Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadatci za drugi kolokvij (zadatak)
WWW:
Idite na 1, 2  Sljedeće
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
student_92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
Sarma = la pohva - posuda
10 = 16 - 6

PostPostano: 16:17 pon, 20. 1. 2014    Naslov: Zadatci za drugi kolokvij Citirajte i odgovorite

Pozdrav, otvaram novu temu radi preglednosti.

U četvrtom zadatku iz [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2011-12/2_kol_11_12.pdf]kolokvija 2012.[/url], [b]postoji li elegantniji način[/b] da nađem ONB u kojoj se operator dijagonalizira osim toga da nađem bazu u kojoj se dijagonalizira pa da onda nju ortonormiram? Taj postupak je u ovom slučaju relativno dug, a osobito ako se uzme u obzir činjenica da je to samo jedan od 7 zadataka. Trenutno mi ne pada ništa pamentnije na pamet.
Pozdrav, otvaram novu temu radi preglednosti.

U četvrtom zadatku iz kolokvija 2012., postoji li elegantniji način da nađem ONB u kojoj se operator dijagonalizira osim toga da nađem bazu u kojoj se dijagonalizira pa da onda nju ortonormiram? Taj postupak je u ovom slučaju relativno dug, a osobito ako se uzme u obzir činjenica da je to samo jedan od 7 zadataka. Trenutno mi ne pada ništa pamentnije na pamet.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
matkec
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29)
Postovi: (8C)16
Sarma = la pohva - posuda
34 = 36 - 2

PostPostano: 19:14 pon, 20. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nemam pametniji način, ali svejedno imam dobre vijesti.

Naime, nešto što skraćuje posao je činjenica da su svojstveni potprostori različitih svojstvenih vrijednosti kod normalnih operatora međusobno okomiti.
Odnosno, kada tražiš ONB za normalni operator, da istina, trebaš naći 4 svojstvena vektora. No, ono što trebaš ortonormirati je samo vektore unutar istog sv. potrpostora odnosno vektore koji su svojstveni za istu vrijednost. Ostale vektore treba samo normirati.
Mislim da konkretno u 4. zadatku iz kolokvija 2012., mislim da je 0 dva puta sv. vrijednost, pa ćeš morati jednom lupiti gramšmita za vektore unutar tog potrostora. Druge dvije sv. vrijednosti su različite, pa ne moraš raditi ništa osim normirati.
Nemam pametniji način, ali svejedno imam dobre vijesti.

Naime, nešto što skraćuje posao je činjenica da su svojstveni potprostori različitih svojstvenih vrijednosti kod normalnih operatora međusobno okomiti.
Odnosno, kada tražiš ONB za normalni operator, da istina, trebaš naći 4 svojstvena vektora. No, ono što trebaš ortonormirati je samo vektore unutar istog sv. potrpostora odnosno vektore koji su svojstveni za istu vrijednost. Ostale vektore treba samo normirati.
Mislim da konkretno u 4. zadatku iz kolokvija 2012., mislim da je 0 dva puta sv. vrijednost, pa ćeš morati jednom lupiti gramšmita za vektore unutar tog potrostora. Druge dvije sv. vrijednosti su različite, pa ne moraš raditi ništa osim normirati.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
student_92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
Sarma = la pohva - posuda
10 = 16 - 6

PostPostano: 21:02 pon, 20. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ok, i to je nešto, barem djelomično skraćuje postupak. Hvala. :)
Ok, i to je nešto, barem djelomično skraćuje postupak. Hvala. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
RonnieColeman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00)
Postovi: (20B)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 45 - 39
Lokacija: |R^3

PostPostano: 16:32 uto, 21. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Imam dva pitanja, vezana uz zadatke gornjeg tipa, prvo mi je bitnije:

1. Kada na kraju postupka dobivanja ONB za normalni operator pišem matricu,

jeli svejedno kojim redoslijedom trpam svojstvene vrijednosti(naravno na dijagonali i iste svojstvene idu jedna do druge na dijagonali) u matricu dok god poredak tih vrijednosti u matrici(odozgo iz lijevog kuta po dijagonali) odgovara poretku vektora u bazi za cijeli prostor tj. ako u matricu operatora prvo smještam one vrijednosti koje su za svojstveni potprostor čiji su vektori prvo napisani u n-torci ortonormirane baze?

Konkretno za zad sa vježbi:

onb za prostor je (f1, f2, f3) gdje su f1 i f2 (ortonormirani)vektori baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti -1, a f3 je vektor baze za svojstveni potprostor sv.vrijed 8 pa matrica normalnog operatora na dijagonali ima vrijednosti -1 -1 8.

Pa ako sam onb za prostor napisao ovako (f3, f1, f2), dakle prvo vektor baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti 8, bili onda matrica na dijagonali imala vrijednosti 8 -1 -1

2. Jeli svejedno ako prvo ortonormiram svaku bazu za svojstveni potprostor zasebno, pa onda dobivene ortonormirane baze "spojim"(unija skupova) u bazu za cijeli prostor i ako prvo spojim sve vektore svih baza za svojstveni potprostor i onda ortonormiram tu bazu?

Evo neka moja riješenja za 4. zadatak sa pretprošlogodišnjeg:

L := lambda

karakteristični polinom: L^2 (L-i)(L+i)
dakle spektar {0, i, -i}
svojstveni potprostori
V(0)=[{(0,0,1,0), (1,-2,0,1)}]
V(i) = [{(-1,0,0,1)}]
V(-i) = [{(1,1,0,1)}]
Imam dva pitanja, vezana uz zadatke gornjeg tipa, prvo mi je bitnije:

1. Kada na kraju postupka dobivanja ONB za normalni operator pišem matricu,

jeli svejedno kojim redoslijedom trpam svojstvene vrijednosti(naravno na dijagonali i iste svojstvene idu jedna do druge na dijagonali) u matricu dok god poredak tih vrijednosti u matrici(odozgo iz lijevog kuta po dijagonali) odgovara poretku vektora u bazi za cijeli prostor tj. ako u matricu operatora prvo smještam one vrijednosti koje su za svojstveni potprostor čiji su vektori prvo napisani u n-torci ortonormirane baze?

Konkretno za zad sa vježbi:

onb za prostor je (f1, f2, f3) gdje su f1 i f2 (ortonormirani)vektori baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti -1, a f3 je vektor baze za svojstveni potprostor sv.vrijed 8 pa matrica normalnog operatora na dijagonali ima vrijednosti -1 -1 8.

Pa ako sam onb za prostor napisao ovako (f3, f1, f2), dakle prvo vektor baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti 8, bili onda matrica na dijagonali imala vrijednosti 8 -1 -1

2. Jeli svejedno ako prvo ortonormiram svaku bazu za svojstveni potprostor zasebno, pa onda dobivene ortonormirane baze "spojim"(unija skupova) u bazu za cijeli prostor i ako prvo spojim sve vektore svih baza za svojstveni potprostor i onda ortonormiram tu bazu?

Evo neka moja riješenja za 4. zadatak sa pretprošlogodišnjeg:

L := lambda

karakteristični polinom: L^2 (L-i)(L+i)
dakle spektar {0, i, -i}
svojstveni potprostori
V(0)=[{(0,0,1,0), (1,-2,0,1)}]
V(i) = [{(-1,0,0,1)}]
V(-i) = [{(1,1,0,1)}]



_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
RonnieColeman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00)
Postovi: (20B)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 45 - 39
Lokacija: |R^3

PostPostano: 19:37 sri, 22. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

4. zad u kontra grupi:

karakteristični polinom: L* (L-1)^2 * (L+1)

svojstveni potprostori:

V_0 = [{(0,0,1,0)}]
V_1 = [{(2,1,0,0),(-1,0,0,1)}]
V_-1 = [{1,-2,0,1}]
4. zad u kontra grupi:

karakteristični polinom: L* (L-1)^2 * (L+1)

svojstveni potprostori:

V_0 = [{(0,0,1,0)}]
V_1 = [{(2,1,0,0),(-1,0,0,1)}]
V_-1 = [{1,-2,0,1}]



_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
RonnieColeman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00)
Postovi: (20B)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 45 - 39
Lokacija: |R^3

PostPostano: 18:47 pet, 24. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

5. zad sa predprošlogišnjeg kola, barem skica, kroj, ideja :?: :idea:
5. zad sa predprošlogišnjeg kola, barem skica, kroj, ideja Question Idea



_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
nuclear
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12)
Postovi: (74)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
10 = 20 - 10

PostPostano: 13:22 sub, 25. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zna li netko kako se rješava ovakav tip zadatka? Znam riješiti ako mi je postavljeno čemu je jednak dan operator, ali ovako općenito,nisam sigurna što gdje postaviti:

Koji sve kompleksni brojevi mogu biti svojstvene vrijednosti nekog operatora e^(e^(A+I)+1) + I, za A € L(C^n)?
Zna li netko kako se rješava ovakav tip zadatka? Znam riješiti ako mi je postavljeno čemu je jednak dan operator, ali ovako općenito,nisam sigurna što gdje postaviti:

Koji sve kompleksni brojevi mogu biti svojstvene vrijednosti nekog operatora e^(e^(A+I)+1) + I, za A € L(C^n)?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
nuclear
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12)
Postovi: (74)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
10 = 20 - 10

PostPostano: 15:30 sub, 25. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Još jedan zadatak..zapela sam na pola, ne vidim gdje griješim.
(drugačije su oznake jer ne znam baš pisati u latexu,za min polinom sam stavila y i umjesto lambde x)

Za A={{2,0,1},{2,3,-2},{-1,0,4}} €L(C^3) u kanonskoj bazi nađi polinom najmanjeg mogućeg stupnja td: e^(p(A))=1/A

ovo su moji računi:

k_A(x)=-(x-3)^3
y_A(x)=(x-3)^2

f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
p1=I
p2=A-3I

do tud bi trebalo biti točno, sad sam dobila sljedeće i tu nastaje problem, dakle svaki f(A) € F(A) je oblika:
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2

pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))

kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)

zašto?
Još jedan zadatak..zapela sam na pola, ne vidim gdje griješim.
(drugačije su oznake jer ne znam baš pisati u latexu,za min polinom sam stavila y i umjesto lambde x)

Za A={{2,0,1},{2,3,-2},{-1,0,4}} €L(C^3) u kanonskoj bazi nađi polinom najmanjeg mogućeg stupnja td: e^(p(A))=1/A

ovo su moji računi:

k_A(x)=-(x-3)^3
y_A(x)=(x-3)^2

f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
p1=I
p2=A-3I

do tud bi trebalo biti točno, sad sam dobila sljedeće i tu nastaje problem, dakle svaki f(A) € F(A) je oblika:
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2

pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))

kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)

zašto?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
student_92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
Sarma = la pohva - posuda
10 = 16 - 6

PostPostano: 2:21 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Pronašao sam jedan zadatak u zadaćama - molim da mi netko da ideju ili ukratko korake rješavanja.
[b][u]Tekst[/u][/b]: Neka je [tex]A \in L(V)[/tex] takav da je [tex]1 \in \sigma (A^2-3A+3I)[/tex]. Pokažite da je tada [tex]1 \in \sigma ((A-2I)^{2010} + (A-I)^{50})[/tex].
Pronašao sam jedan zadatak u zadaćama - molim da mi netko da ideju ili ukratko korake rješavanja.
Tekst: Neka je [tex]A \in L(V)[/tex] takav da je [tex]1 \in \sigma (A^2-3A+3I)[/tex]. Pokažite da je tada [tex]1 \in \sigma ((A-2I)^{2010} + (A-I)^{50})[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Loo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
84 = 85 - 1

PostPostano: 12:20 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Tu koristiš samo činjenicu da je [tex]\sigma(f(A))=f(\sigma(A))[/tex],
tj., sve svojstvene vrijednosti od [tex]A^2-3A+3I[/tex] su oblika [tex]\lambda^2-3\lambda+3[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
Znači da bi bilo [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex], mora postojati [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex] t.d. [tex]\lambda^2-3\lambda+3=1[/tex], odnosno mora biti [tex]1 \in \sigma(A)[/tex] ili [tex]2 \in \sigma(A)[/tex] (uključivo).
Također, svojstvene vrijednosti od [tex](A-2I)^{2010}+(A-I)^{50}[/tex] su oblika [tex](\lambda-2)^{2010}+(\lambda-1)^{50}[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
I onda uvrstiš [tex]\lambda=2[/tex] i [tex]\lambda=1[/tex] gore i dobiješ da je to jednako [tex]1[/tex] u oba slučaja, pa mora biti [tex]1\in \sigma((A-2I)^{2010}+(A-I)^{50})[/tex].

[size=9][color=#999999]Added after 18 minutes:[/color][/size]

[quote="nuclear"]
pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))

kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)

zašto?[/quote]

Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s [latex]x[/latex].
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da [u]ne vrijedi[/u] [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator [latex]f(A)[/latex] je linearna kombinacija [u]istih[/u] polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.
Tu koristiš samo činjenicu da je [tex]\sigma(f(A))=f(\sigma(A))[/tex],
tj., sve svojstvene vrijednosti od [tex]A^2-3A+3I[/tex] su oblika [tex]\lambda^2-3\lambda+3[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
Znači da bi bilo [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex], mora postojati [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex] t.d. [tex]\lambda^2-3\lambda+3=1[/tex], odnosno mora biti [tex]1 \in \sigma(A)[/tex] ili [tex]2 \in \sigma(A)[/tex] (uključivo).
Također, svojstvene vrijednosti od [tex](A-2I)^{2010}+(A-I)^{50}[/tex] su oblika [tex](\lambda-2)^{2010}+(\lambda-1)^{50}[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
I onda uvrstiš [tex]\lambda=2[/tex] i [tex]\lambda=1[/tex] gore i dobiješ da je to jednako [tex]1[/tex] u oba slučaja, pa mora biti [tex]1\in \sigma((A-2I)^{2010}+(A-I)^{50})[/tex].

Added after 18 minutes:

nuclear (napisa):

pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))

kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)

zašto?


Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s .
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da ne vrijedi [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator je linearna kombinacija istih polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
student_92
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46)
Postovi: (B9)16
Sarma = la pohva - posuda
10 = 16 - 6

PostPostano: 12:34 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

@Loo: hvala :)
@Loo: hvala Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
nuclear
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12)
Postovi: (74)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
10 = 20 - 10

PostPostano: 13:23 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Loo"]
Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s [latex]x[/latex].
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da [u]ne vrijedi[/u] [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator [latex]f(A)[/latex] je linearna kombinacija [u]istih[/u] polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.[/quote]


gle, nadam se da ne gnjavim puno, ali ako bi mi mogao/la raspisati do kraja to? jer ja ne znam stvarno više šta da radim, negdje griješim a da ni ne znam. dobijem to što si rekao/la:
f(A)=1/A
g(A)=e^(p(A))

f(3)=1/3 f'(3)=-1/9
e^(p(3))=1/3
(e^(p(3)))'=-1/9
p(3)=-ln 3
i dalje više ne znam šta bi.
znam da mora biti g(A)=g(3)*p1+g'(3)*p2
odnosno
g(A)=1/3 * I - 1/9 * (A-3I)
iiiiii..sad više ne znam ništa ko prvašić :)
jer ne dobivam ono što se kao treba dobiti.
Loo (napisa):

Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s .
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da ne vrijedi [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator je linearna kombinacija istih polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.



gle, nadam se da ne gnjavim puno, ali ako bi mi mogao/la raspisati do kraja to? jer ja ne znam stvarno više šta da radim, negdje griješim a da ni ne znam. dobijem to što si rekao/la:
f(A)=1/A
g(A)=e^(p(A))

f(3)=1/3 f'(3)=-1/9
e^(p(3))=1/3
(e^(p(3)))'=-1/9
p(3)=-ln 3
i dalje više ne znam šta bi.
znam da mora biti g(A)=g(3)*p1+g'(3)*p2
odnosno
g(A)=1/3 * I - 1/9 * (A-3I)
iiiiii..sad više ne znam ništa ko prvašić Smile
jer ne dobivam ono što se kao treba dobiti.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Loo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
84 = 85 - 1

PostPostano: 14:45 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[tex]f(x)=\frac{1}{x}, \; f'(x)=-\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]g(x)=e^{p(x)}, \; g'(x)=p'(x)e^{p(x)}[/tex]
Dobar je svaki polinom za koji vrijedi:
[tex]g(3)=f(3), \; g'(3)=f'(3)[/tex]
Odnosno:
[tex]e^{p(3)}=\frac{1}{3} \Rightarrow p(3)=\ln{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]p'(3)e^{p(3)}=-\frac{1}{9} \Rightarrow p'(3)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{9} \Rightarrow p'(3)=-\frac{1}{3}[/tex]
I mi tražimo neki polinom najmanjeg mogućeg stupnja za koje su gornje jednakosti zadovoljene.
Očito, ne može biti konstanta jer bi u tom slučaju bilo [tex]p'(3)=0[/tex].
Probamo sa [tex]p(x)=ax+b[/tex].
I dobijemo da mora biti:
[tex]p'(3)=a=-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]3a+b=\ln{\frac{1}{3}} \Rightarrow b=1+\ln{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{1}{x}, \; f'(x)=-\frac{1}{x^2}[/tex]
[tex]g(x)=e^{p(x)}, \; g'(x)=p'(x)e^{p(x)}[/tex]
Dobar je svaki polinom za koji vrijedi:
[tex]g(3)=f(3), \; g'(3)=f'(3)[/tex]
Odnosno:
[tex]e^{p(3)}=\frac{1}{3} \Rightarrow p(3)=\ln{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]p'(3)e^{p(3)}=-\frac{1}{9} \Rightarrow p'(3)\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{9} \Rightarrow p'(3)=-\frac{1}{3}[/tex]
I mi tražimo neki polinom najmanjeg mogućeg stupnja za koje su gornje jednakosti zadovoljene.
Očito, ne može biti konstanta jer bi u tom slučaju bilo [tex]p'(3)=0[/tex].
Probamo sa [tex]p(x)=ax+b[/tex].
I dobijemo da mora biti:
[tex]p'(3)=a=-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]3a+b=\ln{\frac{1}{3}} \Rightarrow b=1+\ln{\frac{1}{3}}[/tex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
nuclear
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12)
Postovi: (74)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
10 = 20 - 10

PostPostano: 16:09 ned, 26. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

jaooo, puno ti hvala. vidim gdje sam griješila: ja sam umjesto p'(x)*e^(p(x)) pisala p(x) * e^(p(x)) i ništa mi nije izgledalo normalno :D

hvala :) nekako blesavo sam išla djelovati sa ln na funkciju umjesto da samo to pretpostavila p(x)=ax + b ...puno si mi pomogla!
jaooo, puno ti hvala. vidim gdje sam griješila: ja sam umjesto p'(x)*e^(p(x)) pisala p(x) * e^(p(x)) i ništa mi nije izgledalo normalno Very Happy

hvala Smile nekako blesavo sam išla djelovati sa ln na funkciju umjesto da samo to pretpostavila p(x)=ax + b ...puno si mi pomogla!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Studoš
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 05. 2012. (15:14:14)
Postovi: (11)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 16:35 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-kol1.pdf

U 5.zadatku, kako zapisati A^(-1) kao linearnu kombinaciju operatora I i A?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/vp-0708-kol1.pdf

U 5.zadatku, kako zapisati A^(-1) kao linearnu kombinaciju operatora I i A?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
M a j a
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 22:23 čet, 6. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Možeš samo napisati koliko dobiješ minimalni polinom u tom 5. zadatku pa ti ja napišem kako odrediti A^(-1)
Možeš samo napisati koliko dobiješ minimalni polinom u tom 5. zadatku pa ti ja napišem kako odrediti A^(-1)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
RonnieColeman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00)
Postovi: (20B)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 45 - 39
Lokacija: |R^3

PostPostano: 0:08 pet, 7. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

ja dobijem minimalca (lambda + 1)^2

a tu kombinaciju dobiješ igranjem,

inverz od A je

-1-1-1
0 0 1
0-1-2

pa s minus jedan napadneš A i sa -2 jediničnu pa ih zbrojiš, valjda tako
ja dobijem minimalca (lambda + 1)^2

a tu kombinaciju dobiješ igranjem,

inverz od A je

-1-1-1
0 0 1
0-1-2

pa s minus jedan napadneš A i sa -2 jediničnu pa ih zbrojiš, valjda tako



_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
M a j a
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 0:30 pet, 7. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

ovako u skripti na str 20. teorem 2.11. ti kaže kako se računa to.
a sad na tvom konkretnom zadatku ti imas da je mi(lamda)= (lamda +1) ^2. prvo moraš provjeriti da je A regularan (pa prema teoremu 2.11. moraš provjeriti da li je mi(0)=!0) mi(0)=1 a to je različito od 0 što znači da je A regularan. e sad pošto je A regularan to znači da postoji A^(-1) i sad je ovo postupak kako :
sad znas da ti A poništava minimalni polinom odnosno da vrijedi mi(A)=A^2+2A+I=0 i sad na jednu stranu staviš I=-A^2-2A=A(-A-2I)
sad pošto ti je I=A(-A-2I) i znaš da kod regularnog operatora vrijedi I=AA(A^(-1)) znači da je A^(-1)=-A-2I i to je to.
ako nešo nije jasno slobodno pitaj :)
ovako u skripti na str 20. teorem 2.11. ti kaže kako se računa to.
a sad na tvom konkretnom zadatku ti imas da je mi(lamda)= (lamda +1) ^2. prvo moraš provjeriti da je A regularan (pa prema teoremu 2.11. moraš provjeriti da li je mi(0)=!0) mi(0)=1 a to je različito od 0 što znači da je A regularan. e sad pošto je A regularan to znači da postoji A^(-1) i sad je ovo postupak kako :
sad znas da ti A poništava minimalni polinom odnosno da vrijedi mi(A)=A^2+2A+I=0 i sad na jednu stranu staviš I=-A^2-2A=A(-A-2I)
sad pošto ti je I=A(-A-2I) i znaš da kod regularnog operatora vrijedi I=AA(A^(-1)) znači da je A^(-1)=-A-2I i to je to.
ako nešo nije jasno slobodno pitaj Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
RonnieColeman
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00)
Postovi: (20B)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
= 45 - 39
Lokacija: |R^3

PostPostano: 9:14 pet, 7. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="M a j a"] vrijedi I=AA(A^(-1)) znači da je A^(-1)=-A-2I i to je to.
ako nešo nije jasno slobodno pitaj :)[/quote]

U prvoj jednadžbi je jedan A suvišan, omaška.

Mislim da se ne treba uvjeravati da inverz od A postoji jer oni to ne traže u zadatku.
M a j a (napisa):
vrijedi I=AA(A^(-1)) znači da je A^(-1)=-A-2I i to je to.
ako nešo nije jasno slobodno pitaj Smile


U prvoj jednadžbi je jedan A suvišan, omaška.

Mislim da se ne treba uvjeravati da inverz od A postoji jer oni to ne traže u zadatku.



_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
M a j a
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 1 - 0

PostPostano: 10:18 pet, 7. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da jedan A je višak. Greška u pisanju.
Istina, ne traži se u zadatku ali da bi mogao primjeniti taj teorem A mora biti regularan tako da sam zbog toga pisala.
Da jedan A je višak. Greška u pisanju.
Istina, ne traži se u zadatku ali da bi mogao primjeniti taj teorem A mora biti regularan tako da sam zbog toga pisala.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na 1, 2  Sljedeće
Stranica 1 / 2.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan