| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
purist
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 09. 2011. (23:16:53)
Postovi: (18)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
moni_poni
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 01. 2010. (19:48:19)
Postovi: (49)16
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: 
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
 Postano: 13:16 pon, 9. 12. 2013 Naslov: |
    |
|
|
[quote="moni_poni"]Može li netko dokazati sa str.40. propoziciju 1.54. (bilo koju tvdnju)?
http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/Diplomski-kolegiji/TS/TS-skripta-2013.pdf[/quote]
Neka je [tex]a = \mathop{\mathrm{card}} A[/tex], [tex]b = \mathop{\mathrm{card}} B[/tex] i [tex]c = \mathop{\mathrm{card}} C[/tex]. Dokažimo da vrijedi [tex]a^b\cdot a^c = a^{b+c}[/tex].
Iz definicija aritmetičkih operacija nad kardinalnim brojevima, imamo ([color=red]ako ti ovo nije očito, raspiši[/color]) [tex]a^b\cdot a^c = \mathop{\mathrm{card}}\left( {}^BA \times {}^CA \right)[/tex] i [tex]a^{b+c} = \mathop{\mathrm{card}} \left( {}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A \right)[/tex].
Da dokažemo traženu jednakost, dovoljno je dokazati postojanje bijekcije među skupovima [tex]\left( {}^BA \times {}^CA \right)[/tex] i [tex]{}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A[/tex]. Jedna takva bijekcija je ([color=red]uvjeri se da se uistinu radi o bijekciji[/color]):
[tex] \Phi\colon \left( {}^BA \times {}^CA \right) \to {}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A [/tex], pri čemu je za proizvoljne funkcije [tex]f\colon B\to A[/tex] i [tex]g\colon C\to A[/tex], te proizvoljne [tex]x\in B\cup C[/tex] i [tex]i \in \{0,1\}[/tex], [tex]\left(\Phi(f,g)\right)(x,i)=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & \textrm{ako je} & i=0 \\ g(x) & \textrm{ako je} &i=1\end{array}\right.[/tex].
(Uoči da je [tex]\Phi[/tex] funkcija koja paru funkcija [tex](f\colon B\to A,g\colon C\to A)[/tex] pridružuje funkciju [tex]h\colon(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})\to A[/tex].)
Neka je [tex]a = \mathop{\mathrm{card}} A[/tex], [tex]b = \mathop{\mathrm{card}} B[/tex] i [tex]c = \mathop{\mathrm{card}} C[/tex]. Dokažimo da vrijedi [tex]a^b\cdot a^c = a^{b+c}[/tex].
Iz definicija aritmetičkih operacija nad kardinalnim brojevima, imamo (ako ti ovo nije očito, raspiši) [tex]a^b\cdot a^c = \mathop{\mathrm{card}}\left( {}^BA \times {}^CA \right)[/tex] i [tex]a^{b+c} = \mathop{\mathrm{card}} \left( {}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A \right)[/tex].
Da dokažemo traženu jednakost, dovoljno je dokazati postojanje bijekcije među skupovima [tex]\left( {}^BA \times {}^CA \right)[/tex] i [tex]{}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A[/tex]. Jedna takva bijekcija je (uvjeri se da se uistinu radi o bijekciji):
[tex] \Phi\colon \left( {}^BA \times {}^CA \right) \to {}^{(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})}A [/tex], pri čemu je za proizvoljne funkcije [tex]f\colon B\to A[/tex] i [tex]g\colon C\to A[/tex], te proizvoljne [tex]x\in B\cup C[/tex] i [tex]i \in \{0,1\}[/tex], [tex]\left(\Phi(f,g)\right)(x,i)=\left\{\begin{array}{ccc} f(x) & \textrm{ako je} & i=0 \\ g(x) & \textrm{ako je} &i=1\end{array}\right.[/tex].
(Uoči da je [tex]\Phi[/tex] funkcija koja paru funkcija [tex](f\colon B\to A,g\colon C\to A)[/tex] pridružuje funkciju [tex]h\colon(B\times\{0\})\cup(C\times\{1\})\to A[/tex].)
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
moni_poni
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 01. 2010. (19:48:19)
Postovi: (49)16
|
|
| [Vrh] |
|
moni_poni
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 01. 2010. (19:48:19)
Postovi: (49)16
|
|
| [Vrh] |
|
Loo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol:
|
| Postano: 21:53 uto, 7. 1. 2014 Naslov: |
|
|
|
Označimo da je [latex]F(x_1)=\sup S_1, \; F(x_2)=\sup S_2 [/latex].
Budući da je [latex]A[/latex] gust u [latex]B[/latex] i [latex]x_1\prec x_2[/latex], postoji [latex]a\in A[/latex] t.d. [latex]x_1 \prec a \prec x_2[/latex].
Sad je [latex]f(a) \in S_2 \; \Rightarrow f(a)\leq F(x_2)[/latex].
Zbog [latex]x_1 \prec a[/latex] i činjenice da za [latex]f(a') \in S_1[/latex] vrijedi [latex]a'\preceq x \prec a[/latex], a [latex]f[/latex] je injekcija koja čuva uređaj, imamo [latex]f(a')< f(a)[/latex], za sve [latex]f(a') \in S_1[/latex].
Pa onda budući da je supremum najmanja gornja međa, mora biti [latex]F(x_1)\leq f(a)[/latex].
Sad ćemo pokazati da vrijedi stroga nejednakost.
Pretpostavimo suprotno, da je [latex]F(x_1)=f(a)[/latex].
Zbog [latex]x_1 \prec a[/latex], postoji [latex]b \in A[/latex] t.d. [latex]x_1 \prec b \prec a[/latex].
Onda je i [latex]f(b)<f(a)[/latex], i isto kao i gore za [latex]f(a)[/latex], dobijemo da je i [latex]f(b)[/latex] gornja međa za [latex]S_1[/latex] što je kontradikcija s pretpostavkom da je [latex]f(a)[/latex] supremum od [latex]S_1[/latex].
Znači vrijedi [latex]F(x_1)<f(a)[/latex] i [latex]f(a) \leq F(x_2)[/latex] pa je [latex]F(x_1)<F(x_2)[/latex].
Označimo da je  .
Budući da je  gust u  i  , postoji  t.d.  .
Sad je  .
Zbog  i činjenice da za  vrijedi  , a  je injekcija koja čuva uređaj, imamo  , za sve .
Pa onda budući da je supremum najmanja gornja međa, mora biti  .
Sad ćemo pokazati da vrijedi stroga nejednakost.
Pretpostavimo suprotno, da je  .
Zbog , postoji  t.d.  .
Onda je i  , i isto kao i gore za  , dobijemo da je i  gornja međa za  što je kontradikcija s pretpostavkom da je supremum od .
Znači vrijedi  i  pa je  .
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
malisputnik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 09. 2013. (08:43:21)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
malisputnik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 09. 2013. (08:43:21)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
malisputnik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 09. 2013. (08:43:21)
Postovi: (31)16
|
| Postano: 13:54 uto, 4. 2. 2014 Naslov: |
|
|
|
[quote="ja666"]Ma dosta bi bilo samo zadnja dva predavanja ako moze?[/quote]
Na ta zadnja dva smo radili aksiomatsku toeriju.
Pretzadnje predavanje:
Def: induktivan, prirodan, aksiom beskonacnosti,
Teorem matematicke induckije, prop: svaki prirodan broj je tranzitivan. skup w je tranzitivan + dokaz, dedekindov ™ rekurzije.
Zadnje:
Definicije cijelih i racionalnih brojeva.
def ordinalni broj, relacija uredaja, prve i druge vrste
lema : ako je l i b ordinali, b e l, tada b - p_l(b) + dokaz
lema: ako je l slicno s b tada l = b + dokaz
prop: linearnost uredaja na ordinalima + dokaz
teorem enumeracije + dokaz (to pita za 4 i 5)
burali fostijev paradoks
prop: l u{l} je ordinal + dokaz
prop: svojstva zbrajana, potenciranja
prop sa sup i inf ordinala (dokaz doma)
KArdinali:
def kardinala, kardinalnog broja skupa A, def +, * i ^ kardinala
zermelov ™ o dobrom uredaju
™: za svaki kardinal l < 2^l
aksiom izbora
™: svaki beskonavni kardinalni broj je granicni ordinalni (dokaz doma)
™ koje su tvrdnje ekvivalentne s aksiomom izbora
| ja666 (napisa): | | Ma dosta bi bilo samo zadnja dva predavanja ako moze? |
Na ta zadnja dva smo radili aksiomatsku toeriju.
Pretzadnje predavanje:
Def: induktivan, prirodan, aksiom beskonacnosti,
Teorem matematicke induckije, prop: svaki prirodan broj je tranzitivan. skup w je tranzitivan + dokaz, dedekindov ™ rekurzije.
Zadnje:
Definicije cijelih i racionalnih brojeva.
def ordinalni broj, relacija uredaja, prve i druge vrste
lema : ako je l i b ordinali, b e l, tada b - p_l(b) + dokaz
lema: ako je l slicno s b tada l = b + dokaz
prop: linearnost uredaja na ordinalima + dokaz
teorem enumeracije + dokaz (to pita za 4 i 5)
burali fostijev paradoks
prop: l u{l} je ordinal + dokaz
prop: svojstva zbrajana, potenciranja
prop sa sup i inf ordinala (dokaz doma)
KArdinali:
def kardinala, kardinalnog broja skupa A, def +, * i ^ kardinala
zermelov ™ o dobrom uredaju
™: za svaki kardinal l < 2^l
aksiom izbora
™: svaki beskonavni kardinalni broj je granicni ordinalni (dokaz doma)
™ koje su tvrdnje ekvivalentne s aksiomom izbora
|
|
| [Vrh] |
|
ja666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2011. (12:28:42)
Postovi: (56)16
|
|
| [Vrh] |
|
jabuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 11. 2009. (15:53:14)
Postovi: (7C)16
|
|
| [Vrh] |
|
malisputnik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 09. 2013. (08:43:21)
Postovi: (31)16
|
|
| [Vrh] |
|
jabuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 11. 2009. (15:53:14)
Postovi: (7C)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
