2. kolokvij 2011./2012., 5. zadatak

[etaoin shrdlu]

Bio bih jako zahvalan ako bi netko mogao napisati kako rijesiti 5. zadatak iz proslogodisnjeg kolokvija:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/odif/kolokviji/odjkol22011.pdf

Na predavanjima i na vjezbama smo radili samo sustave prvog reda, dakle oblika

[tex] \dfrac{d}{dx} {\bf U} = {\bf A}(x) {\bf U} + {\bf B}(x)[/tex]

pa me zanima kako napisati sustav drugog reda

[tex] \dfrac{d^2}{dx^2} {\bf U} + {\bf A}(x) \dfrac{d}{dx} {\bf U} + {\bf B}(x) {\bf U} = {\bf 0}[/tex]

kao sustav jednadzbi prvog reda? Pokusao sam nekako raspisati, ali nije bas uspjelo

Kako bi onda glasio analogon teorema o ekvivalenciji? Izrekli smo ga u slucaju kada smo linearnu jednadzbu n-tog reda sveli na n×n sustav diferencijalnih jednadzbi prvog reda. Ali ovdje nemamo jednadzbu, nego sustav drugog reda, koji svodimo na sustav??

I na kraju, sto dobijete kao rjesenje ako stavimo da je [tex]n=2[/tex], [tex]{\bf A} = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right),
{\bf B} = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]?

Puuno hvala!

[pmli]

Radiš kao i sa jednadžbom višeg reda; uvedeš nove nepoznanice da se riješiš derivacija reda većeg od 1. Dakle, ovdje uzmeš [dtex]V = \frac{d}{dx} U,[/dtex] pa vrijedi [dtex]\frac{d}{dx}V + A(x) V + B(x) U = 0.[/dtex]
Tako dobiš slijedeći sustav ODJ prvog reda: [dtex]
\begin{align}
\frac{d}{dx} U & = V \\
\frac{d}{dx} V & = -A(x) V - B(x) U
\end{align}
[/dtex]
tj. matrično [dtex]
\frac{d}{dx}
\begin{bmatrix}
U \\ V
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & I \\
-B(x) & -A(x)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U \\ V
\end{bmatrix}
[/dtex]
Teorem o ekvivalenciji sad lijepo iskažeš, a za zadane A i B trebaš riješiti gore izvedeni 4x4 sustav.

[etaoin shrdlu]

Puno hvala!

[Vip]

Jel može netko napisati koliko su mu ispala rješenja ostalih zadataka iz prošlogodišnjeg kolokvija?

[Gost]

da ne otvaram novu temu, sto smo zadnje na vjezbama obradili?

[A_je_to]

U 5. zadatku dobijem da je A=[{3, -4}, {1, -1}]
Zanima me kako odrediti opće rješenje?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/odif/kolokviji/odjkol22010.pdf

[pmli]

Rješenje ti je dano pri dnu 5. stranice ovdje. Za opće rješenje staviš, npr. [tex]x_0 = 0[/tex] i [tex]U_0 = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \end{bmatrix}[/tex].

[Gost]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/odif/kolokviji/odjkol22011.pdf

1.zadatak..kako zapisat funkciju h?

[pmli]

[banank0]

[matijaB]

L je linearan..pa to mozes raastaviti na tri dijela,a onda imas 3 transformacije od kojih je jedna tablicne,a na dvije trebas primjeniti ono svojstvo L( f(t-a) * u(t-a) )

u vezi toga....imamo L( f(t)*u(t-pi) ) ,gdje je f(t)=t
jel sad to moram namjestati f(t)=t=(t-pi)+pi ---> f(t-pi)=f(h)=h+pi

pa imamo L ( f(t-pi) * u(t-pi) ) = e^(-pi*s) L ( t+pi )(s) ?