = la pohva - posuda
12 = 12 - 0

PostPostano: 8:44 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.
Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
rom
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 10. 2010. (11:10:35)
Postovi: (2D)16
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 4

PostPostano: 10:36 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

kako bi išlo ispitivanje kovergenicije [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln(cos\frac{1}{n})[/tex]
hvala
kako bi išlo ispitivanje kovergenicije [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln(cos\frac{1}{n})[/tex]
hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 11:08 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].

Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.
Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].

Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]


Zadnja promjena: Zenon; 13:31 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
kiara
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57)
Postovi: (55)16
Sarma = la pohva - posuda
= 7 - 4

PostPostano: 11:21 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Moze li pomoc oko 3.a) od prosle godine?
Moze li pomoc oko 3.a) od prosle godine?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 11:31 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[tex]\displaystyle \sum \left(\cosh\frac 1n -\cos\frac 1n\right)^a[/tex] pisat ću [tex]a[/tex] da ne pišem alfa, ne da mi se.
Prvo primjeti da su svi članovi reda pozitivni jer je kosinus hiperbolni u nuli jednak 1, za x>0 je >1, dok je cos <=1.
I sada uspoređuješ:
[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cosh\frac 1n-1+1 -\cos\frac 1n\right)^a}{\frac{1}{n^{2a}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\cosh\frac 1n -1}{n^2}+\frac{1-\cos\frac 1n}{n^2}\right)^a=1[/dtex].

I sad gledaš za koji [tex]2a[/tex] red [tex]\sum\frac{1}{n^{2a}}[/tex] konvergira. Konvergira za sve [tex]2a>1 \Longrightarrow a>\frac 12[/tex].
[tex]\displaystyle \sum \left(\cosh\frac 1n -\cos\frac 1n\right)^a[/tex] pisat ću [tex]a[/tex] da ne pišem alfa, ne da mi se.
Prvo primjeti da su svi članovi reda pozitivni jer je kosinus hiperbolni u nuli jednak 1, za x>0 je >1, dok je cos ⇐1.
I sada uspoređuješ:
[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cosh\frac 1n-1+1 -\cos\frac 1n\right)^a}{\frac{1}{n^{2a}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\cosh\frac 1n -1}{n^2}+\frac{1-\cos\frac 1n}{n^2}\right)^a=1[/dtex].

I sad gledaš za koji [tex]2a[/tex] red [tex]\sum\frac{1}{n^{2a}}[/tex] konvergira. Konvergira za sve [tex]2a>1 \Longrightarrow a>\frac 12[/tex].



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
kiara
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57)
Postovi: (55)16
Sarma = la pohva - posuda
= 7 - 4

PostPostano: 15:17 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala! :D
Hvala! Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 15:54 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="R2-D2"]Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.[/quote]

Valja ovako, hvala ti :thankyou: :happy:
:bananawave:

EDIT: Ops, ipak nisam uspio :(
R2-D2 (napisa):
Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.


Valja ovako, hvala ti Thank you Happy
Banana mashe

EDIT: Ops, ipak nisam uspio Sad



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
R2-D2
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10)
Postovi: (2F)16
Sarma = la pohva - posuda
12 = 12 - 0

PostPostano: 16:23 sri, 30. 5. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo, ovako sam ja (možda sam nešto krivo): opći član je (n!)^5*(5^5n)/(5n)!, zar ne? kad središ kvocijent dvaju članova imaš (n+1)^4/((n+1/5)*(n+2/5)*(n+3/5)*(n+4/5)). To je sigurno veće od 1.
Evo, ovako sam ja (možda sam nešto krivo): opći član je (n!)^5*(5^5n)/(5n)!, zar ne? kad središ kvocijent dvaju članova imaš (n+1)^4/((n+1/5)*(n+2/5)*(n+3/5)*(n+4/5)). To je sigurno veće od 1.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  Sljedeće
Stranica 1 / 7.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan