|
Ovdje su zadaci s 1. kolokvija iz Konačnih geometrija.
Kasnije ću objaviti rješenja i komentare.
1. Dokažite da ne postoji simetrični dizajn s v = 29 točaka i
3 ≤ k ≤ 27.
(Ako se pojave parametri komplementarnih dizajna, dovoljno je
istražiti postojanje jednog od njih).
2. Razmatramo samo simetrične dizajne reda n = 7.
(a) U kojem intervalu su moguće vrijednosti broja točaka takvih
dizajna?
(Obrazložite, ne treba dokazati).
(b) Postoje li takvi dizajni s krajnjim mogućim (najmanjom i
najvećom) vrijednostima broja točaka? Obrazložite.
(c) Ima li nekih vrijednosti v unutar tog intervala za koje
je moguće postojanje simetričnih dizajna, s obzirom
na poznate nužne uvjete? Obrazložite.
3. (a) Napišite vrijednosti parametara v, b, r, k i λ za 3-dizajn
koji se dobiva
proširenjem Hadamardovog 2-(15,7,3) dizajna.
Koje su sve mogućnosti za broj zajedničkih točaka dvaju blokova u
tom 3-dizajnu?
(b) Opišite konstrukciju (ne treba efektivno ispisivati blokove)
2-(15,7,3) dizajna.
(c) Razmotrite sljedeći praktični problem: U vatrogasnoj stanici
radi 16 vatrogasaca. Treba načiniti raspored dežurstava za
svih 30 dana u jednom mjesecu, tako da svaki dan bude
dežurna polovica zaposlenih, da nijedan od njih ne dežura
više od 15 dana, a da se svaka trojica jednako mnogo puta
nađu zajedno u dežurnom timu. Imamo li rješenje pomoću dizajna? Obrazložite.
4. Grupa G = AGL(1, F) (afina grupa) sastoji se od preslikavanja
oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz polja F, a ≠ 0.
G djeluje 2-tranzitivno na skupu F = {0,1,2,3,4,5,6} elemenata
konačnog polja F = GF(7).
Uzmemo li B = {0,1,3,6}, skup svih slika skupa B pod djelovanjem G
bit će skup blokova jednog 2-dizajna čiji skup točaka je F.
Odredite sve parametre tog dizajna. (Uzmite u obzir red grupe G,
ukupni broj 4-članih podskupova od F i relaciju koja povezuje red
grupe G s brojem 4-članih podskupova u G-orbiti skupa B).
Ovdje su zadaci s 1. kolokvija iz Konačnih geometrija.
Kasnije ću objaviti rješenja i komentare.
1. Dokažite da ne postoji simetrični dizajn s v = 29 točaka i
3 ≤ k ≤ 27.
(Ako se pojave parametri komplementarnih dizajna, dovoljno je
istražiti postojanje jednog od njih).
2. Razmatramo samo simetrične dizajne reda n = 7.
(a) U kojem intervalu su moguće vrijednosti broja točaka takvih
dizajna?
(Obrazložite, ne treba dokazati).
(b) Postoje li takvi dizajni s krajnjim mogućim (najmanjom i
najvećom) vrijednostima broja točaka? Obrazložite.
(c) Ima li nekih vrijednosti v unutar tog intervala za koje
je moguće postojanje simetričnih dizajna, s obzirom
na poznate nužne uvjete? Obrazložite.
3. (a) Napišite vrijednosti parametara v, b, r, k i λ za 3-dizajn
koji se dobiva
proširenjem Hadamardovog 2-(15,7,3) dizajna.
Koje su sve mogućnosti za broj zajedničkih točaka dvaju blokova u
tom 3-dizajnu?
(b) Opišite konstrukciju (ne treba efektivno ispisivati blokove)
2-(15,7,3) dizajna.
(c) Razmotrite sljedeći praktični problem: U vatrogasnoj stanici
radi 16 vatrogasaca. Treba načiniti raspored dežurstava za
svih 30 dana u jednom mjesecu, tako da svaki dan bude
dežurna polovica zaposlenih, da nijedan od njih ne dežura
više od 15 dana, a da se svaka trojica jednako mnogo puta
nađu zajedno u dežurnom timu. Imamo li rješenje pomoću dizajna? Obrazložite.
4. Grupa G = AGL(1, F) (afina grupa) sastoji se od preslikavanja
oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz polja F, a ≠ 0.
G djeluje 2-tranzitivno na skupu F = {0,1,2,3,4,5,6} elemenata
konačnog polja F = GF(7).
Uzmemo li B = {0,1,3,6}, skup svih slika skupa B pod djelovanjem G
bit će skup blokova jednog 2-dizajna čiji skup točaka je F.
Odredite sve parametre tog dizajna. (Uzmite u obzir red grupe G,
ukupni broj 4-članih podskupova od F i relaciju koja povezuje red
grupe G s brojem 4-članih podskupova u G-orbiti skupa B).
|
