|
Probaj ovako:
Smjesti ovaj pomični koordinatni sustav tako da ti ishodište bude u točki O1 koja je objesište njihala. Neka ti koordinatne osi budu takve da je pozitivan dio x osi uperen prema dolje, a pozitivan dio y osi prema desno.
Sad ćemo zapisati jednadžbe u terminima vektora [tex]\vec{r_0}, \vec{\phi_0}[/tex] odnosno u polarnim koordinatama, gdje kut [tex]\phi[/tex] mjerimo od pozitivnog dijela x osi.
Ok klasika: -> sila teža[tex] \vec{F_G}=mgcos\phi\vec{r_0}-mgsin\phi\vec{\phi_0} [/tex] (inače gleda prema dolje, rastavili smo je u bazi[tex] \vec{r_0}, \vec{\phi_0}[/tex])
-> napetost niti (reakcija podloge) [tex]\vec{N}=-N\vec{r_0}[/tex] (gleda prema objesištu dakle u smjeru vektora [tex]\vec{r_0}[/tex], pritom nam je N nepoznata funkcija od t)
Još nam preostaje odrediti fiktivne sile koje se javljaju. Međutim nema nikakve rotacije našeg koordinatnog sustava u vremenu već se samo događa translacija u smjeru vektora e1 koji je kod nas zapravo j.
Dakle imamo samo translacijsku silu:[tex] \vec{F_{trans}}=-m\vec{a_0}.[/tex]
Dano nam je gibanje točke O1: [tex]\vec{OO1}=(asin(\omega t)\vec{e1}[/tex]
Lako dobijemo akceleraciju tako da dvaput deriviramo: [tex]\vec{a_0}=-\omega^2 a sin(\omega t) \vec{e_1} =-\omega^2 a sin(\omega t) \vec{j}[/tex]
Želimo još vektor [tex]\vec{j}[/tex] zapisati u bazi [tex]\vec{r_0, \phi_0}[/tex].
Iz [tex]\vec{r_0}=cos\phi\vec{i}+sin\phi\vec{j}[/tex] i [tex] \vec{\phi_0}=-sin\phi\vec{i}+cos\phi\vec{j}[/tex]
dobijemo [tex]\vec{j}=sin\phi\vec{r_0}+cos\phi\vec{\phi_0}[/tex]
Super, sad imamo sve, idemo pronaći gibanje [tex]\vec{r}=l(cos\phi,sin\phi)=l\vec{r_0}[/tex]
2.N.A. sad glasi :[tex] m\vec{r''}=\vec{F_G}+\vec{N}+\vec{F_{trans}}[/tex].
Lako deriviranjem nađemo akceleraciju (ili pogledamo formule :) )
[tex]\vec{r''}=-l{\phi'}^2 \vec{r_0} + l\phi''\vec{\phi_0}[/tex]
Sad izjednačimo koeficijente uz vektore i dobijemo dvije jednadžbe. Posebno nas zanima jednadžba uz vektor [tex]\vec{\phi_0}[/tex]. Ova druga uključuje u sebi nepoznatu funkciju N pa, osim ako nas ne zanima N, nju ne gledamo (možemo je pogledati par puta ako baš hoćemo).
Jednadžba uz [tex]\vec{\phi_0}[/tex] : [tex]ml\phi''=-mgsin\phi+m\omega^2 acos\phi sin\omega t[/tex].
Tu jednadžbu želimo rješiti. U zadatku nam kažu da gledamo male oscilacije. To znači da možemo funkcije : [tex] sin\phi , cos\phi[/tex] aproksimirati prvim članovima u razvoju u Taylorov red. [tex]sin\phi \approx \phi, cos\phi \approx 1[/tex].
Tako dođemo do rješive jednadžbe : [tex]\phi'' + \frac{g}{l} \phi = \omega^2 asin\omega t[/tex].
Vidimo, tu nam je bitno da [tex]\omega[/tex] nije jednako [tex]\sqrt{\frac{g}{l}}[/tex].
Ostavljam je tebi da je rješiš. Ako sam fulao negdje sorry.
Probaj ovako:
Smjesti ovaj pomični koordinatni sustav tako da ti ishodište bude u točki O1 koja je objesište njihala. Neka ti koordinatne osi budu takve da je pozitivan dio x osi uperen prema dolje, a pozitivan dio y osi prema desno.
Sad ćemo zapisati jednadžbe u terminima vektora [tex]\vec{r_0}, \vec{\phi_0}[/tex] odnosno u polarnim koordinatama, gdje kut [tex]\phi[/tex] mjerimo od pozitivnog dijela x osi.
Ok klasika: → sila teža[tex] \vec{F_G}=mgcos\phi\vec{r_0}-mgsin\phi\vec{\phi_0} [/tex] (inače gleda prema dolje, rastavili smo je u bazi[tex] \vec{r_0}, \vec{\phi_0}[/tex])
→ napetost niti (reakcija podloge) [tex]\vec{N}=-N\vec{r_0}[/tex] (gleda prema objesištu dakle u smjeru vektora [tex]\vec{r_0}[/tex], pritom nam je N nepoznata funkcija od t)
Još nam preostaje odrediti fiktivne sile koje se javljaju. Međutim nema nikakve rotacije našeg koordinatnog sustava u vremenu već se samo događa translacija u smjeru vektora e1 koji je kod nas zapravo j.
Dakle imamo samo translacijsku silu:[tex] \vec{F_{trans}}=-m\vec{a_0}.[/tex]
Dano nam je gibanje točke O1: [tex]\vec{OO1}=(asin(\omega t)\vec{e1}[/tex]
Lako dobijemo akceleraciju tako da dvaput deriviramo: [tex]\vec{a_0}=-\omega^2 a sin(\omega t) \vec{e_1} =-\omega^2 a sin(\omega t) \vec{j}[/tex]
Želimo još vektor [tex]\vec{j}[/tex] zapisati u bazi [tex]\vec{r_0, \phi_0}[/tex].
Iz [tex]\vec{r_0}=cos\phi\vec{i}+sin\phi\vec{j}[/tex] i [tex] \vec{\phi_0}=-sin\phi\vec{i}+cos\phi\vec{j}[/tex]
dobijemo [tex]\vec{j}=sin\phi\vec{r_0}+cos\phi\vec{\phi_0}[/tex]
Super, sad imamo sve, idemo pronaći gibanje [tex]\vec{r}=l(cos\phi,sin\phi)=l\vec{r_0}[/tex]
2.N.A. sad glasi :[tex] m\vec{r''}=\vec{F_G}+\vec{N}+\vec{F_{trans}}[/tex].
Lako deriviranjem nađemo akceleraciju (ili pogledamo formule  )
[tex]\vec{r''}=-l{\phi'}^2 \vec{r_0} + l\phi''\vec{\phi_0}[/tex]
Sad izjednačimo koeficijente uz vektore i dobijemo dvije jednadžbe. Posebno nas zanima jednadžba uz vektor [tex]\vec{\phi_0}[/tex]. Ova druga uključuje u sebi nepoznatu funkciju N pa, osim ako nas ne zanima N, nju ne gledamo (možemo je pogledati par puta ako baš hoćemo).
Jednadžba uz [tex]\vec{\phi_0}[/tex] : [tex]ml\phi''=-mgsin\phi+m\omega^2 acos\phi sin\omega t[/tex].
Tu jednadžbu želimo rješiti. U zadatku nam kažu da gledamo male oscilacije. To znači da možemo funkcije : [tex] sin\phi , cos\phi[/tex] aproksimirati prvim članovima u razvoju u Taylorov red. [tex]sin\phi \approx \phi, cos\phi \approx 1[/tex].
Tako dođemo do rješive jednadžbe : [tex]\phi'' + \frac{g}{l} \phi = \omega^2 asin\omega t[/tex].
Vidimo, tu nam je bitno da [tex]\omega[/tex] nije jednako [tex]\sqrt{\frac{g}{l}}[/tex].
Ostavljam je tebi da je rješiš. Ako sam fulao negdje sorry.
|
