Prva domaća zadaća (zadatak)

[AvastSecure]

Ima li netko slučajno volje ispitat i detaljnije objasnit jesu li zadani skupovi skup izvodnica iz drugog zadatka iz zadaće !? ^^ Hvala unaprijed...

[Zenon]

Odgovori na ova pitanja pa ću ti malo pomoći:
1. Što je linearna ljuska?
2. Što je sustav izvodnica za vektorski prostor V?
3. Što je baza konačnodimenzionalnog vektorskog prostora?
4. Sadrži li svaki sustav izvodnica za vektorski prostor V neku bazu za V?
5. S obzirom na dimenziju vektorskog prostora V, koliko elemenata sadrži svaka baza za V?
6. Koliko elemenata ima sustav izvodnica za V, s obzirom na njegovu dimenziju?
7. Za vektorski prostor V dimenzije n, koji skup ima više elemenata, (neka) baza ili (neki) sustav izvodnica?

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[AvastSecure]

1. Linearna ljuska npr skupa S je skup svih linearnih kombinacija elemenata iz S-
2. Za vekt. pr. V skup izvodnica čini skup vektora čijom se linearnom kombinacijom moze prikazati bilo koji vektor iz V.
3. Baza kondim. prostora je linearno nezavisan skup izvodnica.
4. MISLIM da ne sadrzi.
5. Kolika mu je i dimenzija.
6. >= dimV
7. Sustav izvodnica ima više od baze ili jednako bazi. VALJDA

ok !?

[Zenon]

Na prvo pitanje odgovor nije dovoljno precizan, jer linearna ljuska skupa S je skup svih konačnih linearnih kombinacija vektora iz skupa S. Konačnost je bitna!
- ovdje uoči da je preciznost bitna i da je ti još nisi stekao/la

Odgovor na četvrto pitanje je također netočno. Svaki skup izvodnica mora sadržavati bazu, jer inače ne bi prikaz proizvoljnog vektora iz tog vektorskog prostora bio moguć. Ako mi ne vjeruješ, probaj primjerice naći sustav izvodnica za [tex]V^3 (O)[/tex] koji u sebi ne sadrži bazu za taj prostor.
- ovdje uoči nerazumijevanje na kojem trebaš poraditi
Sam/a si rekao da je baza linearno nezavisan sustav izvodnica. Znači to je sustav izvodnica s nekim dodatnim svojstvom. Znači da postoji i linearno zavisan sustav izvodnica, što je naprosto onda nekakav nadskup baze.

Na ostala pitanja odgovor je točan.

Idemo sada po redu sa zadacima. Imaš skup s tri matrice u prostoru dimenzije 4.
1. Može li taj skup biti baza?
2. Može li taj skup biti sustav izvodnica?
3. Može li taj skup biti linearno nezavisan?
4. Kako se provjerava linearna nezavisnost?

Odgovoranjem na ova pitanja ćeš shvatiti što trebaš raditi u zadatku. Ako odgovoriš točno, a zapneš u formalnom dokazivanju svoj tvrdnji, raspisat ću ti ovdje na forumu kako to treba ići.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[hendrix]

[Zenon]

Dajte kolega, htio sam s kolegom/icom AvastSecure proći kroz zadatke, ali tako da u potpunosti razumije što vrijedi i zašto to vrijedi. Mislim da je pisanje rješenja možda pomalo kontraproduktivno, no nadam se da će kolega/ica sve dubinski shvatiti i na ovaj način

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[Popara]

Može pomoć? (ne nužno čitavo rješenje,može neki hint ili tako nešto)
Znam da nije od ove godine ali je prva zadaća
5.zad (2010/11):
Neka je skup [tex]\{{ b_{1},b_{2},...,b_{n} }\}[/tex] baza vektorskog prostora [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Pokažite da je tada isti skup baza i za [tex]\mathbb{C}^n[/tex].

[Zenon]

A sad ovako na prvu što bih ti rekao je da koristiš činjenicu da možeš pomoću te baze na jedinstven način prikazati sve vektore kanonske baze za [tex]\mathbb R^n[/tex], a pomoću njih na jedinstven način možeš prikazati sve vektore u [tex]\mathbb C^n[/tex]. Kanonske baze za ta dva vektorska prostora su iste. U slučaju realnog vektorskog prostora u oznaci [tex]\mathbb C_{\mathbb R}^n[/tex] to ne bi bio slučaj.

Added after 52 minutes:

Ajde raspisat ću ti pošto mi se ne da pisati mrtvi esej iz engleskog
Neka je [tex]\{e_1,\ldots ,e_n\}[/tex] kanonska baza za [tex]\mathbb R^n[/tex] odnosno za [tex]\mathbb C^n[/tex]. Uzmimo proizvoljan vektor [tex]z\in\mathbb C^n, \ z=(z_1,\ldots ,z_n), \ z_1,\ldots ,z_n\in\mathbb C[/tex]. Jasno je da ga pomoću kanonske baze možemo zapisati kao [dtex]z=z_1e_1+z_2e_2+\cdots +z_ne_n.[/dtex]
No, mi svaki od vektora [tex]e_i, \ i=1,\ldots ,n[/tex] možemo na jedinstven način prikazati kao linearnu kombinaciju vektora zadane baze, odnosno [dtex]e_i=\sum_{k=1}^n \alpha_{ik}b_k=\alpha_{i1}b_1+\alpha_{i2}b_2+\cdots +\alpha_{in}b_n, \ \alpha_{i1},\ldots ,\alpha_{in}\in\mathbb R.[/dtex] Sada vektor [tex]z[/tex] možemo prikazati na sljedeći način [dtex]z=z_1\sum_{k=1}^n \alpha_{1k}b_k+z_2\sum_{k=1}^n \alpha_{2k}b_k+\cdots +z_n\sum_{k=1}^n \alpha_{nk}b_k=\left(\sum_{j=1}^n z_j\alpha_{j1}\right)b_1+\left(\sum_{j=1}^n z_j\alpha_{j2}\right)b_2+\cdots +\left(\sum_{j=1}^n z_j\alpha_{jn}\right)b_n,[/dtex] čime smo pokazali da je [tex]\{b_1,\ldots ,b_n\}[/tex] sustav izvodnica za [tex]\mathbb C^n[/tex], ali znamo i da je njegova baza, jer je taj skup linearno nezavisan kao baza za [tex]\mathbb R^n[/tex], a ima ih točno [tex]n=\text{dim }\mathbb C^n[/tex].

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[Popara]

Nisi trebao raspisivati,dovoljno mi je bilo i ono početno.Svejedno,hvala

[Zenon]

[Gost]

Jel ima netko volje pojasnit taj standardan način provjere je li nešto skup izvodnica?
I još jedno pitanje, ako je dimenzija prostora 3, i imam zadan tročlani skup S, ako provjerim linearnu (ne)zavisnost tog skupa i zaključim da je linearno nezavisan, automatski mogu pisat da je S baza, a samim time i sustav izvodnica?

[Zenon]

[Gost]

A jel se može i uspoređivanjem dimenzija? Ako je dimenzija vektorskog prostora 3, a dimenzija zadanog skupa 4, onda od zadana 4 vektora tražim 3 nezavisna, ako ih nađem zadani skup je sustav izvodnica, ako ih ne nađem zadani skup nije sustav izvodnica. U teoriji to funkcionira jer je nadskup sustava izvodnica isto sustav izvodnica.
U drugom slučaju da je dimenzija zadanog skupa manja od dimenzije vektorskog prostora, automatski mogu zaključit da nije sustav izvodnica.

[Gost]

kad treba predati zadaću?

[četiri]

prvu zadaću je trebalo predat već odavno, a druga zadaća se predaje na kolokviju u srijedu.

[hendrix]

Koliko znam, prva grupa (A-LJ) još nije trebala predati prvu zadaću (barem sam načuo tako), tako da valjda oni moraju obje na kolokviju

[pingvin007]

mislim da prva grupa (A-LJ) prvu predava na kolokviju, a drugu 20.10, prvi sat nakon kolokvijskog dvotjedna (iako je druga zadaća praktički vježba za kolokij)

[Popara]

Meni samo nije jasno kome odnosno kako ćemo mi predati tu zadaću?!
Prof. Perše je rekao da trebao predati njemu i to na kolokviju a onda je na sljedećem predavanju rekao neću vam ja biti na kolokviju!

[Zenon]

[patakenjac]

Može mala pomoć oko 2. zadatka. Hvala!
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la1-1112-dz1.pdf