Ideali u Z[i] (zadatak)

[krilo]

Pozdrav!
Rješavajući kolokvije nalazim puno zadataka s idealima koji uglavnom idu na isti kalup, ali ih ne znam riješiti. Konkretno, bi li mi tko znao objasniti koji je postupak za rješavanje zadataka tipa (2. kol. 2017., 4. zad)

U prstenu [tex]Z[i][/tex] promatramo ideal [tex]I = (3 + i, 12i).[/tex]
a) Je li [tex]I[/tex] glavni ideal i ako jest, prikažite ga kao takvog.
b) Je li i prost? Je li maksimalan?

Znam definicije glavnog ideala, prostosti i maksimalnosti, ali mi nije jasno kako doći do odgovora na ova pitanja. Od čega krenuti i s čime završiti? Hvala unaprijed.

[goranm]

Kako je [tex]\mathbb Z[i][/tex] domena glavnih ideala, onda ti je jasno koji je odgovor na prvi dio u a). Opet, s obzirom da je [tex]\mathbb Z[i][/tex] domena glavnih ideala, onda ideal (a,b) je ujedno generiran elementom nzd(a,b), gdje je nzd najveci zajednicki djelitelj. Znaci, trebas izracunati nzd(3+i,12i).

Sto se tice b), kako znamo da u domeni glavnih ideala (s jedinicom) ne-nul ideali su prosti ako i samo ako su maksimalni, tada odgovorom na jedno pitanje dobivamo odgovor i na drugo.

Kako bi utvrdili je li I=(nzd(3+i,12i)) najlakse je iskoristiti svojstva funkcije [tex]\varphi\colon a+bi\mapsto a^2+b^2[/tex]. Detalji se mogu pronaci i u skripti s vjezbi.

_________________
The Dude Abides

[anabella]

Molila bih za pomoć za 5. zadatak 2. kolokvija 2014. godine: https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/kolokviji/kol2_2013.pdf

Sve zadatke takve vrste sam do sad riješila standardno pomoću kineskog teorema o ostacima, ali nisam sigurna što da radim u ovom zadatku pošto se dijeli svim elementima danih ideala.

I također ako može neki hint za 2. zadatak iste te godine, drugi smjer dokaza: ako je f(a)=f(1), onda je a invertibilan (s f sam označila euklidsku funkciju).

[Gost]

Prvo pitanje stvarno ne razumijem, a drugo pitanje se bojim ista hintat jer se bojim da cu te samo odvest na krivi put sto god da kazem, pa evo rjesenje (za koje se nadam da je u redu):

Pretpostavimo da je [tex]f(a) = f(1)[/tex], te podijelimo [tex]1[/tex] sa [tex]a[/tex]. Preciznije, po teoremu o dijeljenju u Euklidovoj domeni, imamo



pri cemu su [tex] r, q \in A[/tex], te [tex]f(r) < f(a) = f(1)[/tex]. Dvije su mogucnosti; [tex]r = 0[/tex] ili [tex]r \ne 0[/tex]. Ako je nastupila prva mogucnost, onda je [tex]aq = 1[/tex], tj [tex]a[/tex] je invertibilan. Dokazimo da je druga mogucnost nemoguca.
Naime, tada bi bilo [tex]r = 1-aq[/tex], tj.


sto je kontradikcija sa od prije navedenim ([tex]f(r) < f(a) = f(1)[/tex]).

[krilo]

Imam par pitanja vezano za zadatke iz kolokvija https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/2015-16/PopAS2016_nast.pdf

1. U 4. zadatku traži se jezgra. Nakon nešto raspisa, dolazim do zaključka da mora vrijediti [tex]p(-1)=1=p(1)[/tex], ali tu ne vidim neki operativan raspis koji bi mi pomogao konkretno odrediti jezgru. Dalo bi se podijeliti taj uvjet na slučajeve kad je stupanj polinoma paran ili neparan, pa da se onda uvrste -1 i 1, ali to me dovede do uvjeta [dtex]a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_{1}=0[/dtex] kada je [tex]st(p)=n=2k, k \in N[/tex] i [dtex]a_{n}+a_{n-2}+...+a_{1}=0[/dtex] kada je [tex]st(p)=n=2k+1, k \in N[/tex], gdje su [tex]a_{i}[/tex] koeficijeni polinoma p. Ima tko ideju kako to srediti i odrediti je li ta jezgra prost ideal?

2. U 5. zadatku, kako se iščarobiraju ti homomorfizmi? Iz uvjeta da se jedinica preslikava u jedinicu i aditivnosti dobijem [dtex]\omega(a \in Z)=\omega(1+...+1)=\omega(1) \cdot a=a[/dtex] i dalje od toga ne znam. Kako se domoći nekih uvjeta za "korjeniti" dio elementa [tex]a+b\sqrt{2} \in Z[\sqrt{2}][/tex]?

[goranm]

[goranm]