Laplaceova transformacija, rastav na parcijalne razlommke

[manijak]

evo ovaj zadnji red
kolko sam ja skužio gore tiskanim slovom ide polinom nižeg stupnja, ali sad ne znam šta iznad s^2 ide? ponudio sam 3 opcije koje mislim da idu

[Gergonne]

U brojniku treba pisati samo konstanta (A). Naime, vrijedi:

(A*s+B)/s^2 = (A*s)/s^2 + B/s^2 = A/s + B/s^2.

Razlomci A/s i C/s imaju iste nazivnike, pa njihovim zbrajanjem dobijemo razlomak (A+C)/s. Označimo li E := A + C, slijedi:

(-1-s)/(s^2*(s+2)) = B/s^2 + E/s + D/(s+2).

Taj rastav je, do na oznake konstanti, jednak rastavu A/s^2 + C/s + D/(s+2).

Množenjem navedene jednakosti s s^2*(s+2) i izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije od s dobije se:

B = -1/2, E = -1/4, D = 1/4,

odnosno

(-1-s)/(s^2*(s+2)) = -1/(2*s^2) - 1/(4*s) + 1/(4*(s+2)).

Primjenom inverza Laplaceove transformacije dobije se:

y = 1/4*exp(-2*x) - 1/2*x - 1/4.

HTH