Prsten razlomaka u Z_n (objasnjenje gradiva)

[peja]

Moze pomoc

Moram napraviti prsten razlomaka na Z_n.
Dakle, prvo treba odrediti maksimalni multiplikativni podskup u Z_n (sto ne kuzim kako cu opcenito za Z_n), a onda D^{-1}Z_n.

[goranm]

Skup elemenata u [tex]\mathbb Z_n[/tex] koji nisu djelitelji nule cini multiplikativan podskup od [tex]\mathbb Z_n[/tex] (stovise, cine multiplikativnu podgrupu). Pokazi da je i maksimalan.

Hint: ako je D taj skup, pokazi da je [tex]D=\{\bar m \in \mathbb Z_n\mid (m,n)=1\}.[/tex]

_________________
The Dude Abides

[peja]

Jesam li ja to onda dobro shvatila?

D je skup svih elemenata iz Z_n koji nisu djelitelji nule, pa je prsten razlomaka od Z_n upravo Z_n (jer je Z_n njegov trivijalni podprsten i jer sadrzi inverze svih elemenata koji nisu nula niti djelitelji nule)

[goranm]

Da, prsten razlomaka od [tex]\mathbb Z_n[/tex] biti ce [tex]\mathbb Z_n[/tex] jer elemeniti u D su upravo invertibilni elementi u [tex]\mathbb Z_n[/tex].

Ako hocemo biti pedantni, taj prsten biti ce izomorfan sa [tex]\mathbb Z_n[/tex], jer po definiciji [tex]D^{-1}\mathbb Z_n[/tex] je zapravo kvocijent skupa [tex]\mathbb Z_n \times D[/tex] s obzirom na relaciju ekvivalencije
[dtex](\bar m_1, \bar k_1)\sim (\bar m_2, \bar k_2) \iff \bar m_1 \bar k_2 = \bar m_2 \bar k_1.[/dtex]
Ako te zanima vise o prstenima razlomaka, vidi http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cohnmont.pdf

_________________
The Dude Abides