Elementarna t. brojeva - predavanja kod T. Pejkovića 2020.

[tp]

Tema za obavijesti i odgovore na pitanja.
Tomislav Pejković

Added after 12 minutes:

U iducem tjednu se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 12-16 u skripti (prvi dio poglavlja o kongruencijama).

Na ovoj temi mozete postavljati pitanja ako vam nesto nije jasno ili trebate dodatna pojasnjenja.

S obzirom da je ovo vazno gradivo, nakon sto ponovno pocnu predavanja sazeto cemo proci definicije i tvrdnje, ali necemo moci ponoviti sve sto je napravljeno u skripti kako bi radili u normalnim okolnostima. Zato je jako bitno da studenti sami odgovorno pristupe ucenju vec sada i odmah postavljaju pitanja oko nejasnoca. Ne treba ocekivati da ce se pravila polaganja kolegija kao i standardi na kolokvijima i usmenim ispitima promijeniti.

[tp]

Nekoliko pitanja kao pomoc u samoprocjeni jeste li shvatili gradivo.

1) Kako u Teoremu o dijeljenju s ostatkom konkretno dobivamo kvocijent i ostatak? Primjerice, ako dijelimo -2434789593 sa 78332, sto racunamo da bismo dobili kvocijent i ostatak?

2) Modificirajte Teorem 1.1 (Teorem o dijeljenju s ostatkom) tako da ostatak r uzimamo iz nekog drugog potpunog sustava ostataka modulo a.

3) Zasto najveci zajednicki djelitelj dva broja ne racunamo tako da brojeve rastavimo na proste faktore i pomnozimo najvece potencije prostih brojeva koje ih oba dijele?

4) Dokazite da se najveci zajednicki djelitelj od tri broja moze prikazati kao linearna kombinacija ta tri broja pri cemu su koeficijenti u toj linearnoj kombinaciji cijeli brojevi.

5) Za svaki n>2 odredite n relativno prostih brojeva takvih da nikoja dva od njih nisu relativno prosti.

6) Izracunajte g=nzd(a,b) za a=394794, b=117384 te brojeve x i y takve da je ax + by = g
Rezultat: g=6, x=6191, y=-20822.

7) Odredite dva broja manja od 1000 za koje primjena Euklidovog algoritma zahtijeva barem 10 dijeljenja.

8 ) Dokazite da za prirodne brojeve a i b postoji beskonačno mnogo parova cijelih brojeva x i y takvih da je nzd(a,b) = ax + by. No, oni x i y koje dobijemo primjenom prosirenog Euklidovog algoritma su najmanji po apsolutnoj vrijednosti!

9) Odredite sve prirodne brojeve koji u skupu prirodnih brojeva imaju tocno
i) jednog djelitelja
ii) dva djelitelja
iii) tri djelitelja
iv) cetiri djelitelja

10) Zasto Propoziciju 1.9 nismo mogli dokazati tako da rastavimo a i b na proste faktore te uocimo da se p mora nalaziti u jednom ili drugom rastavu?

11) Da li analogon Propozicije 1.11 vrijedi za tri broja?

12) Odredite najmanji zajednicki visekratnik brojeva a=44357677, b=93239317, c=1781643. Kako racunate taj broj?
Rezultat: 414262285431, najprije izracunate d=nzv(a,b)=ab/nzd(a,b), a zatim nzv(d,c)=dc/nzd(d,c)

13) Za svaki slozeni broj n manji od 1000 zapisemo najmanji prosti faktor od n. Koji je najveci broj koji smo zapisali?

14) Dokazite da je skup svih neparnih prostih brojeva beskonacan.

15) Odredite sve prirodne brojeve koji su i Fermatovi i Mersennovi brojevi.

16) Ako je [tex]a\equiv b \pmod m[/tex] i [tex]c\equiv d \pmod m[/tex], je li nuzno [tex]a^c \equiv b^d \pmod m[/tex]? Dokazite ili navedite kontraprimjer.

17) Ako je [tex]x \equiv y \pmod m[/tex], onda je [tex]ax \equiv ay \pmod m[/tex], ali obrat opcenito ne vrijedi. Navedite neki primjer (u kojem su a i m prirodni brojevi).
Uz koje uvjete vrijedi obrat?

18 ) Koliko potpunih sustava ostatak modulo 7 je sadrzano u skupu [tex]\{x\in\mathbb{Z} \, : \, |x|\leq 7\}[/tex]?

19) Odredite neki potpuni sustav ostataka modulo 5 koji ne sadrzi potpuni sustav ostataka modulo 4.

20) Neka je S neki potpuni sustav ostataka modulo m. Koliko ima elemenata b u S za koje kongruencija [tex]ax \equiv b \pmod m[/tex] ima rjesenja?

21) Provjerite da vrijede svi aksiomi polja za skup [tex]\{0,1,\ldots,m-1\}[/tex] uz zbrajanje i mnozenje modulo m ako je m prost broj. Koja svojstva ne vrijede ako je m slozen broj i koju algebarsku strukturu dobivamo u tom slucaju?

22) Rijesite kongruenciju [tex]1104 x \equiv 624 \pmod{5919}[/tex].
Rezultat: [tex]x\equiv 1802,\, 3775,\, 5748 \pmod{5919}[/tex].

23) Kineski kapetan treba razdijeliti vojnike u grupe koje će obilaziti i izolirati zgrade u jednom distriktu Wuhana. Ako ih podijeli
u grupe po 3, ostaju mu 2 vojnika viska
u grupe po 4, ostaje mu 1 vojnik viska
u grupe po 5, ostaju mu 2 vojnika viska
u grupe po 7, ostaje mu 1 vojnik viska.
Koliko najmanje vojnika mora kapetan eliminirati da bi ih mogao podijeliti u grupe po 6?
Ako vojnika ima vise od 200, a manje od 1000, koliko ih tocno ima?
Rezultat: Ima ih 617.

24) Opisite postupak rjesavanja sustava linearnih kongruencija
[tex]a_1 x \equiv b_1 \pmod{m_1}, \ \ldots,\ a_k x \equiv b_k \pmod{m_k}.
[/tex]


-----------

U iducem tjednu (23.-27.3.2020) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 17-23 u skripti (drugi dio poglavlja o kongruencijama).

[tp]

U petak 27.3.2020. imat cemo prvi pokusaj bodovanja "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/GNL9FXdbiSD7SadW9
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Za ovaj prvi put nije bitno kod koga slusate predavanja.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1WpCmmvaahCJSh9MRoKaod8xYdK6XdFwagrEyY7VqpvY/edit?usp=sharing

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 12:45 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.
Zadaci ce biti iz rjesavanja linearnih kongruencija i Kineskog teorema o ostatcima.



Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima. Usput, u tu tablicu cu upisati i bodove s prva dva predavanja kad stignem.


Ovo je za sada vrlo eksperimentalno, nemojte se ljutiti ako ne upadnete u prvih 30 ljudi ili ako nesto krene po zlu. Bit ce jos vremena za skupljanje bodova ako se ova metoda pokaze korisna. Takodjer nemojte mi slati naknadne mailove, objasnjenja, molbe i slicno.

[tp]

Zavrsen je prvi krug "aktivnosti na nastavi". Hvala svima koji su sudjelovali.

Par napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.

Bilo je dosta pogresnih rezultata sto je steta jer ste lako mogli provjeriti rezultat uvrstavanjem u kongruenciju (u prvom), odnosno u sve kongruencije (u drugom zadatku). U dokumentu sa zadacima mozete provjeriti i rjesenja.

Bodovi su upisani u tablicu.

Iduci tjedan imat cemo novi krug aktivnosti, bit ce na vrijeme najavljeno.

[tp]

Prenosim obavijest sa web stranice kolegija:

[tp]

Nastavljamo s pitanjima za samoprocjenu shvacanja gradiva.

25) Koliko elemenata treba dodati reduciranom sustavu ostatak modulo m da bismo dobili potpuni sustav ostataka modulo m?
Napravite to za neke reducirane sustave ostataka modulo 10 i modulo 11.

26) U Teoremu 2.5 pokazano je da kad svaki element nekog potpunog sustava ostataka modulo m pomnozimo brojem a koji je relativno prost s m, dobivamo ponovno potpuni sustav ostataka modulo m.
U Teoremu 2.8 ista stvar je dokazana za reducirani sustav ostataka modulo m.
Sto se dogadja ako svakom elementu potpunog/reduciranog sustava ostataka pribrojimo neki cijeli broj a, dobivamo li ponovno potpuni/reducirani sustav ostataka?
Za potpuni sustav ostataka dajte potpuni odgovor, a za reducirani sustav ostataka odredite neke brojeve a takve da novi skup jest reducirani sustav ostataka i neke brojeve za koje novi skup nece biti reducirani sustav ostataka.
Uputa: Za reducirani sustav ostataka promotrite visekratnik od m te element koji je relativno prost sa m. Opcenito ce novi skup biti reducirani sustav ostataka ako i samo ako je a visekratnik produkta svih prostih djelitelja od m.

27) Odredite neki reducirani sustav ostataka modulo [tex]2^m[/tex], gdje je m prirodan broj.

28 ) Dokazite da je za m>2 zbroj elemenata u reduciranom sustavu ostataka modulo m djeljiv sa m.

29) Ako za neki cijeli broj a vrijedi [tex]a^p \not\equiv a \pmod{p}[/tex], onda p nije prost broj. Dokazite!
Koristeci tu cinjenicu (uz a=2), pokazite da 63 nije prost broj.
No, obrat gornje tvrdnje ne vrijedi: pokazite da za a=2 i p=341 gornja kongruencija vrijedi, ali 341 nije prost broj!

30) Koristeci mali Fermatov teorem izracunajte [tex]12^{111333} \pmod{35}[/tex] i [tex]10^{111333} \pmod{35}[/tex].
Rjesenje: Imamo [tex]12^{4}\equiv 1\pmod{5},\, 111333\equiv 1\pmod{4}\ \Rightarrow\ 12^{111333}\equiv 12^1 \equiv 2 \pmod{5}[/tex] i
[tex]12^{6}\equiv 1\pmod{7},\, 111333\equiv 3\pmod{6}\ \Rightarrow\ 12^{111333}\equiv 12^3\equiv 6 \pmod{7}[/tex],
pa je (koristimo npr. Kineski teorem o ostatcima) [tex]12^{111333}\equiv 27 \pmod{35}[/tex].
Imamo [tex]10\equiv 0\pmod{5},\ \Rightarrow\ 10^{111333}\equiv 0 \pmod{5}[/tex] i
[tex]10^{6}\equiv 1\pmod{7},\, 111333\equiv 3\pmod{6}\ \Rightarrow\ 10^{111333}\equiv 10^3\equiv 6 \pmod{7}[/tex],
pa je [tex]10^{111333}\equiv 20 \pmod{35}[/tex].

31) Kako koristenjem malog Fermatovog teorema racunamo zadnju ili zadnje dvije znamenke potencije nekog prirodnog broja?

32) Uz oznake iz izreke i dokaza Kineskog teorema o ostatcim (Teorem 2.7 u skripti), pokazite da je [tex]a_1 n_1^{\varphi(m_1)} + a_2 n_2^{\varphi(m_2)} + \cdots + a_r n_r^{\varphi(m_r)}[/tex] rjesenje danog sustava kongruencija.
Probajte primjerice rijesiti sustav iz zadatka 23 na ovaj nacin.

33) Ako su a i b prirodni brojevi kojima je najveci zajednicki djelitelj k, pomocu formule iz Teorema 2.11 pokazite da je tada
[tex]\varphi(ab) = k\varphi(a)\varphi(b)/\varphi(k)[/tex].

34) Za koje prirodne brojeve n je [tex]\varphi(3n) = 3\varphi(n)[/tex]?
Odgovor: Tocno za one n koji su djeljivi sa 3.

