|
3.
Svaka točka X pravca OM ima homogene koordinate (x0:x1:x1) jer je
pravac OM određen jednadžbom x1 – x2 = 0. Za točku Y,
kao sjecište pravca ON (to je x1 + x2 = 0), dobiva se
Y (x0 : -x1 : x1).
Sjecište Z pravaca OM i S2 Y je točka (x0 + 2x1 : x1 : x1).
Sad nije potrebno (iako se može) izračunati točku T
da bi se dobila X',
jer zadano preslikavanje je kompozicija preslikavanja X u Z sa
samim sobom. Stoga se točka Z (x0 + 2x1 : x1 : x1) preslika u
(x0 + 2x1 +2x1 : x1 : x1) tj X' je (x0 + 4x1 : x1: x1).
Očito se jedina fiksna točka dobiva za x1=0 I to je (1:0:0), točka O.
Slika točke M je M'(4:1:1).
Izraženo pomoću nehomogene koordinate x = x1/x0 na pravcu OM,
imamo preslikavanje x' = x/(4x+1).
M ( ∞ ) –-> M' ( ¼).
4. Za dva centralno perspektivna četverovrha, uzmimo ABCD i A'B'C'D'
primjenom Desarguesovog teorema na 4 trovrha koji su određeni
s po 3 točke iz {A,B,C,D}, odnosno odgovarajuće 3 iz {A',B',C',D'},
dobivamo
općenito 4 osi perspektiviteta, na kojima se nalaze po 3 sjecišta
odgovarajućih parova stranica tih trovrha. Dakle, to je
općenito jedan potpuni četverostran.
No, čim su neka 4 od tih 6 sjecišta kolinearne točke,
kolinearnih je svih 6 pa je pitanje može li se baš to postići.
Odgovor: može, jer se izabere još jedan pravac kroz centar
perspektiviteta te na njemu točka D takva da npr. pravac CD
siječe os perspektiviteta trovrha ABC i A'B'C' u točki N
različitoj od K, L, M (kako bi se izbjegli degenerirani slučajevi,
premda nisu isključeni), a onda je D' sjecište
pravaca SD i NC'. Na taj način su K,L,M, N kolinearne,
a po prethodnoj primjedbi i preostala dva sjecišta 6 parova
odgovarajućih stranica incidentna su s tim pravcem.
Jedan specijalni slučaj u (proširenoj) euklidskoj ravnini imamo
za dva sukladna trokuta s paralelnim stranicama (translacija
koja jedan preslika u drugi zapravo je centralni perspektivitet u
kojem je centar neizmjerno daleka točka, a i os je neizmjerno
daleki pravac). Ovi trokuti nadopunjavaju se do paralelograma
koji su onda također pridruženi istom translacijom
(perspektivitetom, projektivno). Ovaj primjer nije općenit, jer je centar
perspektiviteta incidentan s osi, ali može pomoći da se lakše uoči
kako postupiti za opći slučaj. Recimo da su spojnice vrhova AA', BB' i CC'
paralelni pravci, ali da odgovarajuće stranice nisu paralelne nego
se sijeku u točkama nekog (euklidskog) pravca p.
Tada možemo točke D i D' izabrati
na pravcu paralelnom s AA', tako da npr. CD i C'D' budu
paralelni s p.
Još jedna napomena, kako bi ovo biilo zorno jasnije:
Prisjetiti se dokaza Desarguesovog teorema ako je projektivna
ravnina smještena u 3-dim. projektivni prostor (što je ovdje
također moguće).
3.
Svaka točka X pravca OM ima homogene koordinate (x0:x1:x1) jer je
pravac OM određen jednadžbom x1 – x2 = 0. Za točku Y,
kao sjecište pravca ON (to je x1 + x2 = 0), dobiva se
Y (x0 : -x1 : x1).
Sjecište Z pravaca OM i S2 Y je točka (x0 + 2x1 : x1 : x1).
Sad nije potrebno (iako se može) izračunati točku T
da bi se dobila X',
jer zadano preslikavanje je kompozicija preslikavanja X u Z sa
samim sobom. Stoga se točka Z (x0 + 2x1 : x1 : x1) preslika u
(x0 + 2x1 +2x1 : x1 : x1) tj X' je (x0 + 4x1 : x1: x1).
Očito se jedina fiksna točka dobiva za x1=0 I to je (1:0:0), točka O.
Slika točke M je M'(4:1:1).
Izraženo pomoću nehomogene koordinate x = x1/x0 na pravcu OM,
imamo preslikavanje x' = x/(4x+1).
M ( ∞ ) –-> M' ( ¼).
4. Za dva centralno perspektivna četverovrha, uzmimo ABCD i A'B'C'D'
primjenom Desarguesovog teorema na 4 trovrha koji su određeni
s po 3 točke iz {A,B,C,D}, odnosno odgovarajuće 3 iz {A',B',C',D'},
dobivamo
općenito 4 osi perspektiviteta, na kojima se nalaze po 3 sjecišta
odgovarajućih parova stranica tih trovrha. Dakle, to je
općenito jedan potpuni četverostran.
No, čim su neka 4 od tih 6 sjecišta kolinearne točke,
kolinearnih je svih 6 pa je pitanje može li se baš to postići.
Odgovor: može, jer se izabere još jedan pravac kroz centar
perspektiviteta te na njemu točka D takva da npr. pravac CD
siječe os perspektiviteta trovrha ABC i A'B'C' u točki N
različitoj od K, L, M (kako bi se izbjegli degenerirani slučajevi,
premda nisu isključeni), a onda je D' sjecište
pravaca SD i NC'. Na taj način su K,L,M, N kolinearne,
a po prethodnoj primjedbi i preostala dva sjecišta 6 parova
odgovarajućih stranica incidentna su s tim pravcem.
Jedan specijalni slučaj u (proširenoj) euklidskoj ravnini imamo
za dva sukladna trokuta s paralelnim stranicama (translacija
koja jedan preslika u drugi zapravo je centralni perspektivitet u
kojem je centar neizmjerno daleka točka, a i os je neizmjerno
daleki pravac). Ovi trokuti nadopunjavaju se do paralelograma
koji su onda također pridruženi istom translacijom
(perspektivitetom, projektivno). Ovaj primjer nije općenit, jer je centar
perspektiviteta incidentan s osi, ali može pomoći da se lakše uoči
kako postupiti za opći slučaj. Recimo da su spojnice vrhova AA', BB' i CC'
paralelni pravci, ali da odgovarajuće stranice nisu paralelne nego
se sijeku u točkama nekog (euklidskog) pravca p.
Tada možemo točke D i D' izabrati
na pravcu paralelnom s AA', tako da npr. CD i C'D' budu
paralelni s p.
Još jedna napomena, kako bi ovo biilo zorno jasnije:
Prisjetiti se dokaza Desarguesovog teorema ako je projektivna
ravnina smještena u 3-dim. projektivni prostor (što je ovdje
također moguće).
|
