|
[b]Zadatak:[/b]
Ako su A, B i C kvadratne matrice reda 3, dokažite da se među
matricama AB, BC, CA, ABC i A+B+C uvijek mogu naći dvije
ekvivalentne matrice.
Rj.
Matrice jednakog tipa ekvivalentne su ako i samo ako su
jednakog ranga. Za kvadratne matrice reda 3 moguće
vrijednosti ranga su 0, 1, 2 i 3, dakle ukupno 4 moguće
vrijednosti ranga. Zato pet matrica reda 3 ne mogu imati
pet različitih vrijednosti ranga, nego barem dvije imaju
jednaki rang i onda su ekvivalentne.
[b]Zadatak:[/b]
Ako su B, C kvadratne matrice reda 4, dokažite da se među
matricama B, C, B+C, B-C, BB^t i BC^t uvijek mogu naći
dvije međusobno ekvivalentne matrice.
Rj.
Objašnjenje kao u prethodnom zadatku. Ovdje su moguće
vrijednosti ranga 0,1,2,3 i 4, dakle 5 vrijednosti, a navedeno
je 6 matrica reda 4 pa barem dvije imaju jednaki rang.
[b]Zadatak:[/b]
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s 5 nepoznanica takav
da je 4. stupac matrice sustava jednak polovici razlike
2. i 5. stupca, a da je stupac slobodnih koeficijenata jednak
zbroju 1., 3. i 5. stupca. Napišite neka tri rješenja zadanog
sustava.
Rj.
Označimo stupce matrice sustava sa S1 - S5, a stupac
slobodnih koeficijenata B (uobičajeno, za AX = B).
Znamo da je sustav rješiv ako i samo ako se B može napisati
kao linearna kombinacija S1-S5, a koeficijenti u takvoj
linearnoj kombinaciji čine jedno rješenje.
(Kronecker-Capelli teorem).
Ovdje je zadano B = S1 + S3 + S5 pa je očito rješenje
(1,0,1,0,1).
Nadalje, kako je zadano S4 = (S2 - S5)/2, imamo
S5 = S2 - 2S4 pa je također
B = S1 + S3 + S2 - 2S4 = S1 + S2 + S3 - 2S4 odakle je
i (1,1,1,-2,0) jedno rješenje sustava.
Daljnja rješenja najlakše dobivamo kao one linearne kombinacije
dva zasad poznata rješenja, u kojima je zbroj koeficijenata
jednak 1.
(Ako vrijedi AY = B i AZ = B, onda je i A(aY+bZ) = B
čim je a+b = 1).
Npr. 2(1,0,1,0,1) - (1,1,1,-2,0) = (1,-1,1,2,2) također je rješenje.
[b]Zadatak:[/b]
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s 5 nepoznanica takav
da je stupac slobodnih koeficijenata jednak zbroju svih stupaca
matrice sustava, a da je 3. stupac matrice sustava jednak
poluzbroju ostalih stupaca matrice sustava.
Napišite neka tri rješenja zadanog sustava.
Rj.
Uz oznake kao u prethodnom rješenju imamo
B = S1+S2+S3+S4+S5 pa je (1,1,1,1,1) jedno rješenje.
Nadalje, S3 = (S1+S2+S4+S5)/2 pa ako to uvrstimo
dobivamo B = 3S3 = 3(S1+S2+S4+S5)/2, tako da dobijemo i
rješenja (0,0,3,0,0) i (3/2, 3/2, 0, 3/2, 3/2).
Daljnja rješenja možemo dobiti pomoću navedenih na
način kao u prethodnom rješenju.
[b]Zadatak:[/b]
Neka je A kvadratna matrica reda n i ranga n.
Dokažite da je A regularna (invertibilna) matrica.
Rj.
Matrica A ekvivalentna je jediničnoj matrici jer je punog ranga
pa se može napisati u obliku A = R I S pri čemu su R i S
regularne matrice (dobivene kao umnošci elementarnih, a
elementarne jesu regularne). Kao umnožak regularnih
matrica i A je regularna, A^(-1) = S^(-1) R^(-1).
[b]Zadatak:[/b]
Neka je kvadratna matrica A reda n regularna (invertibilna).
Dokažite da je rang te matrice jednak n.
Rj.
Ako je rang matrice A jednak r, ona je ekvivalentna kanonskoj
matrici K_r i može se napisati kao umnožak A = R K_r S, pri
čemu su R i S regularne. Odatle je K_r jednaka umnošku
regularnih matrica pa je i sama regularna, a to znači da je r=n,
odnosno K_r = I, budući da je među kanonskim matricama
jedino ta invertibilna (očito).
Zadatak:
Ako su A, B i C kvadratne matrice reda 3, dokažite da se među
matricama AB, BC, CA, ABC i A+B+C uvijek mogu naći dvije
ekvivalentne matrice.
Rj.
Matrice jednakog tipa ekvivalentne su ako i samo ako su
jednakog ranga. Za kvadratne matrice reda 3 moguće
vrijednosti ranga su 0, 1, 2 i 3, dakle ukupno 4 moguće
vrijednosti ranga. Zato pet matrica reda 3 ne mogu imati
pet različitih vrijednosti ranga, nego barem dvije imaju
jednaki rang i onda su ekvivalentne.
Zadatak:
Ako su B, C kvadratne matrice reda 4, dokažite da se među
matricama B, C, B+C, B-C, BB^t i BC^t uvijek mogu naći
dvije međusobno ekvivalentne matrice.
Rj.
Objašnjenje kao u prethodnom zadatku. Ovdje su moguće
vrijednosti ranga 0,1,2,3 i 4, dakle 5 vrijednosti, a navedeno
je 6 matrica reda 4 pa barem dvije imaju jednaki rang.
Zadatak:
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s 5 nepoznanica takav
da je 4. stupac matrice sustava jednak polovici razlike
2. i 5. stupca, a da je stupac slobodnih koeficijenata jednak
zbroju 1., 3. i 5. stupca. Napišite neka tri rješenja zadanog
sustava.
Rj.
Označimo stupce matrice sustava sa S1 - S5, a stupac
slobodnih koeficijenata B (uobičajeno, za AX = B).
Znamo da je sustav rješiv ako i samo ako se B može napisati
kao linearna kombinacija S1-S5, a koeficijenti u takvoj
linearnoj kombinaciji čine jedno rješenje.
(Kronecker-Capelli teorem).
Ovdje je zadano B = S1 + S3 + S5 pa je očito rješenje
(1,0,1,0,1).
Nadalje, kako je zadano S4 = (S2 - S5)/2, imamo
S5 = S2 - 2S4 pa je također
B = S1 + S3 + S2 - 2S4 = S1 + S2 + S3 - 2S4 odakle je
i (1,1,1,-2,0) jedno rješenje sustava.
Daljnja rješenja najlakše dobivamo kao one linearne kombinacije
dva zasad poznata rješenja, u kojima je zbroj koeficijenata
jednak 1.
(Ako vrijedi AY = B i AZ = B, onda je i A(aY+bZ) = B
čim je a+b = 1).
Npr. 2(1,0,1,0,1) - (1,1,1,-2,0) = (1,-1,1,2,2) također je rješenje.
Zadatak:
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s 5 nepoznanica takav
da je stupac slobodnih koeficijenata jednak zbroju svih stupaca
matrice sustava, a da je 3. stupac matrice sustava jednak
poluzbroju ostalih stupaca matrice sustava.
Napišite neka tri rješenja zadanog sustava.
Rj.
Uz oznake kao u prethodnom rješenju imamo
B = S1+S2+S3+S4+S5 pa je (1,1,1,1,1) jedno rješenje.
Nadalje, S3 = (S1+S2+S4+S5)/2 pa ako to uvrstimo
dobivamo B = 3S3 = 3(S1+S2+S4+S5)/2, tako da dobijemo i
rješenja (0,0,3,0,0) i (3/2, 3/2, 0, 3/2, 3/2).
Daljnja rješenja možemo dobiti pomoću navedenih na
način kao u prethodnom rješenju.
Zadatak:
Neka je A kvadratna matrica reda n i ranga n.
Dokažite da je A regularna (invertibilna) matrica.
Rj.
Matrica A ekvivalentna je jediničnoj matrici jer je punog ranga
pa se može napisati u obliku A = R I S pri čemu su R i S
regularne matrice (dobivene kao umnošci elementarnih, a
elementarne jesu regularne). Kao umnožak regularnih
matrica i A je regularna, A^(-1) = S^(-1) R^(-1).
Zadatak:
Neka je kvadratna matrica A reda n regularna (invertibilna).
Dokažite da je rang te matrice jednak n.
Rj.
Ako je rang matrice A jednak r, ona je ekvivalentna kanonskoj
matrici K_r i može se napisati kao umnožak A = R K_r S, pri
čemu su R i S regularne. Odatle je K_r jednaka umnošku
regularnih matrica pa je i sama regularna, a to znači da je r=n,
odnosno K_r = I, budući da je među kanonskim matricama
jedino ta invertibilna (očito).
|
