Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

zadaci
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2, 3, 4, 5  Sljedeće
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 19:45 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="stara"]
Još bih zamolila nekoga za rješenje zadnjeg zadatka druge grupe u kolokviju iz 2008:

http://web.math.pmf.unizg.hr/~veky/B/TS.k2z.08-07-02.pdf[/quote]


Neka je [tex]A[/tex] proizvoljan beskonačan skup i neka je [tex]S \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{\mathcal{K}\mid \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P}(A) \land (\forall X\in\mathcal{K})(A\setminus X\in\mathcal{K}) \land (\forall X\in\mathcal{K})(\forall Y\in\mathcal{K})(X\cup Y\in\mathcal{K})\land (\forall X\in\mathcal{K})(\mathop{\mathrm{card}}X\geqslant \aleph_0)\}[/tex]. Treba dokazati postojanje maksimalnog elementa u parcijalno uređenom skupu [tex](S,\subset)[/tex].

Kao prvo, uočimo da je [tex]S\not=\emptyset[/tex], jer je [tex]\emptyset\in S[/tex].

Neka je sada [tex]\mathcal{C}[/tex] proizvoljan neoprazan lanac u [tex]S[/tex]. Označimo [tex]\mathcal{G}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bigcup\mathcal{C}[/tex].

Očito vrijedi [tex](\forall\mathcal{K}\in\mathcal{C})(\mathcal{K}\subseteq\mathcal{G})[/tex]. Ako dokažemo da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex], dokazali smo da [tex]\mathcal{C}[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex].

Neka su [tex]X, Y\in\mathcal{G}[/tex] proizvoljni. Kako je [tex]X\in\bigcup\mathcal{C}[/tex], vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_x\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]X\in\mathcal{K}_x[/tex]. Analogno vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_y\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]Y\in\mathcal{K}_y[/tex].

Kako je [tex]\mathcal{C}[/tex] lanac, vidimo da vrijedi [tex]\mathcal{K}_x\subseteq\mathcal{K}_y[/tex] ili [tex]\mathcal{K}_y\subseteq\mathcal{K}_x[/tex]. Definirajmo [tex]\mathcal{K}_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathcal{K}_x\cup\mathcal{K}_y[/tex] i uočimo da vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0[/tex] i [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}[/tex].

Kako bi dokazali da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex] trebamo provjeriti tri stvari.

1. Vrijedi li [tex]A\setminus X\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora biti i [tex]A\setminus X\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

2. Vrijedi li [tex]X\cup Y\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora vrijediti i [tex]X\cup Y\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

3. Da li je [tex]X[/tex] beskonačan?
Znamo da je [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], pa p definiciji skupa [tex]S[/tex] svi elementi od [tex]\mathcal{K}_0[/tex] moraju biti beskonačni. Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0[/tex], vidimo da je [tex]X[/tex] beskonačan skup.

Ovim smo dokazali da svaki lanac u [tex]S[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex], pa iz Zornove leme slijedi da [tex]S[/tex] ima maksimalni element.
stara (napisa):

Još bih zamolila nekoga za rješenje zadnjeg zadatka druge grupe u kolokviju iz 2008:

http://web.math.pmf.unizg.hr/~veky/B/TS.k2z.08-07-02.pdf



Neka je [tex]A[/tex] proizvoljan beskonačan skup i neka je [tex]S \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{\mathcal{K}\mid \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P}(A) \land (\forall X\in\mathcal{K})(A\setminus X\in\mathcal{K}) \land (\forall X\in\mathcal{K})(\forall Y\in\mathcal{K})(X\cup Y\in\mathcal{K})\land (\forall X\in\mathcal{K})(\mathop{\mathrm{card}}X\geqslant \aleph_0)\}[/tex]. Treba dokazati postojanje maksimalnog elementa u parcijalno uređenom skupu [tex](S,\subset)[/tex].

Kao prvo, uočimo da je [tex]S\not=\emptyset[/tex], jer je [tex]\emptyset\in S[/tex].

Neka je sada [tex]\mathcal{C}[/tex] proizvoljan neoprazan lanac u [tex]S[/tex]. Označimo [tex]\mathcal{G}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bigcup\mathcal{C}[/tex].

Očito vrijedi [tex](\forall\mathcal{K}\in\mathcal{C})(\mathcal{K}\subseteq\mathcal{G})[/tex]. Ako dokažemo da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex], dokazali smo da [tex]\mathcal{C}[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex].

Neka su [tex]X, Y\in\mathcal{G}[/tex] proizvoljni. Kako je [tex]X\in\bigcup\mathcal{C}[/tex], vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_x\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]X\in\mathcal{K}_x[/tex]. Analogno vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_y\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]Y\in\mathcal{K}_y[/tex].

Kako je [tex]\mathcal{C}[/tex] lanac, vidimo da vrijedi [tex]\mathcal{K}_x\subseteq\mathcal{K}_y[/tex] ili [tex]\mathcal{K}_y\subseteq\mathcal{K}_x[/tex]. Definirajmo [tex]\mathcal{K}_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathcal{K}_x\cup\mathcal{K}_y[/tex] i uočimo da vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0[/tex] i [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}[/tex].

Kako bi dokazali da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex] trebamo provjeriti tri stvari.

1. Vrijedi li [tex]A\setminus X\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora biti i [tex]A\setminus X\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

2. Vrijedi li [tex]X\cup Y\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora vrijediti i [tex]X\cup Y\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

3. Da li je [tex]X[/tex] beskonačan?
Znamo da je [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], pa p definiciji skupa [tex]S[/tex] svi elementi od [tex]\mathcal{K}_0[/tex] moraju biti beskonačni. Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0[/tex], vidimo da je [tex]X[/tex] beskonačan skup.

Ovim smo dokazali da svaki lanac u [tex]S[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex], pa iz Zornove leme slijedi da [tex]S[/tex] ima maksimalni element.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aptx
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2013. (00:15:01)
Postovi: (15)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 21:33 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? :?
http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? Confused


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 21:43 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="aptx"]http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? :?[/quote]

[tex]\mathop{\mathrm{rng}}X[/tex] - slika relacije [tex]X[/tex]

[tex]\sup_{yXm}y[/tex] je pokrata za [tex]\sup\{y\mid yXm\}[/tex], pri čemu je [tex]yXm[/tex] pokrata za [tex](y,m)\in X[/tex].
aptx (napisa):
http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? Confused


[tex]\mathop{\mathrm{rng}}X[/tex] - slika relacije [tex]X[/tex]

[tex]\sup_{yXm}y[/tex] je pokrata za [tex]\sup\{y\mid yXm\}[/tex], pri čemu je [tex]yXm[/tex] pokrata za [tex](y,m)\in X[/tex].



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 22:08 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex]
Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 22:24 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="aj_ca_volin_te"]Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex][/quote]

[tex]\omega+ \omega^2 = \omega\cdot 1 + \omega\cdot\omega = \omega\cdot(1+\omega) = \omega\cdot\omega=\omega^2[/tex]

Preostaje pedantno dokazati da je [tex]1+\omega = \omega[/tex] i lijevu distributivnost množenja prema zbrajanju, no to vjerojatno znaš napraviti. :wink:
aj_ca_volin_te (napisa):
Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex]


[tex]\omega+ \omega^2 = \omega\cdot 1 + \omega\cdot\omega = \omega\cdot(1+\omega) = \omega\cdot\omega=\omega^2[/tex]

Preostaje pedantno dokazati da je [tex]1+\omega = \omega[/tex] i lijevu distributivnost množenja prema zbrajanju, no to vjerojatno znaš napraviti. Wink



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 22:29 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala mdoko, u moje i Zenonovo ime :D
Hvala mdoko, u moje i Zenonovo ime Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
stara
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 02. 2014. (15:27:38)
Postovi: (4)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 23:27 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Moze li pomoc sa ovim zadatkom?

Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"
Moze li pomoc sa ovim zadatkom?

Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 23:40 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="stara"]Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"[/quote]
Prodskupovi dobro uređenih skupova su i sami dobro uređeni s obzirom na naslijeđenu relaciju uređaja. To znači da su slični ordinalima. Ako je dobro uređen skup [tex]a[/tex] početni komad dobro uređenog skupa [tex]b[/tex], onda je [tex]\mathrm{Ord}(a)\in \mathrm{Ord}(b)[/tex], pri čemu [tex]\mathrm{Ord}(x)[/tex] označava ordinalni broj dobro uređenog skupa [tex]x[/tex]. U slučaju da postoji familija podskupova od [tex]X[/tex] koja s obzirom na "biti početni komad" nema najmanji element, onda u toj familiji postoji lanac bez najmanjeg elementa. Taj lanac nam direktno daje skup ordinala bez najmanjeg elementa, što je nemoguće.
stara (napisa):
Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"

Prodskupovi dobro uređenih skupova su i sami dobro uređeni s obzirom na naslijeđenu relaciju uređaja. To znači da su slični ordinalima. Ako je dobro uređen skup [tex]a[/tex] početni komad dobro uređenog skupa [tex]b[/tex], onda je [tex]\mathrm{Ord}(a)\in \mathrm{Ord}(b)[/tex], pri čemu [tex]\mathrm{Ord}(x)[/tex] označava ordinalni broj dobro uređenog skupa [tex]x[/tex]. U slučaju da postoji familija podskupova od [tex]X[/tex] koja s obzirom na "biti početni komad" nema najmanji element, onda u toj familiji postoji lanac bez najmanjeg elementa. Taj lanac nam direktno daje skup ordinala bez najmanjeg elementa, što je nemoguće.



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 18:47 sub, 15. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.

Unaprijed Hvala! :wink:
Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.

Unaprijed Hvala! Wink


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 18:56 sub, 15. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="aj_ca_volin_te"]Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.[/quote]
[latex]\mathbb{R}=\bigcup\limits_{x\in[0,1\rangle}(x+\mathbb{Z})[/latex]
aj_ca_volin_te (napisa):
Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.




_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 19:06 sub, 15. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="mdoko"][quote="aj_ca_volin_te"]Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.[/quote]
[latex]\mathbb{R}=\bigcup\limits_{x\in[0,1\rangle}(x+\mathbb{Z})[/latex][/quote]

Hvala puno mdoko! :thankyou: taman sam ga i ja skuzio pa da cu ga pretipkati ovdje :D
mdoko (napisa):
aj_ca_volin_te (napisa):
Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.



Hvala puno mdoko! Thank you taman sam ga i ja skuzio pa da cu ga pretipkati ovdje Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 19:20 ned, 16. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[tex]A\setminus(B\cup C)\cup(A\cap C)\setminus B[/tex]
-dali su neke operacije "van zagrada" prioritetnije u odnosu na druge ili idem laganini po redu sljeva na desno?
[tex]A\setminus(B\cup C)\cup(A\cap C)\setminus B[/tex]
-dali su neke operacije "van zagrada" prioritetnije u odnosu na druge ili idem laganini po redu sljeva na desno?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
angelika
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 1

PostPostano: 19:33 uto, 18. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Jesu li QxN i QxZ slični? Meni se čini mi da nisu, ali nisam sigurna
Jesu li QxN i QxZ slični? Meni se čini mi da nisu, ali nisam sigurna


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 19:47 uto, 18. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

ako gledas popravni iz 2012 uređene [b]antileksikografski[/b] oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su ;)
ako gledas popravni iz 2012 uređene antileksikografski oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su Wink


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
angelika
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 3 - 1

PostPostano: 22:03 uto, 18. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="aj_ca_volin_te"]ako gledas popravni iz 2012 uređene [b]antileksikografski[/b] oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su ;)[/quote]

ajme da #-o hvala ti :)
aj_ca_volin_te (napisa):
ako gledas popravni iz 2012 uređene antileksikografski oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su Wink


ajme da d'oh! hvala ti Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 22:12 sri, 19. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Plzz netko :lol: pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija :D

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].

[tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

[tex]\Rightarrow k(S)\leq k(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R}))=2^{c}[/tex]

ugl sada mi je problem kako da konstruiram injekciju iz [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] u [tex]S[/tex] :x
Plzz netko Laughing pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija Very Happy

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].

[tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

[tex]\Rightarrow k(S)\leq k(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R}))=2^{c}[/tex]

ugl sada mi je problem kako da konstruiram injekciju iz [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] u [tex]S[/tex] Mad


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 14:17 čet, 20. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="aj_ca_volin_te"]Plzz netko :lol: pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija :D

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].
[/quote]

Ovo [b]ne[/b] vrijedi: [tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

Razlog: relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] je podskup od [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex], odnosno element od [tex]\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex], prema tome: [tex]S \subseteq \mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex].


Slijedi rješenje zadatka, no prije toga mali [i]disclaimer[/i]: Budući da je zadatak malo teži, neću raspisivati sve detalje, nego ću za neke manje-više očite stvari reći da se lako vidi, pa promisli zašto se lako vidi. :wink: Osim toga, kada mi zatreba skup neke kardinalnosti, umjesto da kažem npr. "uzmimo prozivoljni skup kardinalnosti [tex]2^\mathfrak{c}[/tex]", jednostavno ću uzeti baš [tex]2^\mathfrak{c}[/tex] jer je to sasvim dobar skup odgovarajuće kardinalnosti, pa time izbjegavam uvođenje dodatnih oznaka u raspis koji će ionako izgledati kao da je prepun hijeroglifa.

Trebamo odrediti kardinalnost skupa [tex]S=\{\rho\mid\rho\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\land\mathop{\mathrm{card}}\rho=\aleph_0\}[/tex]. Lako se vidi da nije bitno čega je točno [tex]\rho[/tex] podskup, nego nam je samo bitna kardinalnost tog skupa. Prema tome, za skup [tex]S'=\{X\mid X\subseteq 2^\mathfrak{c} \land \mathop{\mathrm{card}}X=\aleph_0\}[/tex] vrijedi [tex]S\sim S'[/tex].

Prebrojive podskupove možemo promatrati kao injektivne slike prebrojivih skupova. Definirajmo stoga skup [tex]S''=\{f\mid f\colon\aleph_0\to 2^\mathfrak{c} \land f \text{ je injekcija}\}[/tex]. Uočimo da je preslikavanje [tex]f\mapsto\mathop{\mathrm{rng}}f[/tex] surjekcija sa [tex]S''[/tex] na [tex]S'[/tex], što nam daje [tex] \mathop{\mathrm{card}}S'\leqslant \mathop{\mathrm{card}} S''[/tex]. Kako je [tex]S''\subseteq {}^{\aleph_0}{\left(2^\mathfrak{c}\right)}[/tex], vidimo da vrijedi i [tex]\mathop{\mathrm{card}}S''\leqslant \left(2^\mathfrak{c}\right)^{\aleph_0}=2^\mathfrak{c}[/tex]. Ovim smo dobili gornju ogradu na kardinalnost od [tex]S'[/tex]: [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' \leqslant 2^\mathfrak{c}[/tex].

Kako bismo dobili i donju ogradu, promotrimo funkciju [tex]\Phi\colon 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\to S'[/tex] koja proizvoljnom ordinalu [tex]\alpha\in2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0[/tex] pridružuje skup [tex]\Phi(\alpha) \mathop{:=} \aleph_0\cup\{\alpha\}[/tex]. Očito vrijedi [tex]\mathop{\mathrm{card}}\left(\Phi(\alpha)\right) = \aleph_0[/tex], pa je prema tome [tex]\Phi(\alpha)[/tex] uistinu element skupa [tex]S'[/tex], odnosno funkcija [tex]\Phi[/tex] je dobro definirana. Injektivnost funkcije [tex]\Phi[/tex] trivijalno slijedi iz definicije, što znači da vrijedi [tex]2^\mathfrak{c} = \mathop{\mathrm{card}}\left( 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\right) \leqslant \mathop{\mathrm{card}} S'[/tex].

Ovim smo dokazali da je [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' = 2^{\mathfrak{c}}[/tex], a zbog ekvipotentnosti skupova [tex]S[/tex] i [tex]S'[/tex] očito je i [tex]\mathop{\mathrm{card}} S = 2^{\mathfrak{c}}[/tex].
aj_ca_volin_te (napisa):
Plzz netko Laughing pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija Very Happy

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].


Ovo ne vrijedi: [tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

Razlog: relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] je podskup od [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex], odnosno element od [tex]\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex], prema tome: [tex]S \subseteq \mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex].


Slijedi rješenje zadatka, no prije toga mali disclaimer: Budući da je zadatak malo teži, neću raspisivati sve detalje, nego ću za neke manje-više očite stvari reći da se lako vidi, pa promisli zašto se lako vidi. Wink Osim toga, kada mi zatreba skup neke kardinalnosti, umjesto da kažem npr. "uzmimo prozivoljni skup kardinalnosti [tex]2^\mathfrak{c}[/tex]", jednostavno ću uzeti baš [tex]2^\mathfrak{c}[/tex] jer je to sasvim dobar skup odgovarajuće kardinalnosti, pa time izbjegavam uvođenje dodatnih oznaka u raspis koji će ionako izgledati kao da je prepun hijeroglifa.

Trebamo odrediti kardinalnost skupa [tex]S=\{\rho\mid\rho\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\land\mathop{\mathrm{card}}\rho=\aleph_0\}[/tex]. Lako se vidi da nije bitno čega je točno [tex]\rho[/tex] podskup, nego nam je samo bitna kardinalnost tog skupa. Prema tome, za skup [tex]S'=\{X\mid X\subseteq 2^\mathfrak{c} \land \mathop{\mathrm{card}}X=\aleph_0\}[/tex] vrijedi [tex]S\sim S'[/tex].

Prebrojive podskupove možemo promatrati kao injektivne slike prebrojivih skupova. Definirajmo stoga skup [tex]S''=\{f\mid f\colon\aleph_0\to 2^\mathfrak{c} \land f \text{ je injekcija}\}[/tex]. Uočimo da je preslikavanje [tex]f\mapsto\mathop{\mathrm{rng}}f[/tex] surjekcija sa [tex]S''[/tex] na [tex]S'[/tex], što nam daje [tex] \mathop{\mathrm{card}}S'\leqslant \mathop{\mathrm{card}} S''[/tex]. Kako je [tex]S''\subseteq {}^{\aleph_0}{\left(2^\mathfrak{c}\right)}[/tex], vidimo da vrijedi i [tex]\mathop{\mathrm{card}}S''\leqslant \left(2^\mathfrak{c}\right)^{\aleph_0}=2^\mathfrak{c}[/tex]. Ovim smo dobili gornju ogradu na kardinalnost od [tex]S'[/tex]: [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' \leqslant 2^\mathfrak{c}[/tex].

Kako bismo dobili i donju ogradu, promotrimo funkciju [tex]\Phi\colon 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\to S'[/tex] koja proizvoljnom ordinalu [tex]\alpha\in2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0[/tex] pridružuje skup [tex]\Phi(\alpha) \mathop{:=} \aleph_0\cup\{\alpha\}[/tex]. Očito vrijedi [tex]\mathop{\mathrm{card}}\left(\Phi(\alpha)\right) = \aleph_0[/tex], pa je prema tome [tex]\Phi(\alpha)[/tex] uistinu element skupa [tex]S'[/tex], odnosno funkcija [tex]\Phi[/tex] je dobro definirana. Injektivnost funkcije [tex]\Phi[/tex] trivijalno slijedi iz definicije, što znači da vrijedi [tex]2^\mathfrak{c} = \mathop{\mathrm{card}}\left( 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\right) \leqslant \mathop{\mathrm{card}} S'[/tex].

Ovim smo dokazali da je [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' = 2^{\mathfrak{c}}[/tex], a zbog ekvipotentnosti skupova [tex]S[/tex] i [tex]S'[/tex] očito je i [tex]\mathop{\mathrm{card}} S = 2^{\mathfrak{c}}[/tex].



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
aj_ca_volin_te
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 11. 2011. (20:18:49)
Postovi: (6F)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 22 - 2

PostPostano: 17:14 čet, 20. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Bomee nisam se bas nadao da ce ovo biti ovako divlje :P ali sve je jasno ;)
...ovo zasluzuje vise od la pohvale koju cu opet morati dati na nekom drugom postu :D ....ako bude prilike imate :pivca: od mene :D

Hvala puno mdoko :D
Bomee nisam se bas nadao da ce ovo biti ovako divlje Razz ali sve je jasno Wink
...ovo zasluzuje vise od la pohvale koju cu opet morati dati na nekom drugom postu Very Happy ....ako bude prilike imate Malo pivce za zivce od mene Very Happy

Hvala puno mdoko Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 18:43 ned, 7. 12. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da li je netko možda rješavao 143. zadatak iz skripte?
Da li je netko možda rješavao 143. zadatak iz skripte?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Loo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
84 = 85 - 1

PostPostano: 19:47 ned, 7. 12. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Koji dio te točno muči?
Ukratko ću ispričati rješenje pa reci što treba detaljnije :)
[tex]A[/tex] su zapravo nekonstantni polinomi (tj. polinomi stupnja barem 1) jedne varijable s koeficijentima u [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Relacija je irefleksivna jer množenjem nekog takvog polinoma s nečim stupnja barem 1 ne možeš nikad dobiti njega samog.
Tranzitivna je jer je umnožak polinoma iz [tex]A[/tex], opet u [tex]A[/tex]. (samo raspiši po definiciji [tex]\prec[/tex])
Nije linearni uređaj jer npr bilo koja dva različita polinoma istog stupnja nisu usporedivi.
Uzmi npr. [tex]p(x)=x+1, q(x)=x+2[/tex]. Ne možeš pomnožiti niti jedan od njih s nečim iz [tex]A[/tex] i dobiti ovaj drugi.
Koji dio te točno muči?
Ukratko ću ispričati rješenje pa reci što treba detaljnije Smile
[tex]A[/tex] su zapravo nekonstantni polinomi (tj. polinomi stupnja barem 1) jedne varijable s koeficijentima u [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Relacija je irefleksivna jer množenjem nekog takvog polinoma s nečim stupnja barem 1 ne možeš nikad dobiti njega samog.
Tranzitivna je jer je umnožak polinoma iz [tex]A[/tex], opet u [tex]A[/tex]. (samo raspiši po definiciji [tex]\prec[/tex])
Nije linearni uređaj jer npr bilo koja dva različita polinoma istog stupnja nisu usporedivi.
Uzmi npr. [tex]p(x)=x+1, q(x)=x+2[/tex]. Ne možeš pomnožiti niti jedan od njih s nečim iz [tex]A[/tex] i dobiti ovaj drugi.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2, 3, 4, 5  Sljedeće
Stranica 4 / 5.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan