Heine-Borel (objasnjenje gradiva)

[Serenity]

Muči me jedan korak pri kraju dokaza... Nakon što se koristi Cantorov teorem i pokaže se da postoji točka u presjeku onih kocaka... Međutim nijedna od tih kocaka nije pokrivena s konačno mnogo skupova Ui. Zašto možemo zaključiti da je točka c u nekom (jednom) Ui i onda dalje zaključiti da je ona kockica Tk pokrivena sa samo jednim Ui?

[Loo]

Imamo niz kocki [tex]T_0 \supset T_1 \supset ...\supset T_k \supset ... [/tex] i prema Cantorovom teoremu znamo da je presjek neprazan.

Onda postoji neka [tex]c\in \displaystyle \bigcap _k T_k[/tex], znači [tex]c[/tex] je u svakoj kocki [tex]T_k[/tex].
Također, [tex]U_i[/tex]-evi pokrivaju najveću kocku [tex]T_0[/tex], pa pokrivaju i presjek svih kocki, odnosno presjek je sigurno podskup [tex]\displaystyle \bigcup_{i \in I}U_i[/tex], pa je onda [tex]c \in \displaystyle \bigcup_{i \in I}U_i[/tex], a to znači da postoji [tex]i \in I[/tex] t.d. [tex]c\in U_i[/tex].
Budući da je [tex]U_i[/tex] otvoren, postoji [tex]r>0[/tex] t.d. je [tex]K(c,r) \subset U_i[/tex].

Također vidimo da je brid kocke [tex]T_k[/tex] je duljine [tex]\frac{2M}{2^k}[/tex], a [tex]\displaystyle \lim_{k \to \infty}\frac{2M}{2^k}=0[/tex].

Imamo [tex]r>0[/tex] pa će za dovoljno veliki [tex]k_0[/tex], duljina brida kocke [tex]T_{k_0}[/tex] biti dovoljno mala da [tex]T_{k_0} \subset K(c,r)[/tex].
Naime, zbog [tex]c\in \displaystyle \bigcap _k T_k[/tex] znamo da je presjek svake [tex]T_k[/tex] i [tex]K(c,r)[/tex] neprazan - sadrži bar [tex]c[/tex], trebamo samo uzeti dovoljno velik [tex]k_0[/tex] da kocka bude toliko mala da čitava stane u [tex]K(c,r)[/tex]. (to možemo jer je su kocke sve manje i manje - duljine bridova teže u nulu)
Ali onda imamo kontradikciju, jer je [tex] T_{k_0} \subset K(c,r) \subset U_i [/tex], pa je [tex]T_{k_0}[/tex] u samo jednom [tex]U_i[/tex].

[Serenity]

Hvala, a zbunjivao me ovaj dio sa samo jednim Ui. Ali jasno sad =)