Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Parcijalni razlomci (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 17:46 sub, 28. 1. 2017    Naslov: Parcijalni razlomci Citirajte i odgovorite

Pozdrav ljudi :)
Imam problema sa sustavom jednadžbi
[tex]x^3 + y^3 + z^3 = 10\\
x + y +z = 4\\
xy + yz + xz = 2xyz + 1[/tex]
iz lanjskog kolokvija. Kad uzmem polinom [tex]p(t) = (t-x)(t-y)(t-z)[/tex], kojemu su [tex]x, y, z[/tex] nultočke, pa ga raspišem, dobijem [tex]p(t) = t^3 -4t^2 + (2xyz + 1)t - xyz[/tex] i tu stanem. Ne znam što da radim s ovim potencijama na treću i kako da ih iskoristim. Ako netko ima ideju što s tim, slušam. Unaprijed hvala :D
Pozdrav ljudi Smile
Imam problema sa sustavom jednadžbi
[tex]x^3 + y^3 + z^3 = 10\\
x + y +z = 4\\
xy + yz + xz = 2xyz + 1[/tex]
iz lanjskog kolokvija. Kad uzmem polinom [tex]p(t) = (t-x)(t-y)(t-z)[/tex], kojemu su [tex]x, y, z[/tex] nultočke, pa ga raspišem, dobijem [tex]p(t) = t^3 -4t^2 + (2xyz + 1)t - xyz[/tex] i tu stanem. Ne znam što da radim s ovim potencijama na treću i kako da ih iskoristim. Ako netko ima ideju što s tim, slušam. Unaprijed hvala Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 22:49 pon, 30. 1. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zadatak je riješen :) Za one koje zanima:
Treba kubirati izraz [tex](x+y+z)[/tex], pa se dobije

[tex]64 = 10 + 16xyz + xz(x+z) + xy(x+y) + yz(y+z) + 8[/tex]

što se primjenom druge jednadžbe (npr. x+y=4-z) pretvara u

[tex]64 = 18 + 16xyz + xz(4-y) + xy(4-z) + yz(4-x) + 8[/tex]

iz čega se daljnjim računanjem dođe do [tex]xyz=2.[/tex]

Polinom ispadne [tex]p(t) = t^3 - 4t^2 + 5t -2[/tex], s nultočkama 1, 1, 2. Nek se nađe prije kolokvija :D
Zadatak je riješen Smile Za one koje zanima:
Treba kubirati izraz [tex](x+y+z)[/tex], pa se dobije

[tex]64 = 10 + 16xyz + xz(x+z) + xy(x+y) + yz(y+z) + 8[/tex]

što se primjenom druge jednadžbe (npr. x+y=4-z) pretvara u

[tex]64 = 18 + 16xyz + xz(4-y) + xy(4-z) + yz(4-x) + 8[/tex]

iz čega se daljnjim računanjem dođe do [tex]xyz=2.[/tex]

Polinom ispadne [tex]p(t) = t^3 - 4t^2 + 5t -2[/tex], s nultočkama 1, 1, 2. Nek se nađe prije kolokvija Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 12:08 sri, 1. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Zna li mi netko objasniti rastav na parcijalne razlomke? Znala bih za neke jednostavne razlomke, ali konkretno za ovaj ne: [dtex]q(x) = \frac{1}{(x − 1)^3(x^2 + 1)^2(x + 3)^2}[/dtex]
U zadatku piše da treba napisati oblik rastava na parcijalne razlomke realne racionalne funkcije, i da koeficijente ne treba računati. Što to znači?
Zna li mi netko objasniti rastav na parcijalne razlomke? Znala bih za neke jednostavne razlomke, ali konkretno za ovaj ne: [dtex]q(x) = \frac{1}{(x − 1)^3(x^2 + 1)^2(x + 3)^2}[/dtex]
U zadatku piše da treba napisati oblik rastava na parcijalne razlomke realne racionalne funkcije, i da koeficijente ne treba računati. Što to znači?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 17:05 sri, 1. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

To znaci da se samo trazi da napises nesto poput
[dtex]q(x)=\frac{A(x)}{(x-1)^3}+\frac{B(x)}{(x^2+1)^2}+\frac{C(x)}{(x+3)^2},[/dtex]
gdje su A, B i C polinomi (koji mogu biti konstante). Ovo sto sam gore napisao nije niti priblizno tocno, vidjeti ces zasto kad procitas ostatak.

Poanta tog zadatka je da se provjeri znas li pravila za rastavljanje u parcijalne razlomke kada se u razlomku pojavljuje faktor koji je ireducibilan i stupnja veceg od 1.

Tako npr. razlomak [tex]\frac{1}{(x^2+1)(x+1)}[/tex] ima ireducibilan faktor stupnja 2, sto znaci da rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.[/dtex]
Dalje, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 1 koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)^2(x+1)}[/tex] onda rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A_1}{x+3}+\frac{A_2}{(x+3)^2}+\frac{B}{x+1}.[/dtex]
I, na kraju, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 2 ili vise, a koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)(x^2+1)^3}[/tex], onda imamo kombinaciju prethodne dvije situacije:
[dtex]\frac{A}{x+3}+\frac{B_1 x + B_2}{x^2+1}+\frac{B_3 x + B_4}{(x^2+1)^2}.[/dtex]

Ostaje jedino pitanje sto ako se u nazivniku pojavi polinom stupnja veceg od 2. U tom slucaju taj polinom mozes rastaviti na ireducibilne faktore, a oni mogu biti samo stupnja 1 ili 2.
To znaci da se samo trazi da napises nesto poput
[dtex]q(x)=\frac{A(x)}{(x-1)^3}+\frac{B(x)}{(x^2+1)^2}+\frac{C(x)}{(x+3)^2},[/dtex]
gdje su A, B i C polinomi (koji mogu biti konstante). Ovo sto sam gore napisao nije niti priblizno tocno, vidjeti ces zasto kad procitas ostatak.

Poanta tog zadatka je da se provjeri znas li pravila za rastavljanje u parcijalne razlomke kada se u razlomku pojavljuje faktor koji je ireducibilan i stupnja veceg od 1.

Tako npr. razlomak [tex]\frac{1}{(x^2+1)(x+1)}[/tex] ima ireducibilan faktor stupnja 2, sto znaci da rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.[/dtex]
Dalje, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 1 koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)^2(x+1)}[/tex] onda rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A_1}{x+3}+\frac{A_2}{(x+3)^2}+\frac{B}{x+1}.[/dtex]
I, na kraju, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 2 ili vise, a koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)(x^2+1)^3}[/tex], onda imamo kombinaciju prethodne dvije situacije:
[dtex]\frac{A}{x+3}+\frac{B_1 x + B_2}{x^2+1}+\frac{B_3 x + B_4}{(x^2+1)^2}.[/dtex]

Ostaje jedino pitanje sto ako se u nazivniku pojavi polinom stupnja veceg od 2. U tom slucaju taj polinom mozes rastaviti na ireducibilne faktore, a oni mogu biti samo stupnja 1 ili 2.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 10:57 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

A oblik izraza u brojniku ([tex]A[/tex], ili [tex]Ax+B[/tex]) pretpostavljam da ovisi o realnosti/kompleksnosti nultočaka polinoma koji je u nazivniku. Onda bi rastav trebao biti ovako, ili ga se može još rastaviti? [dtex]q(x)= \frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2(x+3)^2}= \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)^2}+\frac{D}{(x+3)^2}[/dtex]

I da, velika zahvala i lapohva :D
A oblik izraza u brojniku ([tex]A[/tex], ili [tex]Ax+B[/tex]) pretpostavljam da ovisi o realnosti/kompleksnosti nultočaka polinoma koji je u nazivniku. Onda bi rastav trebao biti ovako, ili ga se može još rastaviti? [dtex]q(x)= \frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2(x+3)^2}= \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)^2}+\frac{D}{(x+3)^2}[/dtex]

I da, velika zahvala i lapohva Very Happy


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 12:04 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Pogledaj jos jednom kako se rastavlja razlomak kada imas faktor dignut na neku potenciju. Npr. u rastavu za q nije dovoljno imati samo A/(x-1)^3 vec moras imati
[dtex]\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}.[/dtex]
Slicno moras napraviti s preostala dva sumanda.
Pogledaj jos jednom kako se rastavlja razlomak kada imas faktor dignut na neku potenciju. Npr. u rastavu za q nije dovoljno imati samo A/(x-1)^3 vec moras imati
[dtex]\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}.[/dtex]
Slicno moras napraviti s preostala dva sumanda.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 14:54 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Onda to nije točno raspisano ili nije do kraja raspisano (čisto da znam je li to legitiman međukorak)? Ako svaki još raspišem:
[dtex]q(x)= \frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}+ \frac{B_1 x+C_1}{x^2+1}+\frac{B_2 x+C_2}{(x^2+1)^2}+\frac{D_1}{x+3}+\frac{D_2}{(x+3)^2}[/dtex]
Onda to nije točno raspisano ili nije do kraja raspisano (čisto da znam je li to legitiman međukorak)? Ako svaki još raspišem:
[dtex]q(x)= \frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}+ \frac{B_1 x+C_1}{x^2+1}+\frac{B_2 x+C_2}{(x^2+1)^2}+\frac{D_1}{x+3}+\frac{D_2}{(x+3)^2}[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 16:03 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="krilo"]Onda to nije točno raspisano ili nije do kraja raspisano (čisto da znam je li to legitiman međukorak)?[/quote]
I jedno i drugo :) Medjukoraka ne bi trebalo biti, rjesenje je u jednom redu, kao u tvom postu iznad (koji je sada tocan).

Razlog zasto ti treba toliko konstanti je sto inace ne bi mogla rijesiti sustav koji bi dobila kada bi sve razlomke zbrojila i izjednacila koeficijente na lijevoj strani s onima na desnoj. Tako kada bi zbrojila desnu stranu u
[dtex]\frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2(x+3)^2}= \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)^2}+\frac{D}{(x+3)^2},[/dtex]u brojniku bi imali
[dtex]D x^7+x^6 (A+B-3 D)+x^5 (6 A+3 B+C+5 D)+x^4 (11 A-6 B+3 C-7 D)+x^3 (12 A-10 B-6 C+7 D)+x^2 (19 A+21 B-10 C-5 D)+x (6 A-9 B+21 C+3 D)+9 A-9 C-D[/dtex]
iz cega bi izvukli sustav s 4 nepoznanice i 8 jednadzbi koji nema rjesenje.
krilo (napisa):
Onda to nije točno raspisano ili nije do kraja raspisano (čisto da znam je li to legitiman međukorak)?

I jedno i drugo Smile Medjukoraka ne bi trebalo biti, rjesenje je u jednom redu, kao u tvom postu iznad (koji je sada tocan).

Razlog zasto ti treba toliko konstanti je sto inace ne bi mogla rijesiti sustav koji bi dobila kada bi sve razlomke zbrojila i izjednacila koeficijente na lijevoj strani s onima na desnoj. Tako kada bi zbrojila desnu stranu u
[dtex]\frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2(x+3)^2}= \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)^2}+\frac{D}{(x+3)^2},[/dtex]u brojniku bi imali
[dtex]D x^7+x^6 (A+B-3 D)+x^5 (6 A+3 B+C+5 D)+x^4 (11 A-6 B+3 C-7 D)+x^3 (12 A-10 B-6 C+7 D)+x^2 (19 A+21 B-10 C-5 D)+x (6 A-9 B+21 C+3 D)+9 A-9 C-D[/dtex]
iz cega bi izvukli sustav s 4 nepoznanice i 8 jednadzbi koji nema rjesenje.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 16:43 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Eeeeee super, puno hvala na pomoći... Nismo to bog-zna-što prošli na vježbama, pa mi ovo puno toga pojašnjava D

Još jedan, "za svaki slučaj"[dtex]q(x)=\frac{3}{(x-3)(x^2-x-6)(x^2+3x+4)^2}=3*\frac{1}{(x-3)(x+3)(x-4)(x^2+3x+4)^2}=[/dtex][dtex]=3*(

\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)})=

\frac{3A}{(x-3)}+\frac{3B}{(x+3)}+\frac{3C}{(x-4)}+\frac{3Dx+3E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{3Fx+3G}{(x^2+3x+4)}[/dtex]
Eeeeee super, puno hvala na pomoći... Nismo to bog-zna-što prošli na vježbama, pa mi ovo puno toga pojašnjava Very Happy

Još jedan, "za svaki slučaj":[dtex]q(x)=\frac{3}{(x-3)(x^2-x-6)(x^2+3x+4)^2}=3*\frac{1}{(x-3)(x+3)(x-4)(x^2+3x+4)^2}=[/dtex][dtex]=3*(

\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)})=

\frac{3A}{(x-3)}+\frac{3B}{(x+3)}+\frac{3C}{(x-4)}+\frac{3Dx+3E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{3Fx+3G}{(x^2+3x+4)}[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 17:45 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

Da, to je dobro. S time da rastav mozes napisati i kao
[dtex]\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)}.[/dtex]
Obrazlozenje je to da u nekom alternativnom svemiru ti si umjesto A pisala [tex]\tilde A[/tex], i isto tako za B, C, D itd. Onda su tvoji brojnici bili [tex]3\tilde A[/tex], [tex]3\tilde D x+3\tilde E[/tex] itd. pa si odlucila uvesti nove konstante A, B, C itd. takve da je [tex]A=3\tilde A[/tex], [tex]B=3\tilde B[/tex] itd.

Razlike izmedju te dvije situacije nema, jer u tom alternativnom svemiru "mnozenje s 3" je ukljuceno u "nove" varijable sustava, dok u ovom svemiru prvo rijesis sustav pa onda naknadno sa 3 mnozis rjesenja A, B, C itd.
Da, to je dobro. S time da rastav mozes napisati i kao
[dtex]\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)}.[/dtex]
Obrazlozenje je to da u nekom alternativnom svemiru ti si umjesto A pisala [tex]\tilde A[/tex], i isto tako za B, C, D itd. Onda su tvoji brojnici bili [tex]3\tilde A[/tex], [tex]3\tilde D x+3\tilde E[/tex] itd. pa si odlucila uvesti nove konstante A, B, C itd. takve da je [tex]A=3\tilde A[/tex], [tex]B=3\tilde B[/tex] itd.

Razlike izmedju te dvije situacije nema, jer u tom alternativnom svemiru "mnozenje s 3" je ukljuceno u "nove" varijable sustava, dok u ovom svemiru prvo rijesis sustav pa onda naknadno sa 3 mnozis rjesenja A, B, C itd.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
krilo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 0

PostPostano: 18:38 čet, 2. 2. 2017    Naslov: Citirajte i odgovorite

E super ) Hvala još jednom! thankyou
E super Smile Hvala još jednom! Thank you


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan