|
[b]Zadatak 1. [/b]
Neka je P2 unitarni prostor svih realnih polinoma
stupnja najviše 2, sa standardnim skalarnim množenjem
(integral na [-1, 1]). Prikažite polinom p0(t) = 1
kao zbroj jednog polinoma stupnja 2
i jednog polinoma koji je ortogonalan na polinom t^2.
Koja relacija vijedi između norme polinoma p0 i
normi tih dvaju polinoma u njegovom rastavu?
[b]Rješenje:[/b]
Ortog. komplement od [ t^2] je [t, 5 t^2 - 3].
Rastav 1 = (1 – 5 t^2/3 ) + 5 t^2/3 ,
Norme polinoma na desnoj strani su 2 sqrt(2)/3 I sqrt(10)/3.
Norma od 1 je sqrt(2) pa se to slaže jer za kvadrate normi: 2 = 8/9 + 10/9 .
(Mora vrijediti Pitagorina relacija za pravokutni trokut).
[b]Zadatak 2. [/b]
Zadana je matrica C =
1 0 0 2
2 0 1 6
1 2 1 5
1 4 4 9
koja predstavlja matrični zapis linearnog operatora K: M2 (R) ---> M2 (R)
u standardnoj bazi prostora realnih kvadratnih matrica. Odredite skup svih
matrica A koje K preslikava u njima transponiranu matricu A^t.
Je li taj skup
potprostor? Napišite matrični zapis operatora K u nekoj bazi čiji je svaki
element ili simetrična ili antisimetrična matrica.
[b]Rješenje:
[/b]
Dobiva se da K preslikava matricu A u A^t akko je A antisimetrična.
Za bazu traženog oblika možemo uzeti npr. matrice
1 0
0 0
0 1
-1 '0
0 1
1 0
0 0
0 1
Matrica prijelaza iz kanonske u novu bazu: (T)
1 0 0 0
0 1 1 0
0 -1 1 0
0 0 0 1
Inverzna matrica: (T^-1)
1 0 0 0
0 ½ - ½ 0
0 ½ ½ 0
0 0 0 1
Tražena matrica je T^-1 C T
1 0 0 2
½ -1 -1 ½
3/2 0 2 11/2
1 0 8 9
[b]Zadatak 3. [/b]
Operator Z: V3(O) --->V3(O) djeluje tako da vektor najprije zrcali
s obzirom na potprostor [ j+k ], a zatim tako dobiveni vektor
ortogonalno projicira na potprostor [ -j+k, 2i+j+k].
(a) Odredite jednu svojstvenu vrijednost operatora Z
bez traženja njegovog matričnog zapisa. Obrazložite odgovor.
(b) Napišite djelovanje Z na opći vektor prostora.
Ispitajte može li se Z dijagonalizirati te ako može,
napišite taj dijagonalni oblik.
[b]Rješenje:[/b]
Z ima 0 u spektru jer je ranga 2 (<3), kao kompozicija operatora ranga 3 i 2.
U spektru su još -1 I 1/3 pa se može dijagonalizirati.
Matrica Z u (I,j,k): 2/3 1/3 1
1/3 2/3 -1
1/3 -1/3 2/3
[b]Zadatak 4. - to je 6. zadatak iz 12. domaće zadaće.
[/b]
[b]Zadatak 1. [/b]je kombinacija sličnih zadataka 4. domaće zadaće.
[b]Zadatak 3. [/b]je neznatno modificiran 4. zadatak iz 6. domaće zadaće,
dopunjen traženjem svojstvenih vrijednosti.
Zadatak 1.
Neka je P2 unitarni prostor svih realnih polinoma
stupnja najviše 2, sa standardnim skalarnim množenjem
(integral na [-1, 1]). Prikažite polinom p0(t) = 1
kao zbroj jednog polinoma stupnja 2
i jednog polinoma koji je ortogonalan na polinom t^2.
Koja relacija vijedi između norme polinoma p0 i
normi tih dvaju polinoma u njegovom rastavu?
Rješenje:
Ortog. komplement od [ t^2] je [t, 5 t^2 - 3].
Rastav 1 = (1 – 5 t^2/3 ) + 5 t^2/3 ,
Norme polinoma na desnoj strani su 2 sqrt(2)/3 I sqrt(10)/3.
Norma od 1 je sqrt(2) pa se to slaže jer za kvadrate normi: 2 = 8/9 + 10/9 .
(Mora vrijediti Pitagorina relacija za pravokutni trokut).
Zadatak 2.
Zadana je matrica C =
1 0 0 2
2 0 1 6
1 2 1 5
1 4 4 9
koja predstavlja matrični zapis linearnog operatora K: M2 (R) → M2 (R)
u standardnoj bazi prostora realnih kvadratnih matrica. Odredite skup svih
matrica A koje K preslikava u njima transponiranu matricu A^t.
Je li taj skup
potprostor? Napišite matrični zapis operatora K u nekoj bazi čiji je svaki
element ili simetrična ili antisimetrična matrica.
Rješenje:
Dobiva se da K preslikava matricu A u A^t akko je A antisimetrična.
Za bazu traženog oblika možemo uzeti npr. matrice
1 0
0 0
0 1
-1 '0
0 1
1 0
0 0
0 1
Matrica prijelaza iz kanonske u novu bazu: (T)
1 0 0 0
0 1 1 0
0 -1 1 0
0 0 0 1
Inverzna matrica: (T^-1)
1 0 0 0
0 ½ - ½ 0
0 ½ ½ 0
0 0 0 1
Tražena matrica je T^-1 C T
1 0 0 2
½ -1 -1 ½
3/2 0 2 11/2
1 0 8 9
Zadatak 3.
Operator Z: V3(O) →V3(O) djeluje tako da vektor najprije zrcali
s obzirom na potprostor [ j+k ], a zatim tako dobiveni vektor
ortogonalno projicira na potprostor [ -j+k, 2i+j+k].
(a) Odredite jednu svojstvenu vrijednost operatora Z
bez traženja njegovog matričnog zapisa. Obrazložite odgovor.
(b) Napišite djelovanje Z na opći vektor prostora.
Ispitajte može li se Z dijagonalizirati te ako može,
napišite taj dijagonalni oblik.
Rješenje:
Z ima 0 u spektru jer je ranga 2 (<3), kao kompozicija operatora ranga 3 i 2.
U spektru su još -1 I 1/3 pa se može dijagonalizirati.
Matrica Z u (I,j,k): 2/3 1/3 1
1/3 2/3 -1
1/3 -1/3 2/3
Zadatak 4. - to je 6. zadatak iz 12. domaće zadaće.
Zadatak 1. je kombinacija sličnih zadataka 4. domaće zadaće.
Zadatak 3. je neznatno modificiran 4. zadatak iz 6. domaće zadaće,
dopunjen traženjem svojstvenih vrijednosti.
|
