|
ET ćemo uglavnom primjenjivati na stupce i retke matrice,
a zapravo je to samo poseban slučaj operacija na
bilo kojem konačnom skupu vektora iz nekog vektorskog
prostora.
Uzmimo jednostavno {a,b,c}, podskup nekog prostora V.
Linearna ljuska [{a,b,c}] svakako je potprostor,
dimenzije najviše 3.
ET mogu promijeniti skup, ali neće promijeniti potprostor,
dakle njegovu linearnu ljusku. Posebno, neće promijeniti
ni dimenziju tog potprostora, naravno (kad je potprostor
ostao isti, samo s promijenjenim skupom izvodnica).
ET su
(1) međusobna zamjena bilo koja 2 vektora u skupu
(uzastopnim zamjenama može se ostvariti bilo koja
permutacija, a znamo da promjena redoslijeda
pisanja ne mijenja linearnu ljusku, zahvaljujući
komutativnosti zbrajanja vektora).
(2) Množenje nekog vektora iz skupa skalarom
različitim od 0. (Različitim od 0, a jasno da bismo
inače dobili nulvektor čime bi se možda smanjila
dimenzija potprostora). Ovo nije "veliki zahvat",
kao da smo strelici iz V3 promijenili modul i/ili
orijentaciju.
(3) Pribrajanje nekog vektora iz skupa drugom
vektoru. Ovo se čini kao najveća promjena, a
komponiranjem (višestrukom primjenom) s (1) i (2)
doista se može dobiti skup koji izgleda jako različito
od početnog.
Imamo npr ovakav slijed ET na {a,b,c}:
{a, b, c}
{-2a, b, c}
{-2a, b, -2a + c}
{-2a, 5b, -2a + c}
{-2a + 5b, 5b, -2a + c}
{-a + 5/2 b, 5b, -2a + c}
{-a + 5/2 b, 3/2 b, -2 a + c}
{-2a + c, 3/2 b, -a + 5/2 b}
{-2a +c, -a + 5/2 b, 3/2 b}
itd.
Dobro, ali zašto to radimo?
Ideja će obično biti da "pojednostavnimo",
a ne da zakompliciramo skup.
Tri "nezgodna" vektora npr iz [b]R[/b]^5 na sličan
način moći ćemo pretvoriti, recimo, u
{(1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0)} i
dalje će štošta biti jednostavnije.
Potprostor će ostati isti, ali dobit ćemo jednu
njegovu "ljepšu" bazu.
Posebno, ako ET primjenjujemo na [i]bazu[/i]
nekog prostora, dobit ćemo [i]druge baze[/i], koliko
god njih želimo. (To se već moglo naslutiti
u nekim zadacima iz vježbi i domaćih zadaća).
Razmislite sami, uz malo pisanja:
Zašto ET tipa (3) ne mijenja linearnu ljusku skupa?
Nije teško, ali je jako važno za razumijeti.
(Za ET tipa (1) to je trivijalno, a za tipa (2)
praktički trivijalno).
Odsad promatramo primjenu ET na stupce, odnosno
na retke neke matrice tipa (m,n).
(To nije svejedno).
Kažemo da su matrice A i B, obje tipa (m,n),
ekvivalentne ako se jedna može pretvoriti u drugu
nekim slijedom ET.
(Odmah govorimo o [i]međusobnoj[/i] ekvivalentnosti,
jer je ovo doista relacija ekvivalencije u općenitom
smislu : A se može pretvoriti u B ako i samo ako se
B može pretvoriti u A, to je simetričnost relacije,
a refleksivnost i tranzitivnost su očite).
Što će nam takvo transformiranje?
Pravilnom primjenom, moći ćemo ustanoviti je li
kvadratna matrica invertibilna ili nije.
(Ispitivati to po definiciji nije baš praktično, jer
može značiti rješavanje npr sustava od 16 jednadžbi
sa 16 nepoznanica).
Ako jest invertibilna, primjenom ET možemo i
praktičnim načinom odrediti inverznu matricu.
Kod sustava linearnih jednadžbi, ujedno ćemo
pojednostavljivanjem sustava primjenom ET
ustanoviti je li sustav uopće rješiv pa ako jest,
neposredno i odrediti skup rješenja.
To je izvrsno i zato volimo ET. Ako ih još
ovaj tren ne volimo baš jako, zavoljet ćemo
ih kroz primjenu, a kako ta primjena dopušta
varijante, zna biti i zabavna.
No, ako su zadane dvije matrice jednakog tipa,
čak i ne moraju biti jako "velike", recimo (3,4),
kako ćemo saznati jesu li ekvivalentne?
"Pogađanje" kojim bi se slijedom ET možda mogla
jedna pretvoriti u drugu obično je jako naporno.
Ali, odgovor je jako jednostavan: za obje se
izračuna rang. Taj broj, jedan jedini cijeli broj,
određuje jesu li matrice ekvivalentne (ako im je
rang jednak) ili nisu (inače). To je ključni podatak,
a onda se lako vidi i kako se jedna matrica
može efektivno pretvoriti u drugu - "posrednik"
je takozvana kanonska matrica određenog tipa
i ranga (kao "prototip" jednostavne matrice tih
svojstava, samo onoliko puta 1 koliki je rang,
poredano po propisu, sve ostalo 0).
A što je [i]rang matrice?
Dimenzija linearne ljuske koju razapinju stupci,
u pripadnom vektorskom prostoru dimenzije m[/i].
Zašto ne uzeti retke, na analogni način?
Može se i to, rezultat je isti.
"Rang po stupcima" jednak je "rangu po retcima",
ali ne samo da to nije očito, nego je to ozbiljan teorem
čiji dokaz je relativno najteži u cijelom
dosadašnjem gradivu.
Dokaz ne morate znati, ali važno je znati smisao i
da to jest teorem, a ne usputna "sitnica".
Kad se jednom zna taj teorem, pa se za određivanje
ranga mogu ET primjenjivati i na stupce i na retke
matrice, to značajno olakšava računanje.
[i]Kvadratna matrica reda n invertibilna je ako i samo
ako joj je rang najveći mogući, dakle n.[/i]
(Važan teorem, treba mu naučiti i dokaz).
Ovo je mali uvod, sve potrebne pojedinosti mogu
se naći u literaturi (uključujući skripta) i vježbama.
Rješavanje 8. domaće zadaće bit će važna provjera
svladavanja ovog bitnog dijela gradiva.
ET ćemo uglavnom primjenjivati na stupce i retke matrice,
a zapravo je to samo poseban slučaj operacija na
bilo kojem konačnom skupu vektora iz nekog vektorskog
prostora.
Uzmimo jednostavno {a,b,c}, podskup nekog prostora V.
Linearna ljuska [{a,b,c}] svakako je potprostor,
dimenzije najviše 3.
ET mogu promijeniti skup, ali neće promijeniti potprostor,
dakle njegovu linearnu ljusku. Posebno, neće promijeniti
ni dimenziju tog potprostora, naravno (kad je potprostor
ostao isti, samo s promijenjenim skupom izvodnica).
ET su
(1) međusobna zamjena bilo koja 2 vektora u skupu
(uzastopnim zamjenama može se ostvariti bilo koja
permutacija, a znamo da promjena redoslijeda
pisanja ne mijenja linearnu ljusku, zahvaljujući
komutativnosti zbrajanja vektora).
(2) Množenje nekog vektora iz skupa skalarom
različitim od 0. (Različitim od 0, a jasno da bismo
inače dobili nulvektor čime bi se možda smanjila
dimenzija potprostora). Ovo nije "veliki zahvat",
kao da smo strelici iz V3 promijenili modul i/ili
orijentaciju.
(3) Pribrajanje nekog vektora iz skupa drugom
vektoru. Ovo se čini kao najveća promjena, a
komponiranjem (višestrukom primjenom) s (1) i (2)
doista se može dobiti skup koji izgleda jako različito
od početnog.
Imamo npr ovakav slijed ET na {a,b,c}:
{a, b, c}
{-2a, b, c}
{-2a, b, -2a + c}
{-2a, 5b, -2a + c}
{-2a + 5b, 5b, -2a + c}
{-a + 5/2 b, 5b, -2a + c}
{-a + 5/2 b, 3/2 b, -2 a + c}
{-2a + c, 3/2 b, -a + 5/2 b}
{-2a +c, -a + 5/2 b, 3/2 b}
itd.
Dobro, ali zašto to radimo?
Ideja će obično biti da "pojednostavnimo",
a ne da zakompliciramo skup.
Tri "nezgodna" vektora npr iz R^5 na sličan
način moći ćemo pretvoriti, recimo, u
{(1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0)} i
dalje će štošta biti jednostavnije.
Potprostor će ostati isti, ali dobit ćemo jednu
njegovu "ljepšu" bazu.
Posebno, ako ET primjenjujemo na bazu
nekog prostora, dobit ćemo druge baze, koliko
god njih želimo. (To se već moglo naslutiti
u nekim zadacima iz vježbi i domaćih zadaća).
Razmislite sami, uz malo pisanja:
Zašto ET tipa (3) ne mijenja linearnu ljusku skupa?
Nije teško, ali je jako važno za razumijeti.
(Za ET tipa (1) to je trivijalno, a za tipa (2)
praktički trivijalno).
Odsad promatramo primjenu ET na stupce, odnosno
na retke neke matrice tipa (m,n).
(To nije svejedno).
Kažemo da su matrice A i B, obje tipa (m,n),
ekvivalentne ako se jedna može pretvoriti u drugu
nekim slijedom ET.
(Odmah govorimo o međusobnoj ekvivalentnosti,
jer je ovo doista relacija ekvivalencije u općenitom
smislu : A se može pretvoriti u B ako i samo ako se
B može pretvoriti u A, to je simetričnost relacije,
a refleksivnost i tranzitivnost su očite).
Što će nam takvo transformiranje?
Pravilnom primjenom, moći ćemo ustanoviti je li
kvadratna matrica invertibilna ili nije.
(Ispitivati to po definiciji nije baš praktično, jer
može značiti rješavanje npr sustava od 16 jednadžbi
sa 16 nepoznanica).
Ako jest invertibilna, primjenom ET možemo i
praktičnim načinom odrediti inverznu matricu.
Kod sustava linearnih jednadžbi, ujedno ćemo
pojednostavljivanjem sustava primjenom ET
ustanoviti je li sustav uopće rješiv pa ako jest,
neposredno i odrediti skup rješenja.
To je izvrsno i zato volimo ET. Ako ih još
ovaj tren ne volimo baš jako, zavoljet ćemo
ih kroz primjenu, a kako ta primjena dopušta
varijante, zna biti i zabavna.
No, ako su zadane dvije matrice jednakog tipa,
čak i ne moraju biti jako "velike", recimo (3,4),
kako ćemo saznati jesu li ekvivalentne?
"Pogađanje" kojim bi se slijedom ET možda mogla
jedna pretvoriti u drugu obično je jako naporno.
Ali, odgovor je jako jednostavan: za obje se
izračuna rang. Taj broj, jedan jedini cijeli broj,
određuje jesu li matrice ekvivalentne (ako im je
rang jednak) ili nisu (inače). To je ključni podatak,
a onda se lako vidi i kako se jedna matrica
može efektivno pretvoriti u drugu - "posrednik"
je takozvana kanonska matrica određenog tipa
i ranga (kao "prototip" jednostavne matrice tih
svojstava, samo onoliko puta 1 koliki je rang,
poredano po propisu, sve ostalo 0).
A što je rang matrice?
Dimenzija linearne ljuske koju razapinju stupci,
u pripadnom vektorskom prostoru dimenzije m.
Zašto ne uzeti retke, na analogni način?
Može se i to, rezultat je isti.
"Rang po stupcima" jednak je "rangu po retcima",
ali ne samo da to nije očito, nego je to ozbiljan teorem
čiji dokaz je relativno najteži u cijelom
dosadašnjem gradivu.
Dokaz ne morate znati, ali važno je znati smisao i
da to jest teorem, a ne usputna "sitnica".
Kad se jednom zna taj teorem, pa se za određivanje
ranga mogu ET primjenjivati i na stupce i na retke
matrice, to značajno olakšava računanje.
Kvadratna matrica reda n invertibilna je ako i samo
ako joj je rang najveći mogući, dakle n.
(Važan teorem, treba mu naučiti i dokaz).
Ovo je mali uvod, sve potrebne pojedinosti mogu
se naći u literaturi (uključujući skripta) i vježbama.
Rješavanje 8. domaće zadaće bit će važna provjera
svladavanja ovog bitnog dijela gradiva.
|
