Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Kako rijesiti limes?
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
uvelaruza
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 03. 2013. (13:30:02)
Postovi: (E)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 13:42 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Kako rijesiti limes? Citirajte i odgovorite

Može li mi neko pomoći da izračunam limes:[/url]
Može li mi neko pomoći da izračunam limes:[/url]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
If and only if
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 09. 2012. (18:16:22)
Postovi: (1F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-8 = 2 - 10

PostPostano: 16:27 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ja bi to ovako: [latex] \ lim_{n\to\infty} ((n^{1/n} - 1))^n=(\ lim_{n\to\infty} (n^{1/n} - 1))^n=(\ lim_{n\to\infty}(n^{1/n}) - 1)^n=(1-1)^n=0^n=0[/latex]
Ja bi to ovako:



_________________
+.-,x,:
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 17:07 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="If and only if"]Ja bi to ovako: [latex] \ lim_{n\to\infty} ((n^{1/n} - 1))^n=(\ lim_{n\to\infty} (n^{1/n} - 1))^n=(\ lim_{n\to\infty}(n^{1/n}) - 1)^n=(1-1)^n=0^n=0[/latex][/quote]
Iako to jest točan rezultat, postupak jednostavno nije. To bi mogao napraviti da limes glasi [dtex]\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^x,[/dtex] gdje je [tex]x\in\mathbb R\setminus\{0\}[/tex], ali u ovom slučaju eksponent ovisi o samom [tex]n[/tex]. Ne možeš ti "parcijalno pustiti limes".
Očiti kontrapimjer bio bi [dtex]\lim_n (n^{1/n})^n=(\lim_n n^{1/n})^n=1^n=1,[/dtex] dok, s druge strane, [dtex]\lim_n (n^{1/n})^n=\lim_n n^{\frac nn}=\lim_n n=+\infty .[/dtex]

[size=9][color=#999999]Added after 21 minutes:[/color][/size]

Ja bih to nekako ovako. Neka je [tex]\varepsilon >0[/tex] proizvoljan. S obzirom da znamo da [tex]\sqrt[n]{n}\to 1,[/tex] vrijedi [dtex](\forall \varepsilon ' >0)(\exists n_{\varepsilon '}\in\mathbb N) n\geq n_{\varepsilon '} \implies \vert \sqrt[n]{n}-1\vert <\varepsilon ' .[/dtex] Dakle, postoji [tex]n_0[/tex] takav da za svaki [tex]n\geq n_0[/tex] vrijedi [dtex]0\leq\sqrt[n]{n}-1=\vert \sqrt[n]{n}-1\vert<\frac 12\Longleftrightarrow (\sqrt[n]{n}-1)^n<\left(\frac 12\right)^n.[/dtex] S obzirom da znamo da [tex](\frac 12)^n\to 0[/tex], slijedi da postoji [tex]n_1[/tex] takav da [dtex]n\geq n_1\implies \left(\frac 12\right)^n <\varepsilon .[/dtex] Uzmimo sada [tex]n_{\varepsilon}=\text{max}\{n_0, n_1\}[/tex] i za [tex]n\geq n_{\varepsilon}[/tex] vrijedi [dtex]\vert (\sqrt[n]{n}-1)^n-0\vert =(\sqrt[n]{n}-1)^n<\left(\frac 12\right)^n<\varepsilon .[/dtex] Dakle, po definiciji smo pokazali da je limes jednak 0.
If and only if (napisa):
Ja bi to ovako:

Iako to jest točan rezultat, postupak jednostavno nije. To bi mogao napraviti da limes glasi [dtex]\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^x,[/dtex] gdje je [tex]x\in\mathbb R\setminus\{0\}[/tex], ali u ovom slučaju eksponent ovisi o samom [tex]n[/tex]. Ne možeš ti "parcijalno pustiti limes".
Očiti kontrapimjer bio bi [dtex]\lim_n (n^{1/n})^n=(\lim_n n^{1/n})^n=1^n=1,[/dtex] dok, s druge strane, [dtex]\lim_n (n^{1/n})^n=\lim_n n^{\frac nn}=\lim_n n=+\infty .[/dtex]

Added after 21 minutes:

Ja bih to nekako ovako. Neka je [tex]\varepsilon >0[/tex] proizvoljan. S obzirom da znamo da [tex]\sqrt[n]{n}\to 1,[/tex] vrijedi [dtex](\forall \varepsilon ' >0)(\exists n_{\varepsilon '}\in\mathbb N) n\geq n_{\varepsilon '} \implies \vert \sqrt[n]{n}-1\vert <\varepsilon ' .[/dtex] Dakle, postoji [tex]n_0[/tex] takav da za svaki [tex]n\geq n_0[/tex] vrijedi [dtex]0\leq\sqrt[n]{n}-1=\vert \sqrt[n]{n}-1\vert<\frac 12\Longleftrightarrow (\sqrt[n]{n}-1)^n<\left(\frac 12\right)^n.[/dtex] S obzirom da znamo da [tex](\frac 12)^n\to 0[/tex], slijedi da postoji [tex]n_1[/tex] takav da [dtex]n\geq n_1\implies \left(\frac 12\right)^n <\varepsilon .[/dtex] Uzmimo sada [tex]n_{\varepsilon}=\text{max}\{n_0, n_1\}[/tex] i za [tex]n\geq n_{\varepsilon}[/tex] vrijedi [dtex]\vert (\sqrt[n]{n}-1)^n-0\vert =(\sqrt[n]{n}-1)^n<\left(\frac 12\right)^n<\varepsilon .[/dtex] Dakle, po definiciji smo pokazali da je limes jednak 0.



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
If and only if
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 09. 2012. (18:16:22)
Postovi: (1F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-8 = 2 - 10

PostPostano: 18:09 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ali ovdje je jasno da se smije raditi to sto sam napravio jer se zna da je limes onoga sto je ispod n-te potencije jednak 0 pa je time i na n-tu limes jednak nula jer to "na n-tu" samo smanjiva broj jer je on izmedu 0 i 1, no dobro ti si to isao preciznije i dobar ti je dokaz, ali znam ja za to sto si rekao, o tome da "nebi smio" pustiti tako limes ali moze se i to ako se pazljivo razmotri problem.
Ali ovdje je jasno da se smije raditi to sto sam napravio jer se zna da je limes onoga sto je ispod n-te potencije jednak 0 pa je time i na n-tu limes jednak nula jer to "na n-tu" samo smanjiva broj jer je on izmedu 0 i 1, no dobro ti si to isao preciznije i dobar ti je dokaz, ali znam ja za to sto si rekao, o tome da "nebi smio" pustiti tako limes ali moze se i to ako se pazljivo razmotri problem.



_________________
+.-,x,:
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
satja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 05. 2010. (10:44:17)
Postovi: (F1)16
Sarma = la pohva - posuda
73 = 78 - 5

PostPostano: 20:11 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Čini mi se da [i]If and only If[/i] naslućuje vrlo jednostavno rješenje koje slijedi iz teorema o sendviču: [dtex]0\le (\sqrt[n]n - 1)^n \le \sqrt[n]n - 1 \to 0[/dtex]
Čini mi se da If and only If naslućuje vrlo jednostavno rješenje koje slijedi iz teorema o sendviču: [dtex]0\le (\sqrt[n]n - 1)^n \le \sqrt[n]n - 1 \to 0[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
If and only if
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 09. 2012. (18:16:22)
Postovi: (1F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-8 = 2 - 10

PostPostano: 20:35 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="satja"]Čini mi se da [i]If and only If[/i] naslućuje vrlo jednostavno rješenje koje slijedi iz teorema o sendviču: [dtex]0\le (\sqrt[n]n - 1)^n \le \sqrt[n]n - 1 \to 0[/dtex][/quote]

Tako je, to sam imao na umu, a i jos neke detalje, dobro uoceno! Ti detalji bi bili da u biti vrijedi da ako je [dtex]\lim_{n\to\infty}a_n=0[/dtex]. onda je i [dtex]\lim_{n\to\infty}(a_n)^n=0[/dtex], za proizvoljni niz [dtex]a_n[/dtex] tako da u biti opravdam ove svoje "prijelaze sa limesom".
satja (napisa):
Čini mi se da If and only If naslućuje vrlo jednostavno rješenje koje slijedi iz teorema o sendviču: [dtex]0\le (\sqrt[n]n - 1)^n \le \sqrt[n]n - 1 \to 0[/dtex]


Tako je, to sam imao na umu, a i jos neke detalje, dobro uoceno! Ti detalji bi bili da u biti vrijedi da ako je [dtex]\lim_{n\to\infty}a_n=0[/dtex]. onda je i [dtex]\lim_{n\to\infty}(a_n)^n=0[/dtex], za proizvoljni niz [dtex]a_n[/dtex] tako da u biti opravdam ove svoje "prijelaze sa limesom".



_________________
+.-,x,:
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
uvelaruza
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 03. 2013. (13:30:02)
Postovi: (E)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 23:02 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala vam puno...
Hvala vam puno...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 23:43 uto, 5. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Neovisno o tome što za nizove vrijedi ili ne vrijedi, ono rješenje (tj. onaj zapis rješenja) jednostavno je krivo i neispravno.
Nadalje, da mi nismo reagirali, to krivo rješenje bi stajalno na forumu bez dodatnih opravdanja i argumentacije i ovisno o razumjevanju osobe koja je tražila rješenje, ili bi "otišla kući" s krivim rješenjem, ili čekala da netko da ispravan odgovor.
S obzirom na sve te daljnje argumente, ako si ih apriori znao, ne vidim zašto si uopće pisao onaj neispravan račun, a ne odmah pokazao puno općenitiji rezultat ili, kao satja, napisao koji si oblik teorema o sendviču imao u glavi (to svakako zahtjeva manje tipkanja u tex-u)?

No dobro, kako ova tema ne bi prerasla u raspravu nevezanu uz sami zadatak, ovdje stajem s postovima (a pogotovo jer mi se čini da se ponavlja [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=179422#179422]ovo[/url] popračeno [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=179426#179426]ovim[/url], zaključno s [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=179437#179437]ovim[/url]).
Neovisno o tome što za nizove vrijedi ili ne vrijedi, ono rješenje (tj. onaj zapis rješenja) jednostavno je krivo i neispravno.
Nadalje, da mi nismo reagirali, to krivo rješenje bi stajalno na forumu bez dodatnih opravdanja i argumentacije i ovisno o razumjevanju osobe koja je tražila rješenje, ili bi "otišla kući" s krivim rješenjem, ili čekala da netko da ispravan odgovor.
S obzirom na sve te daljnje argumente, ako si ih apriori znao, ne vidim zašto si uopće pisao onaj neispravan račun, a ne odmah pokazao puno općenitiji rezultat ili, kao satja, napisao koji si oblik teorema o sendviču imao u glavi (to svakako zahtjeva manje tipkanja u tex-u)?

No dobro, kako ova tema ne bi prerasla u raspravu nevezanu uz sami zadatak, ovdje stajem s postovima (a pogotovo jer mi se čini da se ponavlja ovo popračeno ovim, zaključno s ovim).



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
tiborr
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 12. 2012. (18:54:28)
Postovi: (E)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 19:03 sub, 16. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako riješiti ovaj limes [tex]\lim_{x\to 0^-}\frac{e^{1/x}-\beta x}{x}[/tex]?
hvala
Kako riješiti ovaj limes [tex]\lim_{x\to 0^-}\frac{e^{1/x}-\beta x}{x}[/tex]?
hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2

PostPostano: 20:01 sub, 16. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[tex] \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{e^{1/x} }{x} = \{ t=\frac{1}{x} \} = \displaystyle \lim_{t \to - \infty} \frac{e^t}{\frac{1}{t}} = \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{t}{e^{-t}}=(L'H)=\lim_{t \to - \infty } \frac{1}{-e^{-t}}=0[/tex]

Sad je početni limes jednak zbroju gore izračunatog limesa i limesa [tex] \lim_{x \to 0^-} \frac{- \beta x}{x} [/tex]. Dakle, rezultat je [tex] -\beta [/tex].
[tex] \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{e^{1/x} }{x} = \{ t=\frac{1}{x} \} = \displaystyle \lim_{t \to - \infty} \frac{e^t}{\frac{1}{t}} = \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac{t}{e^{-t}}=(L'H)=\lim_{t \to - \infty } \frac{1}{-e^{-t}}=0[/tex]

Sad je početni limes jednak zbroju gore izračunatog limesa i limesa [tex] \lim_{x \to 0^-} \frac{- \beta x}{x} [/tex]. Dakle, rezultat je [tex] -\beta [/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Nightrider
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Forumaš s poteškoćama u pisanju


Pridružen/a: 19. 03. 2013. (19:01:05)
Postovi: (61)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-40 = 8 - 48

PostPostano: 17:54 čet, 21. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:
[latex]\lim_ {x\to \infty}\dfrac {cos^5xsin^5x} {x^8sin^2x-2x^7sinxcos^2x+x^6cos^4x+x^2cos^8x}[/latex]

Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?
A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:


Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2

PostPostano: 10:31 pet, 22. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Nightrider"]A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:
[latex]\lim_ {x\to \infty}\dfrac {cos^5xsin^5x} {x^8sin^2x-2x^7sinxcos^2x+x^6cos^4x+x^2cos^8x}[/latex]

Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?[/quote]

Cijenio bih da staviš originalni zadatak. Ovo mi se čini da si zakomplicirao neki zadatak, pa se ne vidi lako koje je rješenje, no možda je tom zadatku trebalo drugačije pristupiti.
Nightrider (napisa):
A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:


Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?


Cijenio bih da staviš originalni zadatak. Ovo mi se čini da si zakomplicirao neki zadatak, pa se ne vidi lako koje je rješenje, no možda je tom zadatku trebalo drugačije pristupiti.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Nightrider
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Forumaš s poteškoćama u pisanju


Pridružen/a: 19. 03. 2013. (19:01:05)
Postovi: (61)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-40 = 8 - 48

PostPostano: 11:26 pet, 22. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="matkec"][quote="Nightrider"]A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:
[latex]\lim_ {x\to \infty}\dfrac {cos^5xsin^5x} {x^8sin^2x-2x^7sinxcos^2x+x^6cos^4x+x^2cos^8x}[/latex]

Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?[/quote]

Cijenio bih da staviš originalni zadatak. Ovo mi se čini da si zakomplicirao neki zadatak, pa se ne vidi lako koje je rješenje, no možda je tom zadatku trebalo drugačije pristupiti.[/quote]

Evo, ako ti imalo pomaze, pa ti rjesavaj kako god ti srce zeli:

[latex]\lim_ {x\to \infty}\dfrac {{(cosxsinx)^5\over x^{10}}}{({sinx\over x}-{cos^2x\over x^2})^2+{cos^8x\over x^8}}[/latex]
matkec (napisa):
Nightrider (napisa):
A ja sam zapeo na ovome, molim vas ne pitajte kako sam dosao do ovoga:

Postoji li limes:


Ima li neki strucnjak za limese ili je ovo nesto trivijalno samo ja ne vidim nacin?


Cijenio bih da staviš originalni zadatak. Ovo mi se čini da si zakomplicirao neki zadatak, pa se ne vidi lako koje je rješenje, no možda je tom zadatku trebalo drugačije pristupiti.


Evo, ako ti imalo pomaze, pa ti rjesavaj kako god ti srce zeli:



[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2

PostPostano: 21:20 pet, 22. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Nightrider"]
[latex]\lim_ {x\to \infty}\dfrac {{(cosxsinx)^5\over x^{10}}}{({sinx\over x}-{cos^2x\over x^2})^2+{cos^8x\over x^8}}[/latex][/quote]

Uf, ne znam odakle ti ovaj zadatak, izgleda odvratno.
Nisam baš puno razmišljao, više sam sam se uzdao u Wolframa. Prvo ne želi izračunat limes, no kad se nacrta graf, izgleda da je nula...

Pokušat ću još malo, treba biti neka finta s ograničavanjem sinusa i cosinusa ( <=1 ), pa da onda polinom nadvlada.


(Dan poslije...)
Evo ga:
Kao što sam i najavio, sve trigonometrijske funkcije ćemo nekako ograničiti i pustiti polinomima da odrade svoje. Umjesto da gledamo originalni limes, gledat ćemo limes apsolutne vrijednosti cijelog izraza i dokazati da je on jednak nuli.

Brojnik je lagano ograničiti: [tex] | (cosxsinx)^5 | \leq 1 [/tex]. Nazivnik će biti puno teže, jer ga moramo ograničiti odozdo.

Dokazat ćemo sljedeću tvrdnju: [tex] x^4(x sinx - cos^2x)^2 + cos^8x \geq \frac{1}{16} [/tex], za sve [tex] x >2[/tex]. (Odabrane konstante su mogle biti i drukčije).
Pretpostavimo suprotno, tj. [tex] x^4(x sinx - cos^2x)^2 + cos^8x < \frac{1}{16} [/tex], za neki [tex]x>2[/tex]. Kako je izraz slijeva zbroj dva nenegativna broja, da bi vrijedila nejednakost nužno moraju vrijediti i sljedeće dvije nejednakosti:
a) [tex] cos^8x < \frac{1}{16}[/tex] => [tex] cos^2 x < \frac{1}{2} (1) [/tex]
b) [tex] x^4 (xsinx - cos^2x)^2 < \frac{1}{16}[/tex]
=> [tex] |xsinx - cos^2 x | < \frac{1}{16} [/tex] (iskoristli smo x>2)
=> [tex]- \frac{1}{16} < xsinx - cos^2x < \frac{1}{16}[/tex]
=> [tex] - \frac{1}{16} -1 <xsinx < \frac{1}{16} +1 [/tex] (iskoristili smo [tex]-1 < 0 \leq cos^2x \leq 1 [/tex])
=> [tex] |sin x| < \frac{17}{32} < \frac{2}{3} (2) [/tex]
Iz novodobivenih nejednakosti (1) i (2) dobivamo da za taj neki [tex]x>2[/tex] vrijedi [tex]1 = sin^2x+cos^2x < \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{17}{18}[/tex], što nije istina. Kontradikcija.

Sada možemo usendvičiti naš limes:
[latex] 0 \leq \lvert \dfrac {{(cosxsinx)^5\over x^{10}}}{({sinx\over x}-{cos^2x\over x^2})^2+{cos^8x\over x^8}} \rvert = \lvert \dfrac {{(cosxsinx)^5\over x^{10}}}{ \frac{x^4(x sinx - cos^2x)^2 + cos^8x}{x^8}} \rvert \leq \frac{\frac{1}{x^{10}}}{\frac{1}{16 x^8}} = \frac{16}{x^2} [/latex]

Sad je jasno da i lijeva i desna strana idu u nulu kada x ide u plus beskonačno.
Nightrider (napisa):



Uf, ne znam odakle ti ovaj zadatak, izgleda odvratno.
Nisam baš puno razmišljao, više sam sam se uzdao u Wolframa. Prvo ne želi izračunat limes, no kad se nacrta graf, izgleda da je nula...

Pokušat ću još malo, treba biti neka finta s ograničavanjem sinusa i cosinusa ( ⇐1 ), pa da onda polinom nadvlada.


(Dan poslije...)
Evo ga:
Kao što sam i najavio, sve trigonometrijske funkcije ćemo nekako ograničiti i pustiti polinomima da odrade svoje. Umjesto da gledamo originalni limes, gledat ćemo limes apsolutne vrijednosti cijelog izraza i dokazati da je on jednak nuli.

Brojnik je lagano ograničiti: [tex] | (cosxsinx)^5 | \leq 1 [/tex]. Nazivnik će biti puno teže, jer ga moramo ograničiti odozdo.

Dokazat ćemo sljedeću tvrdnju: [tex] x^4(x sinx - cos^2x)^2 + cos^8x \geq \frac{1}{16} [/tex], za sve [tex] x >2[/tex]. (Odabrane konstante su mogle biti i drukčije).
Pretpostavimo suprotno, tj. [tex] x^4(x sinx - cos^2x)^2 + cos^8x < \frac{1}{16} [/tex], za neki [tex]x>2[/tex]. Kako je izraz slijeva zbroj dva nenegativna broja, da bi vrijedila nejednakost nužno moraju vrijediti i sljedeće dvije nejednakosti:
a) [tex] cos^8x < \frac{1}{16}[/tex] ⇒ [tex] cos^2 x < \frac{1}{2} (1) [/tex]
b) [tex] x^4 (xsinx - cos^2x)^2 < \frac{1}{16}[/tex]
⇒ [tex] |xsinx - cos^2 x | < \frac{1}{16} [/tex] (iskoristli smo x>2)
⇒ [tex]- \frac{1}{16} < xsinx - cos^2x < \frac{1}{16}[/tex]
⇒ [tex] - \frac{1}{16} -1 <xsinx < \frac{1}{16} +1 [/tex] (iskoristili smo [tex]-1 < 0 \leq cos^2x \leq 1 [/tex])
⇒ [tex] |sin x| < \frac{17}{32} < \frac{2}{3} (2) [/tex]
Iz novodobivenih nejednakosti (1) i (2) dobivamo da za taj neki [tex]x>2[/tex] vrijedi [tex]1 = sin^2x+cos^2x < \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{17}{18}[/tex], što nije istina. Kontradikcija.

Sada možemo usendvičiti naš limes:


Sad je jasno da i lijeva i desna strana idu u nulu kada x ide u plus beskonačno.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Nightrider
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Forumaš s poteškoćama u pisanju


Pridružen/a: 19. 03. 2013. (19:01:05)
Postovi: (61)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-40 = 8 - 48

PostPostano: 15:32 pet, 29. 3. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

@matkec Odlicno si ti to obavio.
@matkec Odlicno si ti to obavio.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pllook
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 11. 2013. (20:56:12)
Postovi: (CD)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 8

PostPostano: 21:16 uto, 28. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može li mi netko objasniti ovaj zadatak:
lim(x->0) (e^ch x - e^cos x)/(1-cos x) ?
na vježbama smo dobili da je rješenje 2,wolfram kaže -beskonačno.. :?
Može li mi netko objasniti ovaj zadatak:
lim(x->0) (e^ch x - e^cos x)/(1-cos x) ?
na vježbama smo dobili da je rješenje 2,wolfram kaže -beskonačno.. Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 23:43 uto, 28. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28E%5ECosh%5Bx%5D+-+E%5ECos%5Bx%5D%29%2F%281+-+Cos%5Bx%5D%29+when+x-%3E0]Wolfram|Alpha kaze [tex]2e[/tex][/url], a ne [tex]-\infty[/tex].
Wolfram|Alpha kaze [tex]2e[/tex], a ne [tex]-\infty[/tex].



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
pllook
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 11. 2013. (20:56:12)
Postovi: (CD)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 8 - 8

PostPostano: 9:49 sri, 29. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="vsego"][url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28E%5ECosh%5Bx%5D+-+E%5ECos%5Bx%5D%29%2F%281+-+Cos%5Bx%5D%29+when+x-%3E0]Wolfram|Alpha kaze [tex]2e[/tex][/url], a ne [tex]-\infty[/tex].[/quote]

hvala,skužila sam zadatak.
vsego (napisa):
Wolfram|Alpha kaze [tex]2e[/tex], a ne [tex]-\infty[/tex].


hvala,skužila sam zadatak.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan