|
Zadaci na 1. kolokviju, 5. prosinca 2019.
1.
U euklidskoj ravnini vrijedi sljedeća propozicija: Ako su ABCD i ADEF
dva paralelograma, tada je i četverokut BCEF paralelogram.
Formulirajte i dokažite tvrdnju u proširenoj euklidskoj (projektivnoj)
ravnini čiji je poseban slučaj navedena propozicija.
(U dokazu se možete poslužiti teoremima koji su naučeni na predavanjima).
2.
Metodom koordinata dokažite da u projektivnoj ravnini PG(2,F) nad
poljem F koje ima barem 3 elementa vrijedi Desarguesov teorem.
(Dokaz može biti kao s predavanja ili bilo koji ekvivalentni način).
3.
U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je kvadrat ABCD i preslikavanje
skupa točaka (projektivnog) pravca AC na sebe, tako da je svakoj
točki X tog pravca, različitoj od A i C, pridružena točka X´ na sljedeći način:
Neka je Y točka za koju vrijedi H(A,C;X,Y), točka Z sjecište pravaca
AD i BY, a točka T takva da vrijedi H(A,D;Z,T).
Tada je X´ sjecište pravaca AC i BT.
U pogodno odabranim projektivnim koordinatama izrazite formulu za
preslikavanje φ(X) = X´. Je li φ definirano za svaku točku projektivnog
pravca AC, ako dodatno zadamo da su točke A i C fiksne? Može li se
definicija φ proširiti tako da to bude bijekcija na skupu točaka pravca AC?
4.
Poznato je da u realnoj projektivnoj ravnini PG(2,[b]R[/b]) za svaka
dva četverovrha postoji projektivna transformacija (inducirana
linearnim operatorom) koja jedan četverovrh preslika u drugi.
Analogna tvrdnja ne vrijedi, dakako, za bilo koja dva peterovrha
(peterovrh - skup od 5 točaka takvih da nikoje 3 nisu kolinearne).
Ako je ABCDE peterovrh takav da je ABCD kvadrat, a E je točka
simetrična središtu tog kvadrata s obzirom na stranicu CD, iskažite
nužne i dovoljne uvjete na peterovrh PQRST za postojanje
projektivne transformacije koja vrhove ABCDE preslikava
redom u PQRST. (Uvjete treba iskazati samo pomoću incidencije i
to izraženo pomoću točaka P, Q, R, S i T).
Zadaci na 1. kolokviju, 5. prosinca 2019.
1.
U euklidskoj ravnini vrijedi sljedeća propozicija: Ako su ABCD i ADEF
dva paralelograma, tada je i četverokut BCEF paralelogram.
Formulirajte i dokažite tvrdnju u proširenoj euklidskoj (projektivnoj)
ravnini čiji je poseban slučaj navedena propozicija.
(U dokazu se možete poslužiti teoremima koji su naučeni na predavanjima).
2.
Metodom koordinata dokažite da u projektivnoj ravnini PG(2,F) nad
poljem F koje ima barem 3 elementa vrijedi Desarguesov teorem.
(Dokaz može biti kao s predavanja ili bilo koji ekvivalentni način).
3.
U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je kvadrat ABCD i preslikavanje
skupa točaka (projektivnog) pravca AC na sebe, tako da je svakoj
točki X tog pravca, različitoj od A i C, pridružena točka X´ na sljedeći način:
Neka je Y točka za koju vrijedi H(A,C;X,Y), točka Z sjecište pravaca
AD i BY, a točka T takva da vrijedi H(A,D;Z,T).
Tada je X´ sjecište pravaca AC i BT.
U pogodno odabranim projektivnim koordinatama izrazite formulu za
preslikavanje φ(X) = X´. Je li φ definirano za svaku točku projektivnog
pravca AC, ako dodatno zadamo da su točke A i C fiksne? Može li se
definicija φ proširiti tako da to bude bijekcija na skupu točaka pravca AC?
4.
Poznato je da u realnoj projektivnoj ravnini PG(2,R) za svaka
dva četverovrha postoji projektivna transformacija (inducirana
linearnim operatorom) koja jedan četverovrh preslika u drugi.
Analogna tvrdnja ne vrijedi, dakako, za bilo koja dva peterovrha
(peterovrh - skup od 5 točaka takvih da nikoje 3 nisu kolinearne).
Ako je ABCDE peterovrh takav da je ABCD kvadrat, a E je točka
simetrična središtu tog kvadrata s obzirom na stranicu CD, iskažite
nužne i dovoljne uvjete na peterovrh PQRST za postojanje
projektivne transformacije koja vrhove ABCDE preslikava
redom u PQRST. (Uvjete treba iskazati samo pomoću incidencije i
to izraženo pomoću točaka P, Q, R, S i T).
|
