|
[b]Nekoliko zadataka o dvoomjeru[/b]
1. Zadane su tri kolinearne točke u ravnini PG(2,R):
A(1,0,0), B(0,1,1) i C(1,2,2). Odredite točke D i F
za koje je dvoomjer
R(A,B;C,D) = 2, odnosno R(A,B;C,F) = -1.
2. Izračunajte dvoomjer R(A,B;C,D) za točke A(1,0,2),
B(1,1,0), C(1,2,-2), D(1,-2,6). Napišite sve vrijednosti
koje poprima dvoomjer za četvorke točaka dobivene
permutacijama A,B,C i D.
3. Neka su P, Q i E osnovne točke koordinatizacije projektivnog
pravca (dakle P(1,0), Q(0,1), E(1,1)) i neka su A, B, C točke
tog pravca koje s obzirom na navedene osnovne točke imaju
nehomogene koordinate redom 1/2, -2 i -3. Ako neka točka X
ima nehomogenu koordinatu x s obzirom na iste te osnovne
točke, koja će biti nehomogena koordinata točke X ako se za
osnovne točke izaberu A, B i C?
4. U ravnini PG(2,R) zadan je trovrh ABC. Neka su M, N i P
točke različite od vrhova koje pripadaju stranicama BC,
CA i AB redom. Nadalje, neka pravac q, različit od stranica
trovrha ABC, siječe stranice BC, CA i AB redom u točkama
X, Y, Z koje su različite od M, N i P. Dokažite da su točke
M, N i P kolinearne ako i samo ako za umnožak dvoomjera
vrijedi:
R(B,C;X,M) R(C,A;Y,N) R(A,B;Z,P) = 1.
(Pokušajte riješiti 4. zadatak uz što manje "petljanja" s
koordinatama, uzimajući u obzir što se naučilo o dvoomjeru.
Povežite ovaj zadatak, ako je moguće, s poznatim Menelajevim
teoremom i protumačite tu vezu, ako postoji).
Nekoliko zadataka o dvoomjeru
1. Zadane su tri kolinearne točke u ravnini PG(2,R):
A(1,0,0), B(0,1,1) i C(1,2,2). Odredite točke D i F
za koje je dvoomjer
R(A,B;C,D) = 2, odnosno R(A,B;C,F) = -1.
2. Izračunajte dvoomjer R(A,B;C,D) za točke A(1,0,2),
B(1,1,0), C(1,2,-2), D(1,-2,6). Napišite sve vrijednosti
koje poprima dvoomjer za četvorke točaka dobivene
permutacijama A,B,C i D.
3. Neka su P, Q i E osnovne točke koordinatizacije projektivnog
pravca (dakle P(1,0), Q(0,1), E(1,1)) i neka su A, B, C točke
tog pravca koje s obzirom na navedene osnovne točke imaju
nehomogene koordinate redom 1/2, -2 i -3. Ako neka točka X
ima nehomogenu koordinatu x s obzirom na iste te osnovne
točke, koja će biti nehomogena koordinata točke X ako se za
osnovne točke izaberu A, B i C?
4. U ravnini PG(2,R) zadan je trovrh ABC. Neka su M, N i P
točke različite od vrhova koje pripadaju stranicama BC,
CA i AB redom. Nadalje, neka pravac q, različit od stranica
trovrha ABC, siječe stranice BC, CA i AB redom u točkama
X, Y, Z koje su različite od M, N i P. Dokažite da su točke
M, N i P kolinearne ako i samo ako za umnožak dvoomjera
vrijedi:
R(B,C;X,M) R(C,A;Y,N) R(A,B;Z,P) = 1.
(Pokušajte riješiti 4. zadatak uz što manje "petljanja" s
koordinatama, uzimajući u obzir što se naučilo o dvoomjeru.
Povežite ovaj zadatak, ako je moguće, s poznatim Menelajevim
teoremom i protumačite tu vezu, ako postoji).
|
