|
1. Ako je A realna kvadratna matrica reda 2, može li zbroj
rangova matrica A i A^2 iznositi 3? Može li taj zbroj
biti 1? Obrazložite, a u slučaju potvrdnog odgovora navedite
primjer.
2. Neka su A i B regularne matrice reda n. Dokažite da za svaki
cijeli broj k iz skupa {0,1,2,...n} postoji matrica X takva da
vrijedi: rang(AX+B) = k.
3. Ako su vektori R1, R2 iz F^n dva različita rješenja
nekog nehomogenog sustava linearnih jednadžbi s n nepoznanica,
za svaki od sljedećih vektora ispitajte je li on rješenje istog
tog nehomogenog sustava ili pridruženog homogenog sustava
ili nijednog od ta dva sustava:
3 R1 - 2R2 , R1 + R2 , 4 R1 - 2R2, 3 R1 - 3R2 , -R1 + 2R2 .
(Praktički trivijalan poklon-zadatak s jednog starog kolokvija, no
kako je tada neočekivano izazvao veliku "pomutnju", možda nije loše
pogledati).
4. Zadan je sustav linearnih jednadžbi s n nepoznanica nad
poljem [b]R[/b], koji ima beskonačno mnogo rješenja.
Dokažite da su tada ekvivalentne tvrdnje:
(a) sustav je homogen, ranga manjeg od n i
(b) skup rješenja zadanog sustava je potprostor vektorskog prostora
[b]R[/b]^n, dimenzije barem 1.
("Teorijski" zadatak s istog kolokvija kao prethodni zadatak).
5. Matricu [ 1 -1/ 2 1] (napisana po retcima) prikažite
kao umnožak jedne simetrične i jedne ortogonalne matrice.
6. Za svaku kvadratnu matricu A reda n čiji rang je manji od n
postoji matrica B, različita od jedinične matrice (E) takva da
vrijedi AB = A. Dokažite to.
7. Odredite neke dvije realne ortogonalne matrice reda 2 tako
da determinanta zbroja tih matrica iznosi 3/2.
8. Riješite (nelinearni!) sustav jednadžbi:
x + 3x^2 -2x^3 - x^4 = 10
-2x + 4x^2 -x^3 - 3x^4 = -20
5x - 7x^2 +5x^3 + 5x^4 = 2.
(Dakle, to je sustav jednadžbi stupnja "čak" 4, ali...).
1. Ako je A realna kvadratna matrica reda 2, može li zbroj
rangova matrica A i A^2 iznositi 3? Može li taj zbroj
biti 1? Obrazložite, a u slučaju potvrdnog odgovora navedite
primjer.
2. Neka su A i B regularne matrice reda n. Dokažite da za svaki
cijeli broj k iz skupa {0,1,2,...n} postoji matrica X takva da
vrijedi: rang(AX+B) = k.
3. Ako su vektori R1, R2 iz F^n dva različita rješenja
nekog nehomogenog sustava linearnih jednadžbi s n nepoznanica,
za svaki od sljedećih vektora ispitajte je li on rješenje istog
tog nehomogenog sustava ili pridruženog homogenog sustava
ili nijednog od ta dva sustava:
3 R1 - 2R2 , R1 + R2 , 4 R1 - 2R2, 3 R1 - 3R2 , -R1 + 2R2 .
(Praktički trivijalan poklon-zadatak s jednog starog kolokvija, no
kako je tada neočekivano izazvao veliku "pomutnju", možda nije loše
pogledati).
4. Zadan je sustav linearnih jednadžbi s n nepoznanica nad
poljem R, koji ima beskonačno mnogo rješenja.
Dokažite da su tada ekvivalentne tvrdnje:
(a) sustav je homogen, ranga manjeg od n i
(b) skup rješenja zadanog sustava je potprostor vektorskog prostora
R^n, dimenzije barem 1.
("Teorijski" zadatak s istog kolokvija kao prethodni zadatak).
5. Matricu [ 1 -1/ 2 1] (napisana po retcima) prikažite
kao umnožak jedne simetrične i jedne ortogonalne matrice.
6. Za svaku kvadratnu matricu A reda n čiji rang je manji od n
postoji matrica B, različita od jedinične matrice (E) takva da
vrijedi AB = A. Dokažite to.
7. Odredite neke dvije realne ortogonalne matrice reda 2 tako
da determinanta zbroja tih matrica iznosi 3/2.
8. Riješite (nelinearni!) sustav jednadžbi:
x + 3x^2 -2x^3 - x^4 = 10
-2x + 4x^2 -x^3 - 3x^4 = -20
5x - 7x^2 +5x^3 + 5x^4 = 2.
(Dakle, to je sustav jednadžbi stupnja "čak" 4, ali...).
|
