Nakon svih teorijskih zadataka koje smo riješili malo je smiješno da smo zapeli tu.
Uglavnom, pogriješio sam prilikom izlučivanja petice iz onog izraza... no evo jedan dokaz na prste koji valja:
(9-2i,5-5i)=
oduzmemo od prvog drugi =(4+3i,5-5i)
pomnožimo drugi s [i]i[/i] (radi preglednosti)=(4+3i,5+5i)
oduzemo prvi od drugog =(4+3i,1+2i)
dodamo [i]2i[/i] puta drugi na prvi =(5i,1+2i)=(5,1+2i)
i sad samo primijetimo da je 5 jednak umnošku (1+2i)(1-2i),
dakle (5,1+2i)=(1+2i).
Bitno u ovakvom rješavanju je da se ništa ne mijenja ako pomnožite broj s inv. elementom, dakle i,-1,-i,1. Ako se dobro uvježbate zasigurno je brže od algoritamskog načina.
Što se tiče algoritamskog rješenja, ako treba, nije problem raspisati, ali ima pokoji primjer u vježbama, pa samo navodim: Zadatak 2.20, 2.21.
stranica 52/53 https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/predavanja/ASvjezbe.pdf
Tamo je norma označena s phi.
Uglavnom, za taj element se provjeri (preko norme) da je ireducibilan, stoga je i prost. Kao što možete vidjeti navedeno u vježbama, iz tog se odmah zaključi da je to i maksimalno, ali kratko obrazloženje je:
Kad ne bi bio maksimalan, bio bi sadržan u nekom idealu <a> koji nije cijeli prsten. No, tada je 1+2i=k*a, i onda bi naišli na kontradikciju
(isto kao i sa zadatkom o polinomima koji smo imali na demonstraturama - pokušajte dokazati općenito za DGI da je prost ideal ujedno maksimalan).
I, to je to, dakle ideal je glavni (to odmah znamo), i ispadne prost, a time i maksimalan.
Pokušajte popisati te općenite teoreme, možda se još raspitati što se smije koristiti, što ne. Bilo bi vrlo šteta da zapnete zbog, ili dokazujete, nešto što se smije koristiti bez dokaza.
Sretno!
