Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Poglavlje 1.6 vjezbe (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
carlusmagnusen
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 01. 04. 2020. (17:10:32)
Postovi: (1)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 17:31 sri, 1. 4. 2020    Naslov: Poglavlje 1.6 vjezbe Citirajte i odgovorite

Dobar dan, zanima me zadatak 1.98:

Neka je f neprekidna na <a, b> te derivabilna na <a, c> i <c, b>, za neki c ∈ <a, b>.

Nadalje, neka postoji limx→c− f '(x). Koristeći L’Hospitalovo pravilo dokažite:

f '_(c) postoji i vrijedi f '_(c) = limx→c− f ' (x)

Je li rjesenje ovo:

Raspiše se f_(c) po definiciji

primjeti se da je zbog neprekidnosti na <a,b> lim f(x) x->c = f(c)

zbog toga raspis tezi u 0/0

primjeni se L'Hospitalovo pravilo i dobije se tvrdnja


Hvala.
Dobar dan, zanima me zadatak 1.98:

Neka je f neprekidna na <a, b> te derivabilna na <a, c> i <c, b>, za neki c ∈ <a, b>.

Nadalje, neka postoji limx→c− f '(x). Koristeći L’Hospitalovo pravilo dokažite:

f '_(c) postoji i vrijedi f '_(c) = limx→c− f ' (x)

Je li rjesenje ovo:

Raspiše se f_(c) po definiciji

primjeti se da je zbog neprekidnosti na <a,b> lim f(x) x->c = f(c)

zbog toga raspis tezi u 0/0

primjeni se L'Hospitalovo pravilo i dobije se tvrdnja


Hvala.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 20:07 sri, 1. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[b]Zadatak.[/b] (1.98 na stranici 52., tj. 11. u [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf]ovom[/url] fileu) Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex]\langle a, b \rangle[/tex] te derivabilna na [tex]\langle a, c \rangle[/tex] i [tex]\langle c, b \rangle[/tex], za neki [tex]c \in \langle a,b \rangle[/tex]. Nadalje, neka postoje [tex]\lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex] i [tex]\lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex]. Koristeći L’Hôpitalovo pravilo dokažite tvrdnje:
[list]1.) [tex]f'_{-}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex],[/list:u]
[list]2.) [tex]f'_{+}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{+}(c) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex].[/list:u]
U slučaju da još vrijedi [tex]f'_{-}(c) = f'_{+}(c)[/tex], postoji čak [tex]f'(c)[/tex] i [tex]f'[/tex] je neprekidna u [tex]c[/tex], tj. funkcija [tex]f[/tex] je neprekidno derivabilna u [tex]c[/tex].

[quote="carlusmagnusen"]Je li rjesenje ovo:

Raspiše se f_(c) po definiciji

primjeti se da je zbog neprekidnosti na <a,b> lim f(x) x->c = f(c)

zbog toga raspis tezi u 0/0

primjeni se L'Hospitalovo pravilo i dobije se tvrdnja


Hvala.[/quote]

Da :) , no radi potpunosti ću i raspisati detalje u nastavku.

[b]Rješenje.[/b]
[dtex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{h \nearrow 0-}\frac{f(c + h) - f(c)}{h}.[/dtex]
Kako je funkcija [tex]f[/tex] neprekidna na [tex]\langle a, b \rangle[/tex] vidimo da brojnik gornjeg razlomka teži u [tex]0[/tex] (kada [tex]h \to 0[/tex]), a za nazivnik je očito da teži u [tex]0[/tex]. Dakle, smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Imajmo na umu da deriviramo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i gledmo limes), tj. izraz [tex]f(c)[/tex] je konstanta. Stoga je
[dtex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{h \nearrow 0-}\frac{f'(c+h)}{1} = \lim\limits_{x \to c-}f'(x).[/dtex]
Analogno se dokaže da je [tex]f'_{+}(c) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex].
U slučaju da još vrijedi [tex]f'_{-}(c) = f'_{+}(c)[/tex] to po definiciji znači da postoji [tex]f'(c)[/tex], a po prethodno dokazanom zapravo vidimo da vrijedi da je [tex]\lim\limits_{x \to c-}f'(x) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex], što znači da je funkcija [tex]f'[/tex] neprekidna u točki [tex]c[/tex].
Zadatak. (1.98 na stranici 52., tj. 11. u ovom fileu) Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex]\langle a, b \rangle[/tex] te derivabilna na [tex]\langle a, c \rangle[/tex] i [tex]\langle c, b \rangle[/tex], za neki [tex]c \in \langle a,b \rangle[/tex]. Nadalje, neka postoje [tex]\lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex] i [tex]\lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex]. Koristeći L’Hôpitalovo pravilo dokažite tvrdnje:
    1.) [tex]f'_{-}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex],

    2.) [tex]f'_{+}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{+}(c) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex].

U slučaju da još vrijedi [tex]f'_{-}(c) = f'_{+}(c)[/tex], postoji čak [tex]f'(c)[/tex] i [tex]f'[/tex] je neprekidna u [tex]c[/tex], tj. funkcija [tex]f[/tex] je neprekidno derivabilna u [tex]c[/tex].

carlusmagnusen (napisa):
Je li rjesenje ovo:

Raspiše se f_(c) po definiciji

primjeti se da je zbog neprekidnosti na <a,b> lim f(x) x→c = f(c)

zbog toga raspis tezi u 0/0

primjeni se L'Hospitalovo pravilo i dobije se tvrdnja


Hvala.


Da Smile , no radi potpunosti ću i raspisati detalje u nastavku.

Rješenje.
[dtex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{h \nearrow 0-}\frac{f(c + h) - f(c)}{h}.[/dtex]
Kako je funkcija [tex]f[/tex] neprekidna na [tex]\langle a, b \rangle[/tex] vidimo da brojnik gornjeg razlomka teži u [tex]0[/tex] (kada [tex]h \to 0[/tex]), a za nazivnik je očito da teži u [tex]0[/tex]. Dakle, smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Imajmo na umu da deriviramo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i gledmo limes), tj. izraz [tex]f(c)[/tex] je konstanta. Stoga je
[dtex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{h \nearrow 0-}\frac{f'(c+h)}{1} = \lim\limits_{x \to c-}f'(x).[/dtex]
Analogno se dokaže da je [tex]f'_{+}(c) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex].
U slučaju da još vrijedi [tex]f'_{-}(c) = f'_{+}(c)[/tex] to po definiciji znači da postoji [tex]f'(c)[/tex], a po prethodno dokazanom zapravo vidimo da vrijedi da je [tex]\lim\limits_{x \to c-}f'(x) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex], što znači da je funkcija [tex]f'[/tex] neprekidna u točki [tex]c[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan