DOKAZ - IZ POGLAVLJA Dirihleov princip i Ramseyev teorem (zadatak)

[inga]

Molim vas ako mi netko može pomoći s problemom

Dokažite da za svako n∈N postoji broj koji u dekadskom zapisu ima oblik 111...11000...00 koji je djeljiv sa n.

[vsego]

Malo sam zahrdjao, ali mislim da bi islo ovako nekako: pretpostavimo da tvrdnja nije istinita, tj. da niti jedan broj tog oblika nije djeljiv s n.

Za pocetak, gledamo samo brojeve oblika 11...1, koji cine podskup brojeva koji gledamo. Dakle, ni medju njima nema djeljivih s n. To znaci da pri dijeljenju s n svi daju ostatak izmedju 1 i n - 1, i.e., imamo n - 1 mogucih ostataka. No, brojeva tog oblika ima beskonacno mnogo, pa sigurno postoje dva koji daju isti ostatak (Dirichletov princip). Uzmimo takva dva i oduzmi manjeg od veceg.

Recimo da veci ima [tex]k_1[/tex] jedinica, a manji ih ima [tex]k_2[/tex] (dakle, [tex]k_1 > k_2[/tex]). Dobit cemo:

[tex]x = \underbrace{11...1}_{k_1} - \underbrace{11...1}_{k_2} = \underbrace{11...1}_{k_1 - k_2}\underbrace{00...0}_{k_2}[/tex].

Dakle, rezultat je oblika koji nam odgovara (prvo samo jedinice, a onda samo nule), no ujedno je rijec o broju koji je razlika dva broja koji daju isti ostatak pri dijeljenju s n, sto znaci da je x djeljiv s n.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.