Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadaci s vježbi
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Phoenix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -

PostPostano: 20:07 pet, 18. 11. 2016    Naslov: Zadaci s vježbi Citirajte i odgovorite

Evo rješenja zadatka s vježbi što sam ostao dužan.
Zadatak je bio naći injekciju [tex] f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} [/tex] takvu da funkcija [tex] x \mapsto f(x) + \lambda x [/tex] nije injekcija ni za jedan [tex] \lambda [/tex] različit od nule. Kolegica je dala dobar primjer! Funkcija [tex] \frac {1} {x} [/tex] je takva, jedino je još trebamo dodefinirati u 0, a da ne narušimo injektivnost. To jedino možemo tako da stavimo da u 0 ima vrijednost 0. Provjeravanje neinjektivnosti se svodi da za dani [tex] \lambda [/tex] različit od 0 nađemo različite [tex] x [/tex] i [tex] y [/tex] takve da je [tex] \frac {y-x} {xy} = \lambda (y-x) [/tex]. Možemo uzeti [tex] x = 1 [/tex] i [tex] y = \frac {1} {\lambda} [/tex].
Kako naslutiti da bi to mogla biti baš funkcija [tex] \frac {1} {x} [/tex]? Općenito, provjeravanje neinjektivnosti se svodi da za dani [tex] \lambda [/tex] različit od 0 nađemo različite [tex] x [/tex] i [tex] y [/tex] takve da je [tex] \lambda = \frac{f(y) - f(x)} {y-x} [/tex]. Na desnoj strani jednakosti imamo nešto slično derivaciji (koja se ne smije koristiti na ovom kolokviju, ali možda može pomoći naslutiti nešto), točnije derivaciju funkcije u nekoj točki između [tex] x[/tex] i [tex] y [/tex]. Jasno, tražimo u tom slučaju primjer derivabilne funkcije. Pa kako [tex] \lambda [/tex] na lijevoj strani "šeće" po cijelom [tex] \mathbf{R} \backslash 0 [/tex], funkciju tražimo samo među onim čija derivacija pogađa cijeli [tex] \mathbf{R} \backslash 0 [/tex]. A takva je derivacija funkcije [tex] \frac {1} {x} [/tex].
Kolegice, Vi slobodno recite kako ste razmišljali (vjerojatno ima i neki ljepši način od ovog gore...).
Slobodno pitajte još nešto što vas zanima, nastojat ću tokom vikenda odgovoriti.

Pozdrav,
Josip Grgurić
Evo rješenja zadatka s vježbi što sam ostao dužan.
Zadatak je bio naći injekciju [tex] f : \mathbf{R} \to \mathbf{R} [/tex] takvu da funkcija [tex] x \mapsto f(x) + \lambda x [/tex] nije injekcija ni za jedan [tex] \lambda [/tex] različit od nule. Kolegica je dala dobar primjer! Funkcija [tex] \frac {1} {x} [/tex] je takva, jedino je još trebamo dodefinirati u 0, a da ne narušimo injektivnost. To jedino možemo tako da stavimo da u 0 ima vrijednost 0. Provjeravanje neinjektivnosti se svodi da za dani [tex] \lambda [/tex] različit od 0 nađemo različite [tex] x [/tex] i [tex] y [/tex] takve da je [tex] \frac {y-x} {xy} = \lambda (y-x) [/tex]. Možemo uzeti [tex] x = 1 [/tex] i [tex] y = \frac {1} {\lambda} [/tex].
Kako naslutiti da bi to mogla biti baš funkcija [tex] \frac {1} {x} [/tex]? Općenito, provjeravanje neinjektivnosti se svodi da za dani [tex] \lambda [/tex] različit od 0 nađemo različite [tex] x [/tex] i [tex] y [/tex] takve da je [tex] \lambda = \frac{f(y) - f(x)} {y-x} [/tex]. Na desnoj strani jednakosti imamo nešto slično derivaciji (koja se ne smije koristiti na ovom kolokviju, ali možda može pomoći naslutiti nešto), točnije derivaciju funkcije u nekoj točki između [tex] x[/tex] i [tex] y [/tex]. Jasno, tražimo u tom slučaju primjer derivabilne funkcije. Pa kako [tex] \lambda [/tex] na lijevoj strani "šeće" po cijelom [tex] \mathbf{R} \backslash 0 [/tex], funkciju tražimo samo među onim čija derivacija pogađa cijeli [tex] \mathbf{R} \backslash 0 [/tex]. A takva je derivacija funkcije [tex] \frac {1} {x} [/tex].
Kolegice, Vi slobodno recite kako ste razmišljali (vjerojatno ima i neki ljepši način od ovog gore...).
Slobodno pitajte još nešto što vas zanima, nastojat ću tokom vikenda odgovoriti.

Pozdrav,
Josip Grgurić


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 2:47 sub, 19. 11. 2016    Naslov: Citirajte i odgovorite

Alternativno objasnjenje zasto 1/x (bez derivacija):

[spoiler]Pozabavimo se prvo s [tex]\lambda>0[/tex].

S obzirom da zelimo da [tex]x\mapsto f(x)+\lambda x[/tex] nije injekcija, zelimo da ona prvo raste pa pada ili obratno.

S obzirom da je [tex]\lambda x[/tex] strogo rastuca, to cemo najlakse postici ako za f odaberemo strogo padajucu funkciju takvu da [tex]f(x) + \lambda x[/tex] ima jednu vertikalnu i jednu rastucu kosu asimptotu. Neka je vertikalna asimptota u [tex]x_0[/tex] te neka je [tex]k(x)[/tex] kosa asimptota. Imamo dva uvjeta:
[dtex]\lim_{x\to+\infty}(f(x)+\lambda x-k(x))=0,\\
\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty.[/dtex]

Za k(x) mozemo uzeti [tex]k(x)=\lambda x[/tex] pa se prvi uvjet svodi na [tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex]. Iz drugog uvjeta imamo
[dtex]\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty \iff \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty.[/dtex]
Tu sada mozemo stati i razmisliti koji [tex]x_0[/tex] bi trebalo odabrati za vertikalnu asimptotu. Za sada f ima smisla za [tex]\lambda > 0[/tex] i na [tex](x_0,+\infty)[/tex] ali sto s [tex]\lambda <0[/tex] i [tex](-\infty, x_0][/tex]? Ako odaberemo [tex]x_0\neq 0[/tex], onda ce biti dosta naporno prosirivati f tako da je kompatibilna sa [tex]\lambda <0[/tex] i jos uvijek injektivna. Ako odaberemo [tex]x_0=0[/tex], onda je f definirana na [tex](0,+\infty)[/tex], a prosiriti je do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] ce biti jednostavno - jednostavno prosirimo po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x i dodefiniramo u nuli kao f(0)=0. Hoce li sve skupa biti kompatibilno sa [tex]\lambda <0[/tex] jos ne znamo, ali idemo prvo rijesiti ovo sto znamo.

Znaci, imamo dva uvjeta: 0 je vertikalna asimptota za f te f tezi u 0 kada x tezi u beskonacnost. Mozemo, na primjer, uzeti [tex]f(x)=\frac{g(x)}{x}[/tex] za neku funkciju g koja raste sporije od x. Na primjer, g(x)=1. Dakle, f(x)=1/x.

Neka je sada [tex]\lambda < 0[/tex]. Tada je [tex]\lambda x[/tex] padajuca kosa asimptota za [tex]f(x)+\lambda x[/tex]. Prema tome, [tex]f(x)+\lambda x[/tex] je strogo padajuca funkcija kao suma dvije padajuce funkcije. Ona ide iz [tex]+\infty[/tex] u [tex]-\infty[/tex] ako se nuli priblizava slijeva i iz [tex]-\infty[/tex] u [tex]+\infty[/tex] ako se nuli pribilzava zdesna, sto znaci da x-os sijece dva puta pa nije injekcija.

Ostaje jos f prosiriti do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex]. Jedino gdje f nije definirana je u 0, a s obzirom da je 0 jedina vrijednost koju f ne pogadja, onda nema drugog izbora osim f(0)=0.

*********
Funkcija f se moze na puno nacina birati. Npr. mozemo uzeti dvije strogo padajuce funkcije p i q takve da p tezi u [tex]+\infty[/tex] kada x tezi u 0 zdesna, i q koja tezi u 0 kada x ide u beskonacnost. Onda definiramo f na [tex][0,+\infty)[/tex] kao f(0)=0, f(x)=p(x) za 0<x<c i f(x)=q(x) za [tex]x\geq c[/tex], gdje je c bilo koji pozitivan realan broj td. je [tex]p(c)\geq q(c)[/tex].

Na kraju, f dodefiniramo do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x.

Jedan izbor za f moze biti [tex]p(x)=\tan(-x+\pi/2)[/tex] i [tex]q(x)=e^{-x}[/tex] koje spojimo u npr. c=1/2.
[/spoiler]
Alternativno objasnjenje zasto 1/x (bez derivacija):

Spoiler [hidden; click to show]:



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Phoenix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -

PostPostano: 19:11 sub, 19. 11. 2016    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zapravo, ako bismo se vodili onim objašnjenjem preko derivacija, došli bismo, npr. do funkcije koja je jednaka [tex]\frac{1}{x}[/tex] za [tex]x<0[/tex] i [tex]x^2[/tex] za [tex]x\geq 0[/tex]. I slično kao za [tex]\frac{1}{x}[/tex], provjerom bismo vidjeli da zadovoljava isto svojstvo. A objašnjenje kako doći do funkcije [tex]\frac{1}{x}[/tex] dao je goranm (derivacija od [tex]\frac{1}{x}[/tex] nije surjektivna!).

Pozdrav,
Josip Grgurić
Zapravo, ako bismo se vodili onim objašnjenjem preko derivacija, došli bismo, npr. do funkcije koja je jednaka [tex]\frac{1}{x}[/tex] za [tex]x<0[/tex] i [tex]x^2[/tex] za [tex]x\geq 0[/tex]. I slično kao za [tex]\frac{1}{x}[/tex], provjerom bismo vidjeli da zadovoljava isto svojstvo. A objašnjenje kako doći do funkcije [tex]\frac{1}{x}[/tex] dao je goranm (derivacija od [tex]\frac{1}{x}[/tex] nije surjektivna!).

Pozdrav,
Josip Grgurić


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan