|
[b]1. zadatak[/b]
Iz osnovnog uvjeta λ (v-1) = k(k-1) za v = 29 imamo
28 λ = k(k-1), odakle jednostavnim razmatranjem djeljivosti
dobivamo rješenja (29,8,2) i (29,21,15) koja su komplementarna
pa je dostatno uzeti (29,8,2),
Ovdje nije ispunjen nužan uvjet egzistencije po teoremu
Bruck-Ryser-Chowla, jer diofantska jednadžba 6x^2 + 2y^2 = z^2
nema netrivijalnih rješenja (standardno razmatranje mod 3,
nakon redukcije na 3x^2 + y^2 = 2 t^2).
To je Primjer 7.8. u skriptama.
Dakle dizajn (29,8,2) ne postoji, a time nema simetričnih dizajna
s 29 točaka za 3 ≤ k ≤ 27.
[b]2. zadatak[/b]
Za broj točaka v simetričnog dizajna reda n vrijedi
4n -1 ≤ v ≤ n^2 + n + 1.
Donja međa odnosi se na Hadamardov dizajn, a
gornja na projektivnu ravninu.
Za n = 7 postoje dizajni za obje krajnje vrijednosti,
jer postoji PG(2,7) nad poljem reda 7 i postoji
Hadamardov (27,13,6), npr. po Paleyevoj konstrukciji
budući da je 27 potencija prim broja i to kongruentna
s 3 mod 4, tako da se konstrukcija bazira na kvadratima
različitima od 0 u polju GF(27).
(Teorem 6.12. u skriptama).
Za vrijednosti 27 < v < 57 razmatranjem djeljivosti
iz λ (v-1) = k(k-1), uz k = n + λ, pomoću čega imamo npr.
v = 2n + λ + 42/λ,
dobivamo moguća rješenja (31,10,3) i (37,9,2).
Oba ispunjavaju uvjet teorema Bruck-Ryser-Chowla,
jer jednadžba 7x^2 - 3y^2 = z^2 ima očito rješenje (1,1,2),
a jednadžba 7x^2 + 2 y^2 = z^2 ima očito rješenje (1,1,3).
(Inače, ne samo što su ispunjeni nužni uvjeti, nego
dizajni s ovim parametrima doista i postoje).
[b]3. zadatak[/b]
Proširenje Hadamardovog (15,7,3) dizajna je 3-(16,8,3) dizajn.
U njemu je b = 30, r = 15 što daje rješenje problema iz (c),
kad se uzme skup od 16 vatrogasaca i 30 osmorki (blokovi dizajna)
za 30 dana u mjesecu. Kako je r = 15, ispunjen je i taj uvjet.
Simetrični (15,7,3) konstruira se na poznati način iz Hadamardove
matrice reda 16, a ta se dobije Kroneckerovim produktom dviju
Hadamardovih matrica reda 4. (str. 25-28 u skriptama).
U bilo kojem 3-(4n, 2n, n-1) dizajnu koji nastaje proširenjem
Hadamardovog 2-(4n-1, 2n-1, n-1) dizajna dva bloka ili imaju
točno n zajedničkih točaka ili uopće nemaju zajedničkih točaka.
To se lako vidi iz konstrukcije proširenja, budući da se ono dobiva
tako da se uzmu komplementi blokova navedenog simetričnog
dizajna i blokovi tog dizajna prošireni jednom dodatnom točkom.
Tada prošireni "stari" blokovi imaju n zajedničkih točaka,
pojedini prošireni "stari" i njemu komplementarni "novi" blok
su disjunktni,
a prošireni "stari" blok i neki "novi" blok koji nije upravo
njegov komplementarni imaju n zajedničkih točaka.
4. zadatak
Po Teoremu 3.16. iz skripti, na način opisan u zadatku
svakako se dobiva neki 2-(7,4, λ) dizajn.
λ se može odrediti tako da se izračuna broj blokova b,
a to je broj različitih slika skupa B= {0,1,3,6} pod djelovanjem
grupe G = AG(1,7). Nije teško ni izravnim ispisivanjem
dobiti b=14, a kako je red grupe G jednak 42 te je taj broj
jednak umnošku reda stabilizatora skupa B i broja elemenata
njegove G-orbite, račun se može prvo reducirati na
slučajeve b = 7, 14 i 21.
Općenito vrijedi b = λ (v choose t)/ (k choose t), što
ovdje daje b = 7λ /2, λ = 4.
Riječ je, dakle, o 2-(7,4,4) dizajnu.
1. zadatak
Iz osnovnog uvjeta λ (v-1) = k(k-1) za v = 29 imamo
28 λ = k(k-1), odakle jednostavnim razmatranjem djeljivosti
dobivamo rješenja (29,8,2) i (29,21,15) koja su komplementarna
pa je dostatno uzeti (29,8,2),
Ovdje nije ispunjen nužan uvjet egzistencije po teoremu
Bruck-Ryser-Chowla, jer diofantska jednadžba 6x^2 + 2y^2 = z^2
nema netrivijalnih rješenja (standardno razmatranje mod 3,
nakon redukcije na 3x^2 + y^2 = 2 t^2).
To je Primjer 7.8. u skriptama.
Dakle dizajn (29,8,2) ne postoji, a time nema simetričnih dizajna
s 29 točaka za 3 ≤ k ≤ 27.
2. zadatak
Za broj točaka v simetričnog dizajna reda n vrijedi
4n -1 ≤ v ≤ n^2 + n + 1.
Donja međa odnosi se na Hadamardov dizajn, a
gornja na projektivnu ravninu.
Za n = 7 postoje dizajni za obje krajnje vrijednosti,
jer postoji PG(2,7) nad poljem reda 7 i postoji
Hadamardov (27,13,6), npr. po Paleyevoj konstrukciji
budući da je 27 potencija prim broja i to kongruentna
s 3 mod 4, tako da se konstrukcija bazira na kvadratima
različitima od 0 u polju GF(27).
(Teorem 6.12. u skriptama).
Za vrijednosti 27 < v < 57 razmatranjem djeljivosti
iz λ (v-1) = k(k-1), uz k = n + λ, pomoću čega imamo npr.
v = 2n + λ + 42/λ,
dobivamo moguća rješenja (31,10,3) i (37,9,2).
Oba ispunjavaju uvjet teorema Bruck-Ryser-Chowla,
jer jednadžba 7x^2 - 3y^2 = z^2 ima očito rješenje (1,1,2),
a jednadžba 7x^2 + 2 y^2 = z^2 ima očito rješenje (1,1,3).
(Inače, ne samo što su ispunjeni nužni uvjeti, nego
dizajni s ovim parametrima doista i postoje).
3. zadatak
Proširenje Hadamardovog (15,7,3) dizajna je 3-(16,8,3) dizajn.
U njemu je b = 30, r = 15 što daje rješenje problema iz (c),
kad se uzme skup od 16 vatrogasaca i 30 osmorki (blokovi dizajna)
za 30 dana u mjesecu. Kako je r = 15, ispunjen je i taj uvjet.
Simetrični (15,7,3) konstruira se na poznati način iz Hadamardove
matrice reda 16, a ta se dobije Kroneckerovim produktom dviju
Hadamardovih matrica reda 4. (str. 25-28 u skriptama).
U bilo kojem 3-(4n, 2n, n-1) dizajnu koji nastaje proširenjem
Hadamardovog 2-(4n-1, 2n-1, n-1) dizajna dva bloka ili imaju
točno n zajedničkih točaka ili uopće nemaju zajedničkih točaka.
To se lako vidi iz konstrukcije proširenja, budući da se ono dobiva
tako da se uzmu komplementi blokova navedenog simetričnog
dizajna i blokovi tog dizajna prošireni jednom dodatnom točkom.
Tada prošireni "stari" blokovi imaju n zajedničkih točaka,
pojedini prošireni "stari" i njemu komplementarni "novi" blok
su disjunktni,
a prošireni "stari" blok i neki "novi" blok koji nije upravo
njegov komplementarni imaju n zajedničkih točaka.
4. zadatak
Po Teoremu 3.16. iz skripti, na način opisan u zadatku
svakako se dobiva neki 2-(7,4, λ) dizajn.
λ se može odrediti tako da se izračuna broj blokova b,
a to je broj različitih slika skupa B= {0,1,3,6} pod djelovanjem
grupe G = AG(1,7). Nije teško ni izravnim ispisivanjem
dobiti b=14, a kako je red grupe G jednak 42 te je taj broj
jednak umnošku reda stabilizatora skupa B i broja elemenata
njegove G-orbite, račun se može prvo reducirati na
slučajeve b = 7, 14 i 21.
Općenito vrijedi b = λ (v choose t)/ (k choose t), što
ovdje daje b = 7λ /2, λ = 4.
Riječ je, dakle, o 2-(7,4,4) dizajnu.
|
