| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Shirohige
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol: 
|
 Postano: 0:21 ned, 17. 3. 2013 Naslov: LA2 - Prva domaća zadaća |
    |
|
|
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-1213-dz1.pdf[/url]
2. zadatak
Bio bi zahvalan za neki hint/natuknice za ovaj prvi dio tj. određivanje opće formule:
Odredite opću formulu po kojoj djeluje operator [tex] A\in L(\mathbb{R}^3 , M_2(\mathbb{R}))[/tex] koji vektore kanonske baze prostora [tex]\mathbb{R}^3[/tex] prevodi, redom, u matrice:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/DZ/la2-1213-dz1.pdf
2. zadatak
Bio bi zahvalan za neki hint/natuknice za ovaj prvi dio tj. određivanje opće formule:
Odredite opću formulu po kojoj djeluje operator [tex] A\in L(\mathbb{R}^3 , M_2(\mathbb{R}))[/tex] koji vektore kanonske baze prostora [tex]\mathbb{R}^3[/tex] prevodi, redom, u matrice:
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}[/tex]
Zadnja promjena: Shirohige; 9:57 ned, 17. 3. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Shirohige
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol:
|
| Postano: 10:39 ned, 17. 3. 2013 Naslov: |
|
|
|
Dimenzija je 4 pa bi se to moglo poistovjetiti sa [tex]\mathbb{R}^4[/tex],
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = (1, 2, 1, 1) ,\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = (-1, 1, 1, 2) , \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = (5, 4, 1, -1)[/tex]
Pa bi to za proizvoljni [tex]x = (x_1, x_2, x_3)[/tex] bilo:
[tex]Ax = A(x_1, x_2, x_3) = A(x_1e_1) + A(x_2e_2) + A(x_3e_3) =x_1Ae_1 + x_2Ae_2 + x_3Ae_3 = x_1(1, 2, 1, 1) + x_2(-1, 1, 1, 2) + x3(5, 4, 1, -1)[/tex]
tj.
[tex]A(x) = \begin{bmatrix} x_1 & 2x_1 \\ x_1 & x_1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -x_2 & x_2 \\ x_2 & 2x_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5x_3 & 4x_3 \\ x_3 & -x_3 \end{bmatrix}[/tex]
Je li to dobro?
Dimenzija je 4 pa bi se to moglo poistovjetiti sa [tex]\mathbb{R}^4[/tex],
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = (1, 2, 1, 1) ,\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = (-1, 1, 1, 2) , \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = (5, 4, 1, -1)[/tex]
Pa bi to za proizvoljni [tex]x = (x_1, x_2, x_3)[/tex] bilo:
[tex]Ax = A(x_1, x_2, x_3) = A(x_1e_1) + A(x_2e_2) + A(x_3e_3) =x_1Ae_1 + x_2Ae_2 + x_3Ae_3 = x_1(1, 2, 1, 1) + x_2(-1, 1, 1, 2) + x3(5, 4, 1, -1)[/tex]
tj.
[tex]A(x) = \begin{bmatrix} x_1 & 2x_1 \\ x_1 & x_1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -x_2 & x_2 \\ x_2 & 2x_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5x_3 & 4x_3 \\ x_3 & -x_3 \end{bmatrix}[/tex]
Je li to dobro?
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Shirohige
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol:
|
| Postano: 21:14 ned, 17. 3. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="goranm"]Ax bi trebala biti 2x2 matrica, zar ne?
Nadji kako izgleda matrica M koja reprezentira A ako umjesto [tex]M_2(\mathbb R)[/tex] gledas [tex]\mathbb R^4[/tex] i nadji sto je Mx za proizvoljan x. Onda Mx zapisi kao 2x2 matricu i definiraj [tex]A\colon\mathbb R^3\to M_2(\mathbb R)[/tex] td. Ax=2x2 matrica koju si dobio kada si Mx vratio u 2x2 oblik.
Na kraju, provjeri da je tako definiran operator linearan i da salje kanonsku bazu od [tex]\mathbb R^3[/tex] u spomenute matrice.[/quote]
Hvala na odgovorima, valjda sam uspio. Ako slučajno ima netko da je to rješavao, zanimalo bi me koliko je r(A) i d(A)? Ja sam dobio r(A) = 2 i d(A) = 1.
Još 3. i 5.
3. Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i [tex] A \in L(V)[/tex]. Pokazite da je [tex]M = \{x \in V : Ax = x\}[/tex] potprostor od V . Nadalje, ako je [tex] V \ne {0}, A \ne 0[/tex] i ako vrijedi [tex]A^2 = A[/tex], pokazite da za taj potprostor M vrijedi dim M ≥ 1.
Mene muči ovaj drugi dio tj. da je dimenzija od M veća ili jednaka 1. Pošto je [tex] V \ne {0}, A \ne 0 \implies \exists x \in V[/tex] t.d. [tex]Ax = y \ne 0[/tex]. I sad s obzirom na djelovanje operatora A, [tex] A^2(x) = A(Ax) = Ax[/tex] , a to je po definiciji potprostora M njegov član, no nekako imam osjećaj da mi nedostaje nešto ispred, poslije i čak i u sredini u tom "dokazu".
5. Neka je f proizvoljan linearan funkcional na prostoru [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex]. Pokazite da postoji matrica [tex]A \in M_2(\mathbb{R})[/tex] takva da vrijedi [tex]f(X) = tr(XA); \forall X \in M_2(\mathbb{R})[/tex]
Znači:
[tex] f : M_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, A =\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix}, X =\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}[/tex]
[tex] f(x) = tr(XA) = tr(\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix}) = tr(\begin{bmatrix} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_3 & x_1\alpha_2 + x_2\alpha_4 \\ x_3\alpha_1 + x_4\alpha_3 & x_3\alpha_2 + x_4\alpha_4 \end{bmatrix}) = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_3 + x_3\alpha_2 + x_4\alpha_4[/tex]
Dalje ne znam. :?
| goranm (napisa): | Ax bi trebala biti 2x2 matrica, zar ne?
Nadji kako izgleda matrica M koja reprezentira A ako umjesto [tex]M_2(\mathbb R)[/tex] gledas [tex]\mathbb R^4[/tex] i nadji sto je Mx za proizvoljan x. Onda Mx zapisi kao 2x2 matricu i definiraj [tex]A\colon\mathbb R^3\to M_2(\mathbb R)[/tex] td. Ax=2x2 matrica koju si dobio kada si Mx vratio u 2x2 oblik.
Na kraju, provjeri da je tako definiran operator linearan i da salje kanonsku bazu od [tex]\mathbb R^3[/tex] u spomenute matrice. |
Hvala na odgovorima, valjda sam uspio. Ako slučajno ima netko da je to rješavao, zanimalo bi me koliko je r(A) i d(A)? Ja sam dobio r(A) = 2 i d(A) = 1.
Još 3. i 5.
3. Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i [tex] A \in L(V)[/tex]. Pokazite da je [tex]M = \{x \in V : Ax = x\}[/tex] potprostor od V . Nadalje, ako je [tex] V \ne {0}, A \ne 0[/tex] i ako vrijedi [tex]A^2 = A[/tex], pokazite da za taj potprostor M vrijedi dim M ≥ 1.
Mene muči ovaj drugi dio tj. da je dimenzija od M veća ili jednaka 1. Pošto je [tex] V \ne {0}, A \ne 0 \implies \exists x \in V[/tex] t.d. [tex]Ax = y \ne 0[/tex]. I sad s obzirom na djelovanje operatora A, [tex] A^2(x) = A(Ax) = Ax[/tex] , a to je po definiciji potprostora M njegov član, no nekako imam osjećaj da mi nedostaje nešto ispred, poslije i čak i u sredini u tom "dokazu".
5. Neka je f proizvoljan linearan funkcional na prostoru [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex]. Pokazite da postoji matrica [tex]A \in M_2(\mathbb{R})[/tex] takva da vrijedi [tex]f(X) = tr(XA); \forall X \in M_2(\mathbb{R})[/tex]
Znači:
[tex] f : M_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, A =\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix}, X =\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}[/tex]
[tex] f(x) = tr(XA) = tr(\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \alpha_3 & \alpha_4 \end{bmatrix}) = tr(\begin{bmatrix} x_1\alpha_1 + x_2\alpha_3 & x_1\alpha_2 + x_2\alpha_4 \\ x_3\alpha_1 + x_4\alpha_3 & x_3\alpha_2 + x_4\alpha_4 \end{bmatrix}) = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_3 + x_3\alpha_2 + x_4\alpha_4[/tex]
Dalje ne znam. 
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 0:20 pon, 18. 3. 2013 Naslov: |
|
|
|
3. Pretpostavi da je dim(M)=0. Kako je Ax=A(Ax) za svaki x, onda je Ax u M, za svaki x. Sto je onda Ax i u kojem je odnosu s [tex]A\neq 0[/tex]?
5. Linearni opearatori odredjeni su svojim djelovanjem na bazu. Raspisi sto je f(X) i usporedi s onim sto si dobio za tr(XA) (nije dobro odmah na pocetku napisati f(X)=tr(XA)=nesto. Upravo moras pokazati da prva jednakost vrijedi, tj. moras krenuti ili od f(X)=nesto ili od tr(XA)=nesto).
[spoiler]Neka je [tex](E_1,\dots, E_4)[/tex] kanonska baza za [tex]M_2(\mathbb R)[/tex].
Neka je [tex]X =\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}=x_1E_1+x_2E_2+x_3E_3+x_4E_4.[/tex]
Tada je [tex]f(X)=x_1f(E_1)+x_2f(E_2)+x_3f(E_3)+x_4f(E_4)=\text{tr}\left(\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f(E_1) & f(E_3) \\ f(E_2) & f(E_4) \end{bmatrix}\right).[/tex][/spoiler]
3. Pretpostavi da je dim(M)=0. Kako je Ax=A(Ax) za svaki x, onda je Ax u M, za svaki x. Sto je onda Ax i u kojem je odnosu s [tex]A\neq 0[/tex]?
5. Linearni opearatori odredjeni su svojim djelovanjem na bazu. Raspisi sto je f(X) i usporedi s onim sto si dobio za tr(XA) (nije dobro odmah na pocetku napisati f(X)=tr(XA)=nesto. Upravo moras pokazati da prva jednakost vrijedi, tj. moras krenuti ili od f(X)=nesto ili od tr(XA)=nesto).
| Spoiler [hidden; click to show]: | Neka je [tex](E_1,\dots, E_4)[/tex] kanonska baza za [tex]M_2(\mathbb R)[/tex].
Neka je [tex]X =\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}=x_1E_1+x_2E_2+x_3E_3+x_4E_4.[/tex]
Tada je [tex]f(X)=x_1f(E_1)+x_2f(E_2)+x_3f(E_3)+x_4f(E_4)=\text{tr}\left(\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f(E_1) & f(E_3) \\ f(E_2) & f(E_4) \end{bmatrix}\right).[/tex] |
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
Shirohige
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 11. 2012. (20:19:56)
Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
