Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Pomoću funkcija izvodnica riješiti rekurzivnu relaciju (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diskretna matematika
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
vale92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2013. (19:31:12)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 21:25 pet, 11. 1. 2013    Naslov: Pomoću funkcija izvodnica riješiti rekurzivnu relaciju Citirajte i odgovorite

Primjenom funkcija izvodnica riješite rekurzivnu relaciju

a_{n}=8*a_{n-1}+10^{n-1}, a_{1}=1;


----------------------------------------------------------------------------------------
nemam ideje kako riješiti zadatak po danim uputama . . .

znam otprilike kako bi izgledalo kada bi rješavao normalno kao lin. nehomogenu jednadžbu, al ovak ne.
pa ako bi tko bio voljan pomoći bio bih zahvalan.
Primjenom funkcija izvodnica riješite rekurzivnu relaciju:

a_{n}=8*a_{n-1}+10^{n-1}, a_{1}=1;


----------------------------------------------------------------------------------------
nemam ideje kako riješiti zadatak po danim uputama . . .

znam otprilike kako bi izgledalo kada bi rješavao normalno kao lin. nehomogenu jednadžbu, al ovak ne.
pa ako bi tko bio voljan pomoći bio bih zahvalan.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Leolinus
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2012. (16:36:41)
Postovi: (10)16
Sarma = la pohva - posuda
= 6 - 5

PostPostano: 9:15 čet, 17. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može se i sve pomaknuti za jedan indeks tj. rekurzivna relacija može izgledati:

[dtex]\tag1 a_{n+1} = 8a_{n} + 10^{n}, ~~ a_0 = 1[/dtex]

No uzet ćemo zadanu verziju.

Funkcija izvodnica od [tex]a_n[/tex] izgleda ovako:

[dtex]\tag2 A(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\ldots[/dtex]

Da krenemo od n = 1, izgledala bi:

[dtex]\tag3 A(x) - a_0= \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \ldots[/dtex]

Recimo da ju pomnožimo s x, izgledala bi:

[dtex]\tag4 xA(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n+1} = a_0x + a_1x^2 + a_2x^3 + a_3x^4\ldots[/dtex]

Ajmo sada nazad na zadatak. Sumiramo po indeksima tako da idu od 1 pa na dalje.
Pošto u rekurzivnoj relaciji postoji [tex]a_{n-1}[/tex] moramo uzeti sumaciju od 1.

[dtex]\tag5 \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = 8\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n-1}x^n + \sum_{n = 1}^{\infty}10^{n-1}x^n[/dtex]

Da kreneš raspisivati svaki član od [tex](5)[/tex] vidio bi da ti lijeva strana jednakosti liči na [tex](3)[/tex], dok prvi član na desnoj strani jednakosti liči na [tex](4)[/tex], a drugi član ako zamijeniš [tex]n - 1 = i[/tex] dobit ćeš:

[dtex] \sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i + 1} = x\sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i} = x\sum_{i = 0}^{\infty}{(10x)}^{i} = x\cdot\frac{1}{1-10x} [/dtex]

Znači, završna forma izgleda:

[dtex]A(x) - a_0 = 8xA(x) + \frac{x}{1-10x}[/dtex]

Sad je cilj naći završni oblik za [tex]A(x)[/tex]. [tex]a_0 = 0[/tex] što slijedi iz rekurzivne relacije.

[dtex]\tag6 A(x) =\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)}[/dtex]

Parcijalnim razlomcima desnu stranu jednakosti u [tex](6)[/tex] možemo rastaviti u formu:

[dtex]\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)} = \frac{A}{1-10x} + \frac{B}{1 - 8x}[/dtex]

Nakon malo računa dobiju se koeficijenti A i B te funkcija izvodnica poprima novi i završni oblik:

[dtex]\tag7 A(x) =\frac{1}{2}\frac{1}{1-10x} - \frac{1}{2}\frac{1}{1-8x}[/dtex]

Ako bi sada [tex](7)[/tex] raspisali isto preko suma dobili bi sljedeće:

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(10x)^n - \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(8x)^n [/dtex]

Preostaje nam izraz s desne strane ujediniti u jednu sumu i dobivamo rješenje rekurzivne relacije.

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2}(10^n - 8^n)x^n[/dtex]

Tj.

[dtex]a_n = \frac{1}{2}(10^n - 8^n) = 2^{n-1}(5^n - 4^n)[/dtex]
Može se i sve pomaknuti za jedan indeks tj. rekurzivna relacija može izgledati:

[dtex]\tag1 a_{n+1} = 8a_{n} + 10^{n}, ~~ a_0 = 1[/dtex]

No uzet ćemo zadanu verziju.

Funkcija izvodnica od [tex]a_n[/tex] izgleda ovako:

[dtex]\tag2 A(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\ldots[/dtex]

Da krenemo od n = 1, izgledala bi:

[dtex]\tag3 A(x) - a_0= \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \ldots[/dtex]

Recimo da ju pomnožimo s x, izgledala bi:

[dtex]\tag4 xA(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n+1} = a_0x + a_1x^2 + a_2x^3 + a_3x^4\ldots[/dtex]

Ajmo sada nazad na zadatak. Sumiramo po indeksima tako da idu od 1 pa na dalje.
Pošto u rekurzivnoj relaciji postoji [tex]a_{n-1}[/tex] moramo uzeti sumaciju od 1.

[dtex]\tag5 \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = 8\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n-1}x^n + \sum_{n = 1}^{\infty}10^{n-1}x^n[/dtex]

Da kreneš raspisivati svaki član od [tex](5)[/tex] vidio bi da ti lijeva strana jednakosti liči na [tex](3)[/tex], dok prvi član na desnoj strani jednakosti liči na [tex](4)[/tex], a drugi član ako zamijeniš [tex]n - 1 = i[/tex] dobit ćeš:

[dtex] \sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i + 1} = x\sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i} = x\sum_{i = 0}^{\infty}{(10x)}^{i} = x\cdot\frac{1}{1-10x} [/dtex]

Znači, završna forma izgleda:

[dtex]A(x) - a_0 = 8xA(x) + \frac{x}{1-10x}[/dtex]

Sad je cilj naći završni oblik za [tex]A(x)[/tex]. [tex]a_0 = 0[/tex] što slijedi iz rekurzivne relacije.

[dtex]\tag6 A(x) =\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)}[/dtex]

Parcijalnim razlomcima desnu stranu jednakosti u [tex](6)[/tex] možemo rastaviti u formu:

[dtex]\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)} = \frac{A}{1-10x} + \frac{B}{1 - 8x}[/dtex]

Nakon malo računa dobiju se koeficijenti A i B te funkcija izvodnica poprima novi i završni oblik:

[dtex]\tag7 A(x) =\frac{1}{2}\frac{1}{1-10x} - \frac{1}{2}\frac{1}{1-8x}[/dtex]

Ako bi sada [tex](7)[/tex] raspisali isto preko suma dobili bi sljedeće:

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(10x)^n - \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(8x)^n [/dtex]

Preostaje nam izraz s desne strane ujediniti u jednu sumu i dobivamo rješenje rekurzivne relacije.

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2}(10^n - 8^n)x^n[/dtex]

Tj.

[dtex]a_n = \frac{1}{2}(10^n - 8^n) = 2^{n-1}(5^n - 4^n)[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vale92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2013. (19:31:12)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 11:41 čet, 17. 1. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

tnx very much !!! -)
tnx very much !!! :-)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Diskretna matematika Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan