Beppo Levijev teorem

[Gost]

Bio bih zahvalan ako bi netko mogao rasvijetliti ovo...

U Teoremu 6.9 (ii) smo pokazali da ako su [tex]f, g : X \rightarrow [0, +\infty][/tex] izmjerive, onda je i [tex](f+g) : X \rightarrow [0, +\infty][/tex] izmjeriva i vrijedi

[dtex]\int_X (f+g) d \mu = \int_X f d \mu + \int_X g d \mu[/dtex]

U Beppo Levijevom teoremu, pak, smo za funkcije [tex]f_n : X \rightarrow [0, +\infty][/tex] pokazali da je

[dtex]\int_X (\sum_{n=1}^{+ \infty} f_n) d \mu = \sum_{n=1}^{+ \infty} \int_X f_n d \mu[/dtex]

Ali to je isto što i

[dtex]\int_X (f_1 + f_2 + f_3 + ...) d \mu = \int_X f_1 d \mu + \int_X f_2 d \mu + \int_X f_3 d \mu + ...[/dtex]

Zar to nije isto što i linearnost? Zašto ovo ne slijedi iz linearnosti integrala, nego smo morali koristiti Teorem o monotonoj konvergenciji? Zašto svojstvo linearnosti nismo mogli primijeniti na zbroj dviju funkcija [tex]g_1+g_2[/tex], gdje je [tex]g_1 = f_1[/tex] i [tex]g_2 = \sum_{n=2}^{+ \infty} f_n[/tex] i tako dalje? Može neki kontraprimjer da linearnost ne povlači Beppo-Levijev teorem?

Hvala!

[Boris B.]

Iz f(a + b) = f(a) + f(b) indukcijom slijedi , za proizvoljan prirodan n, ali zašto bi slijedilo ?
Primijeti da je po definiciji sume reda gornja jednakost zapravo:
[dtex]f \left(\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n a_i \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(a_i),[/dtex]
dakle moraš moći zamijeniti redosljed limesa i integrala, što općenito nije moguće i pretpostavljam da je profesor dao protuprimjere.
Srećom, u Beppo-Levijevom teoremu je riječ o prilično posebnoj vrsti niza funkcija, za koje po teoremu o monotonoj konvergenciji vrijedi da je limes integrala jednak integralu limesa.

_________________
The lyf so short, the craft so long to lerne