Produkt relativno prostih brojeva je potpuni kvadrat...

[Matematicar]

Imam jedno pitanje.
Trebao bi mi dokaz vezan za teoremu: ako je proizvod dva relativno prosta broja jednak kvadratu nekog prirodnog broja da su onda i sami ti brojevi kvadrati prirodnih brojeva.
Molim vas da mi odgovorite, jer nema nigdje ovog dokaz.
Hvala!

[vsego]

Neka su

[dtex]a = \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i} \quad \text{i} \quad b = \prod_{i=1}^n q_i^{\beta_i}[/dtex]

rastavi na proste faktore relativno prostih brojeva [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Posto su [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] relativno prosti,

[dtex]\forall i,j: \quad p_i \ne q_j.\tag{*}[/dtex]

No, znamo da je njihov produkt

[dtex]ab = \left( \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i} \right) \left( \prod_{i=1}^n q_i^{\beta_i} \right)[/dtex]

potpuni kvadrat nekog prirodnog broja, sto znaci da su svi [tex]\alpha_i[/tex] i [tex]\beta_i[/tex] parni (da ne vrijedi [tex](*)[/tex], ovo ne bismo mogli zakljuciti), sto znaci da su svi [tex]\alpha_i/2[/tex] i [tex]\beta_i/2[/tex] prirodni brojevi, pa vrijedi:

[dtex]a = \left( \prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i/2} \right)^2 \quad \text{i} \quad b = \left( \prod_{i=1}^n q_i^{\beta_i/2} \right)^2,[/dtex]

sto znaci da su [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] potpuni kvadrati prirodnih brojeva [tex]\prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i/2}[/tex] i [tex]\prod_{i=1}^n q_i^{\beta_i/2}[/tex], respektivno.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.