35) Za prirodan broj n razlicit od 2 i od 6 vrijedi [tex]\varphi(n) \geq \sqrt{n}[/tex]. Probajte dokazati neke posebne slučajeve ove tvrdnje, npr. za [tex]p^a[/tex] (p prost, a>1), za [tex]p[/tex] (p neparan prost), za [tex]2p^a[/tex] (p neparan prost, a>1), za [tex]2p[/tex] (prost p>4).
Kako nam ova tvrdnja moze pomoci u odredjivanju praslike Eulerove funkcije?

36) Dokazite Teorem 2.12 na drugi nacin tako da zapisete redom razlomke 1/n, 2/n, 3/n, ... (n-1)/n, n/n, potpuno ih skratite i izbrojite koliko razlomaka u tako dobivenom nizu ima nazivnik d.

37) Iskazite i dokazite obrat Wilsonovog teorema.

38 ) Zasto u dokazu Primjera 2.8 nismo mogli za m uzeti [tex]4p_1 p_2 \cdots p_n +1[/tex]?

39) Odredite neki nekonstantni polinom f(x) kojemu koeficijenti nisu djeljivi prostim brojem p i kongruencija [tex]f(x)\equiv 0 \pmod{p}[/tex] nema rjesenja modulo p.
Rjesenje: Npr. polinom f(x) = x^p - x +1. Zasto?

40) Koristeci Wolstenholmeov teorem pokazite da je za prost broj p>3, brojnik razlomka [dtex]\frac{1}{1(p-1)} + \frac{1}{2(p-2)} + \cdots + \frac{1}{(\frac{p-1}{2})(\frac{p+1}{2})}[/dtex] djeljiv sa p.

41) Za [tex]f(x) = x^2 + x + 1[/tex] odredite koliko ima rjesenja kongruencija [tex]f(x)\equiv 0 \pmod{3}[/tex] te koliko rjesenja ima kongruencija [tex]f(x)\equiv 0 \pmod{9}[/tex]. Probajte rijesiti drugu kongruenciju koristeci Henselovu lemu. U cemu je problem?

42) Zasto je vazno kod rjesavanja kongruencije primjenom Henselove leme ispitati u svakom koraku da li smo dobili tocno medjurjesenje?

43) Zasto iz [tex]a^8\equiv a^5\equiv 1 \pmod{n}[/tex] mozemo zakljuciti da je [tex]a\equiv 1 \pmod{n}[/tex]? Sto mozemo zakljuciti iz [tex]a^{10}\equiv a^6\equiv 1 \pmod{97}[/tex]?

44) Koji je najveci moguci red elementa
i) modulo 8
ii) modulo 25
iii) modulo 54

45) Koliko ima primitivnih korijena modulo prost broj p? Ako znate jedan primitivni korijen, kako cete dobiti ostale?
Odredite sve primitivne korijene modulo 19.

46) Kako bismo utvrdili da je a primitivni korijen modulo n, dovoljno je provjeriti da je [tex]a^d\not\equiv 1 \pmod{n}[/tex] za sve prave djelitelje d od [tex]\varphi(n)[/tex]. Zasto to vrijedi?

47) Odredite dva neparna prosta broja p i q tako da je
i) p primitivni korijen modulo q, ali q nije primitivni korijen modulo p
ii) p je primitivni korijen modulo q i q je primitivni korijen modulo p

48 ) Dokazite da je 14 primitivni korijen modulo 29, ali nije primitivni korijen modulo 29^2.

49) Ako svaki element u nekom reduciranom sustav ostataka modulo n mozemo zapisati kao potenciju s istom bazom, sto mozemo reci o broju n?

50) Koliko je [tex]ind_{g}(n-1)[/tex] ako je g primitivni korijen modulo n?

51) Ako je c cijeli broj koji zadovoljava kongruenciju [tex] 5^x \equiv * \pmod 7[/tex], napisite jos jedan broj koji zadovoljava tu kongruenciju. (Ovdje smo sa * oznacili nepoznati, ali fiksirani broj.)

Added after 5 minutes:

-----------

U ovom tjednu (30.3.-3.4.2020) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da zavrse sve sto im je preostalo u drugom poglavlju (kongruencije) te rjesavaju zadatke s natjecanja (kako rijesene primjere tako i dodatne zadatke na dnu web stranice kolegija).

[tp]

U utorak 31.3.2020. imat cemo drugi susret "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/J32qJBJRm9T5fFx39
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Svi studenti (neovisno o grupi) mogu sudjelovati.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ML0Nle00voJ00qzXQe7wQklpcJYnTkEiUVCNe_CEHEE/edit?usp=sharing

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 13:20 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.
Zadaci ce biti odredjivanje ostataka potencija modulo zadani broj te odredjivanje praslike Eulerove funkcije.

Napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.


Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima. Usput, u tu tablicu cu upisati i bodove s prva dva predavanja kad stignem.

[tp]

Hvala svima koji su sudjelovali u danasnjim Aktivnostima na nastavi. Bodovi su upisani u tablicu, a u tablici sa zadacima mozete vidjeti i tocna rjesenja.


Par komentara:

Kod racunanja zadnje dvije znamenke zapravo racunamo ostatak modulo 100. Mogli ste na pocetku reducirati bazu, ali to nije nuzno (npr. umjesto 237^135, pisemo 37^135). Ako je baza relativno prosta sa 100, moglo se direktno koristiti Eulerov teorem, recimo u gornjem primjeru imamo nzd(37,100)=1 i fi(100)=fi(4)*fi(25)=2*20=40, pa je 37^40=1 (mod 100). Sada je dovoljno izracunati ostatak pri dijeljenju eksponenta sa 40, u ovom slucaju 15, pa imamo 37^135 = 37^15 (mod 100).
Ovo zadnje mozemo lako izracunati, ne treba odmah u kalkulator uvrstiti i onda se cuditi sto dobijemo preveliki broj. Bolje je racunati npr. 37^5, reducirati modulo 100 (uzeti ostatak pri dijeljenju sa 100) i onda to jos potencirati s eksponentom 3.
Ako je eksponent neki prosti broj, nije problem, recimo za 37^19 bi racunali npr. (37^4)^4 * 37^3 i u svakom koraku reducirali modulo 100.
Ako zelite biti sistematicni, mozete eksponent zapisati u bazi 2, npr.
19 = 1*16 + 1*2 + 1 te racunati redom
37, 37^2, 37^4, 37^8, 37^16 modulo 100. U svakom koraku kvadrirate prethodni broj i reducirate modulo 100.
Na kraju 37^19 dobijete tako da pomnozite sto ste dobili za 37^16, 37^2 i 37 te reducirate modulo 100.

Ako baza nije relativno prosta sa modulom, onda moramo rastaviti modul koji gledamo na produkt potencija razlicitih prostih brojeva, u ovom slucaju 100 = 4 * 25.
Sada gledamo posebno modulo 4, a posebno modulo 25.
Recimo za 238^135 bismo imali
238^135 = 0 (mod 4) jer je 238 djeljivo sa 2, pa je svaka njegova potencija od kvadrata nadalje djeljiva sa 4,
238^135 = (238^20)^6 * (238^15) = 1^6 * (13^15) (mod 25) gdje smo u prvoj zagradi koristili Eulerov teorem i činjenicu da je nzd(238,25)=1, fi(25)=20, a drugu zagradu izracunamo kako sam gore komentirao.
Tako dobivamo sustav
x = 238^135 = 0 (mod 4)
x = 238^135 = 7 (mod 25)
Mozemo, naravno, ovo rijesiti pomocu Kineskog teorema o ostatcima, ali jos je lakse gledati koji ostatci pri dijeljenju sa 100 zadovoljavaju drugu jednadzbu, to su 7, 32, 57, 82 i onda od njih uzeti onaj koji zadovoljava i prvu jednadzbu, u ovom slucaju 32.

Kod racunanja praslike Eulerove funkcije fi treba pripaziti da kod odredjivanja mogucih prostih faktora pokupimo sve djelitelje od fi(n). Recimo broj 2^3 * 3^2 * 5 ima (3+1)(2+1)(1+1) = 24 djelitelja, pa imamo 24 potencijalne vrijednosti za p-1 od kojih izaberemo samo one koje ce nam uvecane za 1 dati prosti broj (ovdje treba biti oprezan jer studenti vrlo cesto propuste neki prosti broj ili uzmu neki broj koji im se cini prost, a zapravo to nije).
Kada dalje rjesavamo zadanu jednadzbu f(n) = nesto, krecemo od najveceg moguceg prostog djelitelja od n i pazljivo pokrivamo sve slucajeve. Pri tome cemo neke slucajeve moci relativno lagano rijesiti (npr. ako dobijemo fi(k)=1 ili 2 ili 4 ili da je fi(k) neparan broj veci od 1). U drugim slucajevima treba rijesiti novodobivenu jednadzbu oblika fi(k) = nesto_drugo, gdje nam je broj desno sada manji od onoga koji smo imali prije, ali svejedno treba biti temeljit (ne moze se samo npr. pogledati je li nesto_drugo + 1 prost broj i misliti da smo time pokrili sve slucajeve). Ono sto nam moze koristiti jest da je k djelitelj od n, pa ako znamo koji su prosti faktori moguci u n, znamo i koji prosti faktori (i s kojim eksponentima) se mogu pojaviti u k.

Napominjem da je i u prvom, a pogotovo u drugom zadatku moguce dobiti tocno rjesenje a da ste zadatak krivo ili nepotpuno rijesili. To vam u ovim "aktivnostima" oduzima samo mozda nekoliko bodova, ali nije dobro da se naviknete na krivi postupak, prvenstveno zbog svoje moralno-intelektualne izgradnje, a onda i ako se jednoga dana vratimo na faks i imamo kolokvije jer ce vam takva rjesenja biti znatno penalizirana.


"Vidimo se" opet u petak.

[tp]

Jedan kolega mi se javio s komentarom da nije dobio nikakve bodove. Nazalost, ja nisam primio njegovo rjesenje, tj. nije mi uopce zabiljezeno da je uploadao file u formularu. Ako se i vama isto dogodilo (poslali ste rjesenje preko formulara, ali uopce nemate bodove ni za jedan ni za drugi zadatak), molim vas da mi se javite mailom.

[tp]

Prva domaća zadaća objavljena je ovdje.
Rok za predaju zadaće je četvrtak 9.4.2020. u podne. Studenti trebaju ulogirani u google račun koji mogu besplatno otvoriti svoju zadaću u pdf obliku
(natipkanu u texu, skeniranu ili fotografiranu, pa prebačenu u pdf) predati preko ovog formulara.

[tp]

U petak 3.4.2020. imat cemo treci susret "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/8TXhRM6qrnJ3SWgo6
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Svi studenti (neovisno o grupi) mogu sudjelovati.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Gt3rho4skiRvRqynjKVfcwyWtr0HT9u20nWlAlpmltY/edit?usp=sharing

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 13:20 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.
Zadaci ce biti iz primjene Henselove leme.

Napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.


Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima. Usput, u tu tablicu cu upisati i bodove s prva dva predavanja kad stignem.

[tp]

Zavrsen je novi krug aktivnosti, bodovi su upisani.

U utorak 7.4.2020. imat cemo cetvrti susret "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/zYqSAeTHH7AEGp6T9
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Svi studenti (neovisno o grupi) mogu sudjelovati.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1f8C5norvGcpiwo0JheMQHE1u00YswP-K5xQLVDh7bvc/edit?usp=sharing
(ne trebate traziti pristup, tj. "request access" jer cete moci pristupiti tek kad i svi ostali)

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 13:20 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Ne pokusavajte rjesenja slati na email jer nece biti priznata!

Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.

Zadaci ce biti vezani uz odredjivanje primitivnih korijena i rješavanje kongruencija pomoću indeksa.

Napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.


Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima.

[tp]

I ova aktivnost je zavrsena.
Jos jednom podsjecam da ne racunate velike potencije na kalkulatoru direktno jer cete dobiti gresku ili neku besmislicu (npr. da je 3^30 djeljivo sa 37 ili slicno).

Upisani su bodovi s aktivnosti, upisao sam i bodove s prva dva tjedna predavanja.
Pozivam da i dalje rjesavate zadatke. Cak i ako ste skupili bodove za aktivnosti na nastavi, mozete odvojiti nesto vremena dok budu trajale iduce aktivnosti i rijesiti sebi za vjezbu neki od zadataka koji su pridruzeni drugim studentima. Naravno, takva rjesenja ne predajete, ali nedugo nakon zatvaranja aktivnosti stavim rjesenja tako da mozete provjeriti koliko ste bili uspjesni.

Daljnje aktivnosti nastavit cemo nakon Uskrsa, bit ce na vrijeme o tome obavijest.

-----------

U ovom tjednu (6.4-10.4.2020.) studenati koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica imaju pauzu da se saberu i odmore.

U iducem tjednu (13.4.-17.4.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 47-49 u skripti (prve tri strane poglavlja 5. Aritmeticke funkcije) te zasebni odjeljak O distribuciji prostih brojeva.


Sretan Uskrs!

[tp]

U tablicu sa zadacima upisana su i rjesenja 1. domace zadace, a u tablici s bodovima mozete vidjeti koliko ste bodova dobili.

Nazalost, cesta greska u drugom zadatku je da studenti rastavljaju kongruenciju na dvije kongruencije kojima moduli nisu relativno prosti.

Npr. x=29 (mod 32) rastave na x=29 (mod 4) i x=29 (mod 8 ) sto ocito ne vrijedi (uvrstite npr. x=5 u zadnje dvije i u prvu kongruenciju) ili x=13 (mod 24) rastave na x=13 (mod 4) i x=13 (mod 6) (takodjer krivo, uvrstite x=1). Prvu kongruenciju ne treba rastavljati jer je modul vec potencija prostog broja, a drugu se rastavlja na x=13 (mod 3) i x=13 (mod 8 ).

Za daljnje upite o toj zadaci obratite se asistentici Boksic.

-------------------------------------------

Upute o iducoj aktivnosti na nastavi koja ce se odvijati u petak 17.4.2020. objavljene su na web stranici kolegija, aktivnost ce voditi profesorica Franusic.

[tp]

U petak 24.4.2020. imat cemo sesti susret "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/hvKMBLozZtrhqUPx7
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Svi studenti (neovisno o grupi) mogu sudjelovati.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1jt0FQvz_mdGgjuAHwo6mTO9uziykmPanpnwun17HzWI/edit?usp=sharing
(ne trebate traziti pristup, tj. "request access" jer cete moci pristupiti tek kad i svi ostali)

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 13:20 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Ne pokusavajte rjesenja slati na email jer nece biti priznata!

Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.

Zadaci ce biti vezani uz odredjivanje najvece potencije danog prirodnog broja koja dijeli zadani faktorijel ili binomni koeficijent.

Napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.


Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima.

[tp]

U ovom tjednu (20.-24.4.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 29-37 u skripti (3. poglavlje, Kvadratni ostatci).

[tp]

Upisani su bodovi s danasnje aktivnosti.

U cetvrtak 30.4.2020. imat cemo sedmi susret "aktivnosti na nastavi".

Tocno u 12 sati (podne) bit ce otvoren formular https://forms.gle/ji19iUHbGUbNCbs96
Formular je trenutno zatvoren, a morat cete biti ulogirani u google racun da biste ga ispunili (ako nemate, mozete besplatno otvoriti google racun).

Trebat cete upisati vasu email adresu, ime i prezime.
Formular ce se zatvoriti u 12:15 ili kada se prvih 30 osoba upise (sto god bude prije). Mozete se upisati samo jedanput. Svi studenti (neovisno o grupi) mogu sudjelovati.


Nakon toga, u 12:20 zadatke cete moci naci uz svoje ime i prezime (takodjer je trenutno zatvoreno i otvorit ce se tek nakon 12:15) ovdje:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LQdPvCtAL3W2cMWbq_f_BLMfUQYWrBbx9zv37l-XflA/edit?usp=sharing
(ne trebate traziti pristup, tj. "request access" jer cete moci pristupiti tek kad i svi ostali)

Vas zadatak trebate rijesiti i predati (npr. fotografiju lista papira s rjesenjem ili pdf file u kojem ste natipkali rjesenje) u isti formular od gore koji ce se u medjuvremenu ponovno otvoriti (na dnu ce biti opcija za uploadanje filea) i to najkasnije do 13:20 kada ce se formular ponovno zatvoriti. Ne pokusavajte rjesenja slati na email jer nece biti priznata!

Jasno da rjesenje mora biti ne samo tocno, nego i potpuno tako da se vidi da ste sve korake napravili.

Zadaci ce biti vezani uz racunanje Legendreova i Jacobijeva simbola.

Napomena: ako zelite predati vise listova, morate pretvoriti svoje slike u jedan pdf file (to je i za jedan list korisno). Za konverziju iz slika u pdf mozete koristiti neki od alata na internetu, npr. 1, 2, 3, 4.


Kroz neko vrijeme kad provjerim rjesenje ce vam bodovi biti upisani u tablicu s bodovima.

[tp]

U ovom tjednu (27.-30.4.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz prilog Sume kvadrata i odgovarajuce slideove za predavanja.

[tp]

Upisani su bodovi s danasnje "aktivnosti na nastavi".

Ako tko od onih koji su dobili manje od 5 bodova zeli, neka mi se javi, pa cu mu poslati link na njegova rjesenja zajedno s komentarima.

Ovo su neki opceniti komentari:

- Neki nisu procitali pjesmicu/upozorenje koja je stajalo uz zadatke:
Ako je dolje paran, račun ti je kvaran.
Ako je dolje minus, potpiši se asinus.

- Slobodno mozete koristiti Jacobijev simbol u racunanju Legendreovog simbola. Dakle, izlucite potenciju broja dva koja se gore pojavljuje, to se svodi samo na 2 ili nista jer kvadrate lako rijesite, (a^2 / q) = 1 ako nzd(a,q)=1 sto sigurno vrijedi kad je a potenciju od 2 i q neparan broj. Zatim primijenite kvadratni zakon reciprociteta.
Primjerice, kod (385/811) ne morate rastavljati 385 = 5*7*11 i onda racunati svaki od tri novodobivena Legendreova simbola, nego naprosto postupate kao da se radi o Jacobijevom simbolu i racunate (385/811) = [385=1 (mod 4)] = (811/385) = (41/385) = (385/41) = (16/41) = [16 je kvadrat] = 1.

- Neki studenti si kompliciraju zivot tako sto Gaussov kvadratni zakon reciprociteta zapisu kao (p/q)*(q/p)=(-1)^{odgovarajuci eksponent} i onda vuku takvu jednakost cijelo vrijeme racunajuci u njoj jedan od simbola kroz vise koraka. No, ljepse i prakticnije vam je naprosto napisati
(p/q) = (-1)^{odgovarajuci eksponent} * (q/p) i onda dalje normalno nastavljate jednakost racunajuci (q/p).


-------------------------------------------

Iduci tjedan nece biti aktivnosti, nego ce vjerojatno biti zadana 2. domaca zadaca.

Kasnije cemo jos u aktivnostima raditi razvoj racionalnog broja i kvadratne iracionalnosti u verizni razlomak, rjesavanje linearnih diofantskih jednadzbi, odredjivanje Pitagorinih trojki i rjesavanje Pellovih jednadzbi.

[tp]

U ovom tjednu (4.-8.5.2020.) se od studenata koji slušaju predavanja kod T. Pejkovića očekuje da samostalno prodju kroz str. 75-78 u skripti, odnosno materijale vezane uz linearne diofantske jednadzbe i Pitagorine trojke.


Podsjecam da je jucer objavljena 2. zadaca s rokom predaje u ponedjeljak 11.5.2020. u podne (zadaca i formular za predaju).


Iduce dvije "aktivnosti na nastavi" ce biti u utorak 12.5.2020. (linearne diofantske jednadzbe) i petak 15.5.2020. (Pitagorine trojke) u podne.